分割三角形所得線段與圖形面積間的比例關系

張華

【摘要】面積問題是數學中的基本問題，從小學開始我們就學習求簡單是特殊的平面圖形的面積. 這里重點用面積法探究三解形中直線分三角形所成三角形與線段間的比例關系，并運用這些比例關系來解決一些有關面積或線段長度的問題，通過舉例，體驗用三角形中的面積與線段間的比例關系簡便地證明一些重要的幾何定理.

【關鍵詞】幾何定理;線段長度;比例關系

求圖形面積與線段長度是數學中的基本問題， 在生活中有廣泛的應用.下面我們來探究一下分割三角形所成的圖形面積與線段長度間的比例關系.

引理1 一般的，△ABC中，若BD：CD=m：n，則

S△ABD：S△ACD=BD：CD=m：n.

證明 如圖1，作BC邊上的高h，則S△ABD=12BD·h，

S△ACD=12CD·h，

所以S△ABD：S△ACD=BD：CD=m：n

由此可以用過一頂點的直線把三角形按面積任意分割.s△ABDS△ACD=BDCD=mn.

特殊的，當m：n=1：1時，S△ABD：S△ACD=BD：CD=1：1，也就是AD為△ABC的邊BC上的中線，則S△ABD=S△ACD，即三角形的中線把三角形按面積平分.

推論1 如圖2已知△ABC中，D為BC上一點，BD：CD=m：n，E為AD上一點，且AE：ED=a：b，則

（1）S△ABE ：S△ACE=m：n;

（2）S四ABED：S△BEC=AE：ED=a：b.

證明 （1） 由定理1可得

S△ABDS△ACD=S△EBDS△ECD=BDCD=mn.

由等比性質可得

S△ABD-S△EBDS△ACD-S△ECD=BDCD=mn，

即 S△ABE ：S△ACE=m：n.

（2）由定理1可得S△ABES△DBE=S△ACES△DCE=AEDE=ab.

由等比性質可得 S△ABE+S△ACES△DBE+S△DCE=ab，

即 S四ABEC： S△BEC=AE：ED=a：b.

例1 如圖3，△ABC中，P是AB邊上的一點，AP：PB=1：n，Q是BC邊上的一點，BQ：QC=m：1，AQ與CP交于點O. 求S△AOCS△ABC.

解 連接OB.

由推論1（1），

S△AOCS△BOC=APPB=1n，S△AOCS△AOB=QCBQ=1m，

所以S△AOCS△AOB+S△BOC+S△AOC=1m+n+1.

所以S△AOCS△ABC=1m+n+1.

問題1 如圖4，已知AD：AB=a：b，AE：AC=m：n，△ADE與△ABC的面積與邊間有怎樣的關系？

事實上，學習了三角函數后我們能得到

S△ADE=12AD·AE·sinA，S△ABC

=12AB·AC·sinA，

則S△ADES△ABC=AD·AEAB·AC=ambn.

那用這里得到的定理或推論能否證明呢？

可以連接BE，由定理1可得

S△ADES△ABE=ADAB=ab， ①

S△ABES△ABC=AEAC=mn， ②

①×②得 S△ADES△ABC=AD·AEAB·AC=ambn.

于是有

推論2一直線截三角形兩邊所得三角形與原三角形的面積比等于截得的三角形兩邊的積與原三角形兩邊積的比.

也就是若D，E為△ABC兩邊AB、AC上的點，AD：AB=a：b，AE：AC=m：n，則S△ADES△ABC=AEAC=ambn.

進一步可得S△ADE：S四BDEC=am：（bn-am）.

由此結論我們可以用一條直線把一個三角形按面積比任意分割.

特別地，當DE//BC時，ADAB=AEAC=mn，S△ADES△ABC=AD·AEAB·AC=m2n2.

這就用推論2證明了相似三角形面積比等于相似比的平方.

例2（小學奧數題）如圖5，AD：DB=1：2，AE：EC=5：4，S△ABC=54，求s四BDEC.

解 由AD：DB=1：2，AE：EC=5：4可得

AD：AB=1：（1+2）=1：3，AE：AC=5：（5+4）=5：9.

由推論2可得S△ADES△ABC=AD·AEAB·BC=1×53×9

=527 ，S△ADE54=527，

所以S△ADE=10. S四BDEC=S△ABC-S△ADE

=54-10=44.

由推論2可知：用不過頂點的直線將三角形的面積平分，只要所截三角形兩邊的積等于原三角形兩邊的積的一半即可.S△ADES△ABC=AD·AEAB·BC=12.

歸納 一直線平分三角形面積的方法：

①中線

②直線DE，D，E為△ABC兩邊AB、AC上的點，AD·AEAB·BC=12.

其實①是②的特殊情況，當D為AB的中點時，AD=12AB，要AD·AEAB·AC=12，則必有AE=AC， 此時E與C重合，也就是DE就是中線DC.

問題2 如圖6，AD、BE、CF都過點M，且BD：DC=a：b，CE：EA=m：n，能否求得AF：BF？

解 由推論1得

S△ACMS△ABM=DCBD=ba，①

S△ABMS△BCM=EACE=nm，②

S△ACMS△BCM=AFFB.

①×②得 S△ACMS△BCM=EA·DCCE·BD=bnam.

所以AFFB=AE·DCEC·BD=bnam.③

本文我們探究了三角形中面積與線段間的比例關系，得到了幾個定理，并證明了幾個大家熟悉的重要定理，運用這些定理可以簡便地解決一些相關的問題. 在數學的海洋中暢游，其樂無窮，大家如果感興趣，我們繼續探究，挖掘其中的奧秘.