借助幾何直觀解高中解析幾何選擇填空題的研究

◎趙曉玲

(吉林省實驗中學本部高中數學組，吉林 長春 130022)

平面解析幾何部分一直是高中數學的難點,學生在解決相關問題時往往會感到困難.平面解析幾何的基本思想是通過代數方法研究幾何問題.但對于某些小題來說,如果單純利用代數方法去研究,那么解題過程往往會比較繁雜,容易造成“小題大做”.

直觀想象是高中學生數學學習中應培養的六大數學核心素養之一.

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數學問題的素養.主要包括:借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律;利用圖形描述、分析數學問題;建立形與數的聯系,構建數學問題的直觀模型,探索解決問題的思路.

直觀想象是發現、提出、分析和解決問題的重要手段,是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎.

直觀想象主要表現為:建立形與數的聯系,利用幾何圖形描述問題,借助幾何直觀理解問題,運用空間想象認識事物.

平面解析幾何題也是幾何題，其自身優勢是幾何直觀，它是培養學生直觀想象核心素養的一個很好的載體.學生在解題時如果適當借助幾何直觀，將會使抽象問題直觀化，減少運算量,問題的解決自然會十分便捷.

圖1

解法1(代數方法)

設∠AOB=θ，△AOB的面積為S，

設直線l的斜率為k(k<0)，

再設A(x1,y1),B(x2,y2)，

∵OA⊥OB，

即x1x2+y1y2=0,

消去y，

解法2(幾何方法)

設∠AOB=θ，△AOB的面積為S，

如圖2，取弦AB的中點D，連接OD.

圖2

由題意得OA=OB=1,

∴∠OCA=30°,

【案例分析】通過兩種解法的對比，不難發現，解決圓的有關問題時，適當借助幾何直觀，不僅方便快捷，減少了運算量，而且更容易理解.此題解法2用到平面幾何的兩個知識點,它們分別是：(1)圓的垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦,而且平分弦所對的弧；(2)直角三角形的性質定理：在直角三角形中，如果一條直角邊是斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.

解法1(代數方法)

如圖3,設拋物線的準線與x軸交于點K,AB的中點為M,分別過A,B,M向準線作垂線,垂足依次為點C,D,N.

圖3

由題意得2p=4,

設A(x1,y1),B(x2,y2)，

∴y1=-3y2, ①

由題意得F(1,0),

設AB:y=k(x-1),k≠0，

消去x,得ky2+4y-4k=0，

y1y2=-4.③

由①②③,得k2=3.

解法2(幾何方法)

如圖4,設拋物線的準線與x軸交于點K,AB的中點為M,分別過A,B,M向準線作垂線,垂足依次為點C,D,N.

圖4

∴|AF|=3|FB|.

設|FB|=a,則|BD|=a,|AF|=3a,

∴|AC|=3a,

由題意得|KF|=2,

【案例分析】通過兩種解法的對比，不難發現，解決拋物線的有關問題時，適當借助幾何直觀，不僅方便快捷，減少了運算量，而且更容易理解.此題解法2用到拋物線的定義和平面幾何中的中位線定理.

案例3已知雙曲線mx2-y2=1(m>0)的右頂點為A,若該雙曲線右支上存在B,C兩點使得△ABC為等腰直角三角形,則實數m的值可能是( ).

C.2 D.3

分析雙曲線關于x軸對稱,若存在B,C兩點符合題意,則B,C兩點關于x軸對稱,故該問題可以轉化為過點A且傾斜角為45°的直線與雙曲線右支有兩個交點.

解法1(代數方法)

此方程有兩個不等實根.

①當m=1時,不合題意；

②當m≠1時,

∴0

故選A.

解法2(幾何方法)

過點A且傾斜角為45°的直線的斜率為1,

故選A.

【案例分析】通過兩種解法的對比，不難發現，該問題可轉化為直線與雙曲線位置關系的問題.對于直線與雙曲線的位置關系的問題,適當借助幾何直觀,更便于理解,同時也減少了運算量.解法2重點應用了直線與雙曲線的位置關系.直線與雙曲線的位置關系可以通過比較直線的斜率與雙曲線的漸近線的斜率的大小來判斷.

通過以上三個案例的解法,不難發現,對于平面解析幾何的選擇題和填空題的求解,借助幾何直觀的優勢是明顯的.因此,教師在平面解析幾何的解題教學中要有這樣的意識.通過這樣的解題教學,學生既能提升數形結合的能力,發展幾何直觀和空間想象的能力,又能增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識，還能形成數學直觀思想,進而在具體的情境中感悟事物的本質.對于如何借助幾何直觀解題,這就需要解題者掌握平面解析幾何的基礎知識和相關知識,以此為依托,直觀想象,數形結合,進而解題.另外,借助幾何直觀解題也有助于培養學生的直觀想象的核心素養.