線段長度問題的求解策略探析

盧怦卉 高明

【摘要】數學中考試題廣泛而深刻，其解答方式千變萬化，教師應有意識讓學生從多種角度思考問題，拓展解題思路，優化解題技巧.線段長度問題一直以來都是中考熱點，本文以“數”、“形”為基礎，結合代數、幾何知識，多角度探究解決這類問題的策略，以簡化解題步驟，提高解題效率.

【關鍵詞】解題思路;幾何知識;解題步驟

試題再現 （2021 成都市中考）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線y= 33x+2 33與⊙O相交于A，B兩點，且點A在x軸上，則弦AB的長度為 .

1 巧借“三角”，解三角

如圖2設直線AB交y軸于點C，過點O作OD⊥AB于D.

y= 33x+2 33與⊙O相交于A，B兩點，則A（0，-2），C（0，2 33）.

則OC=2 33，OA=2，Rt△AOC的正切為 33，則∠CAO=30°;

結合Rt△AOD，求得AD= 3，由垂徑定理可得AB=2 3.

另解 過點B作x軸的垂線，交x軸于點E（圖3），由y= 33x+2 33 ①=1＼*GB3，

圓的方程為 x2+y2=4（OA=r=2） ②=2＼*GB3聯立①=1＼*GB3②=2＼*GB3可求出B（1， 3），則E（1，0），AE=3，

由上述可知∠BAE=30°，AB=2 3.

2 巧借“勾股”，求弦長

如圖3由探究1得∠BAE=30°，則ODAD= 33.

在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，

OD= 33AD，得AD= 3，

AB=2 3.

3 巧借相似，解比例尺

如圖4設直線AB交y軸于點C，過點O作OD⊥AB于D，過點B作x軸的垂線，交x軸于點E，易知OA=2，OC=2 33.

在Rt△AOC中，OA2+OC2=AC2，

得AC=4 33.

易證△AOD∽△AOC，則AOAC=ADAO，AD= 3，所以AB=2 3.

同理，我們可以證明△AOD～△ABE，這里不做詳細贅述.

除了利用相似三角形線段相似比求解線段長度，本題還可以利用相似三角形的面積比求解，易證：△AOD∽△ABE，所以S△AODS△ABE=OD2BE2=13 ，故S△AOD= 32，最后根據三角形面積公式得到AB=2 3

4 巧借面積，求高線

如圖5過點O作OD⊥AB于D，連接BO，在△AOB中，

AO=2，h= 3，所以S△AOB= 3.

結合法1的結果和特殊的銳角函數值，

在Rt△AOD中，OD=1，根據三角形面積公式得AB=2 3.

補充 圓的標準方程：

R2=（x1-x2）2+（y1-y2）2.

【基金項目：基于核心素養下的《初等代數研究》課程開發，西華師范大學2018教改項目，項目編號403350】

參考文獻：

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