函數周期性、奇偶性、對稱性之間的關系
——一道高考題引發的思考

◎何德材

(梧州高級中學，廣西 梧州 543002)

函數的奇偶性、周期性、對稱性和單調性是函數的主要性質，是高考數學的高頻考點，近幾年全國各省市的高考題都有對函數性質的考查，考題形式多樣，難度也不盡相同.筆者從一道高考題入手，探討函數的奇偶性、周期性、對稱性之間的一些內在聯系.

我們先回顧一下函數的奇偶性、周期性、對稱性的概念和一些要點.

周期性：一般地，對于函數y=f(x)，若存在一個不為0的常數T，使得對于任意x∈D都有f(x+T)=f(x)，那么y=f(x)叫做周期函數，T叫做周期，kT(T的整數倍)也是它的周期.

常用結論：

①若f(x+a)=f(x+b)，則f(x)是周期函數，b-a是它的一個周期;

②若f(x+a)=-f(x)，則f(x)是周期函數，2a是它的一個周期;

奇偶性：對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數f(x)叫做偶函數；對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數f(x)叫做奇函數.

我們再看相應的高考題：

(2018·全國高考數學Ⅱ卷·11)已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B.0 C.2 D.50

題中條件給出了函數的奇偶性、對稱性，求從1到50的函數值之和，明顯與周期性有關，這就意味著要根據所給的奇偶性及對稱性求函數的周期.那么如何由奇偶性、對稱性求函數的周期性呢？

定理1若函數y=f(x)的圖像關于直線x=a與x=b(a≠b)對稱，則y=f(x)是以T=2(b-a)為周期的周期函數.(若函數圖像在定義域內關于兩條垂直于x軸的直線對稱，則該函數為周期函數)

證明因為圖像關于直線x=a對稱，所以f(x)=f(2a-x).

因為圖像關于直線x=b對稱，所以f(x)=f(2b-x).

令m=2a-x，則x=2a-m.

所以2b-x=2b-(2a-m)=m+2(b-a)，

故f(m)=f(m+2(b-a))，

即f(x)=f(x+2(b-a)),2(b-a)為函數周期.

推論若偶函數f(x)關于直線x=a(a≠0)對稱，則函數f(x)必為周期函數，2a是它的一個周期.

定理2若函數y=f(x)的圖像關于點(a,0)與點(b,0)(a≠b)對稱，則y=f(x)是以T=2(b-a)為周期的周期函數.(若函數圖像在定義域內關于x軸上的兩點對稱，則該函數為周期函數)

證明因為圖像關于點(a,0)對稱，所以f(x)=-f(2a-x).

因為圖像關于點(b,0)對稱，所以f(x)=-f(2b-x).

令m=2a-x，則x=2a-m，

所以2b-x=2b-(2a-m)=m+2(b-a)，

故f(m)=f(m+2(b-a))，

即f(x)=f(x+2(b-a)),2(b-a)為函數周期.

推論若奇函數f(x)關于點(a,0)(a≠0)對稱，則函數f(x)必為周期函數，2a是它的一個周期.

定理3若函數y=f(x)的圖像關于直線x=a與點(b,0)(a≠b)，則y=f(x)是以T=4(b-a)為周期的周期函數.(若函數圖像在定義域內關于一條垂直于x軸的直線及x軸上的一個點對稱，則該函數為周期函數)

證明因為圖像關于直線x=a對稱，所以f(x)=f(2a-x).

因為圖像關于點(b,0)對稱，所以f(x)=-f(2b-x).

令m=2a-x，則x=2a-m，

所以2b-x=2b-(2a-m)=m+2(b-a)，

故f(m)=-f(m+2(b-a))，

即f(x)=-f(x+2(b-a)),4(b-a)為函數周期.

推論1若奇函數f(x)的圖像關于直線x=a(a≠0)對稱，則函數f(x)必為周期函數，4a是它的一個周期.

例1已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+1)=f(1-x)，當0≤x≤1時，f(x)=x2，則f(2019)=________.

解因為函數y=f(x)在R上為奇函數，

所以f(-x)=-f(x)，

所以f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1)=-[-f(x-3)]=f(x-3)，即f(x+4)=f(x)，

所以函數y=f(x)的周期為4，

則f(2019)=f(2019-4×505)=f(-1)=-f(1)=-12=-1.

故答案為-1.

推論2若偶函數f(x)的圖像關于點(a,0)(a≠0)對稱，則函數f(x)必為周期函數，4a是它的一個周期.

歸納定理1，2，3及其推論1,2都是由一個函數的兩個對稱關系得到周期的推導.

例2若函數f(x)是定義在R上的連續函數，它既關于直線x=1對稱，又關于直線x=3對稱，那么函數f(x)( ).

A.不是周期函數

B.是周期為1的函數

C.是周期為2的函數

D.是周期為4的函數

解由題意得f(x)=f(2-x)，f(t)=f(6-t).

令t=2-x，則f(x)=f(2-x)=f[6-(2-x)]=f(x+4)，

故f(x+4)=f(x).

故答案為D.

例3已知函數y=f(x-1)的圖像關于直線x=-1對稱，且?x∈R有f(x)+f(-x)=4.當x∈(0,2]時，f(x)=x+2.則下列說法錯誤的是( ).

A.f(x)的周期T=8

B.f(x)的最大值為4

C.f(2021)=2

D.f(x+2)為偶函數

解∵函數y=f(x-1)的圖像關于直線x=-1對稱，

∴函數y=f(x)的圖像關于直線x=-2對稱.

∴f(-2+x)=f(-2-x).

∵?x∈R有f(x)+f(-x)=4，

∴函數y=f(x)的圖像關于點(0,2)中心對稱，

∴f(-2+x+2)=f[-2-(x+2)]，

即f(x)=f(-4-x)=4-f(-x).

又f(-4-x)+f(x+4)=4，

∴f(x+4)=f(-x)，

∴f[(x+4)+4]=f[-(x+4)]=f(x)，

即f(x+8)=f(x)，f(x+2)=f(-x+2)，

∴f(x)的周期T=8，f(x+2)為偶函數，即選項A，D正確.

∵當x∈(0,2]時，f(x)=x+2，f(x)+f(-x)=4，

∴當x∈[-2,0)時，-x∈(0,2]，f(x)+(-x+2)=4，

即f(x)=x+2，

∴當x∈[-2,2]時，f(x)=x+2.

又函數y=f(x)的圖像關于直線x=-2對稱，

∴在一個周期[-6,2]上，f(x)max=f(2)=4，

∴f(x)在R上的最大值為4，即選項B正確.

f(2021)=f(252×8+5)=f(5)=f(1+4)=f(-1)=-1+2=1，即選項C錯誤.

故答案為C.

定理4若周期為T=2a的函數f(x)的圖像關于點(b,0)(a≠b)對稱，則函數f(x)的圖像關于點(a+b,0)對稱.

證明因為圖像關于點(b,0)對稱，所以f(x)=-f(2b-x).

因為函數周期為T=2a，所以f(x)=f(2a+x).

則點(a+b,0)為函數圖像的對稱中心.

推論1周期為2a的奇函數f(x)的圖像必有對稱中心(a,0).

推論2周期為2a的函數f(x)的圖像關于點(a,0)對稱，則f(x)為奇函數.

定理5若周期為T=2a的函數f(x)的圖像關于直線x=b(a≠b)對稱，則函數f(x)的圖像關于直線x=a+b對稱.

證明因為圖像關于直線x=b對稱，所以f(x)=f(2b-x).

因為函數周期為T=2a，所以f(x)=f(2a+x).

則直線x=a+b為函數f(x)的圖像的對稱軸.

推論1偶函數與周期性：周期為2a的偶函數f(x)的圖像必有對稱軸x=a.

解∵f(x)是定義在R上的偶函數，

∴直線x=0是y=f(x)的圖像的對稱軸.

又∵f(1+x)=f(1-x)，

∴直線x=1也是y=f(x)的圖像的對稱軸.

故y=f(x)是以2為周期的周期函數，

∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3.

故答案為0.3.

推論2函數f(x)的圖像的對稱軸為直線x=a，且周期為2a，則f(x)為偶函數.

歸納定理4，5及其推論都是由一個函數的周期性和一個對稱性，得到另外一個對稱性的推導.

例5定義在R上的函數f(x)滿足f(x)+f(x+2)=0，f(4-x)=f(x).現有以下三種敘述：

①8是函數f(x)的一個周期；

②f(x)的圖像關于直線x=2對稱；

③f(x)是偶函數.

其中正確的是

A.②③ B.①② C.①③ D.①②③

解由f(x)+f(x+2)=0可得f(x+2)=-f(x)，

用x+2代替x可得f(x+4)=-f(x+2)，

聯立可得f(x+4)=f(x)，

所以f(x)是以4為最小正周期的函數，

所以8是它的一個周期.

在f(4-x)=f(x)中用x+2代替x可得f(x+2)=f(2-x)，

所以其圖像關于直線x=2對稱.

故答案為B.

考點函數周期性、對稱性和奇偶性.

例6若定義在R上的函數f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，f(x+1)是奇函數.現給出下列4個命題：

①f(x)是周期為4的周期函數；

②f(x)的圖像關于點(1,0)對稱；

③f(x)是偶函數；

④f(x)的圖像經過點(-2,0).

其中正確命題的個數是________.

解命題①：由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，

所以函數f(x)的周期為4，故①正確；

命題②：由f(x+1)是奇函數知f(x+1)的圖像關于原點對稱，

所以函數f(x)的圖像關于點(1,0)對稱，故②正確；

命題③：由f(x+1)是奇函數得f(1+x)=-f(1-x)，

因為f(x+2)=-f(x)，

所以f(-x)=-f(-x+2)=-f(1+1-x)=f(1-(1-x))=f(x)，

所以函數f(x)是偶函數，故③正確；

命題④：f(-2)=-f(-2+2)=-f(0)，

無法判斷其值，故④錯誤.

綜上，正確命題的序號是①②③.

故答案為3.

定理6若周期為T=4(a-b)的函數f(x)的圖像關于點(b,0)(a≠b)對稱，則函數f(x)的圖像關于直線x=a對稱.

證明因為周期為T=4(a-b)，

所以f(x+2(a-b))=-f(x).

因為f(x)的圖像關于點(b,0)對稱，所以f(x)=-f(2b-x).

故f(x+2(a-b))=f(2b-x)?直線x=a為對稱軸.

定理7若周期為T=4(a-b)的函數f(x)的圖像關于直線x=a對稱，則函數f(x)的圖像關于點(b,0)(a≠b)對稱.

證明因為周期為T=4(a-b)，

所以f(x+2(a-b))=-f(x).

因為f(x)的圖像關于直線x=a對稱，所以f(x)=f(2a-x).

故f(x+2(a-b))=-f(2a-x)?點(b,0)為對稱中心.

歸納定理6，7是由一個函數的周期性和一個對稱性，得到一個對稱性的推導.

A.函數y=f(x)是周期函數，且周期T=3

B.函數y=f(x)在R上有可能是單調函數

D.函數y=f(x)是偶函數

對于B：由D得f(x)是偶函數，∴f(x)在R上不是單調函數，錯誤.

故答案為B.

考點函數的周期性.

有了上面的推論，我們再來看上面提到的高考題：

(2018全國高考數學Ⅱ卷·11)已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B.0 C.2 D.50

解∵f(x)是奇函數，∴f(x)的圖像關于點(0,0)對稱.

∵f(1-x)=f(1+x)，∴f(x)的圖像關于直線x=1對稱.

根據定理3，函數的周期為T=4.

由于奇函數在零點處有定義，故f(0)=0.

令x=1，由f(1-x)=f(1+x)可得f(0)=f(2)=0.

因為f(1)=2，

所以f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2，

f(4)=f(4-4)=f(0)=0，

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=0+f(1)+f(2)=2.

故答案為C.

奇偶性、周期性、對稱性是函數的重要性質，三者之間存在著一定的聯系，既蘊含了數學的奧妙，也體現了數學的美.解決與這些性質有關的考題時常用到函數與方程、數形結合、轉化與化歸等數學思想.對于上面幾個定理和推論，若通過數形結合(正、余弦函數圖像)去分析、記憶，則會更為具體和直觀.