“垂直平分線”和“角平分線”的應用

阮秋月

【摘要】“垂直平分線”和“角平分線”是學習初中數學和解決數學問題中常遇和常用的“兩線”，它們在定義、性質和判定等方面具有一些相通點.本文嘗試在分析這些相同點的基礎上，尋找用“兩線”解決問題的巧妙之處，從而幫助初中生更高效的解題.

【關鍵詞】“垂直平分線”;“角平分線”;數學解題

“垂直平分線”和“角平分線”作為初中數學幾何部分的內容，在代數部分也舉足輕重，尤其是在壓軸題中其綜合性體現得非常明顯.同時，“兩線”結合也是學生解題的難點所在，如何巧妙應用“兩線”解決數學問題，對提升學生的解題效率和準確率非常關鍵.

1 “垂直平分線”和“角平分線”的相通之處

“垂直平分線”和“角平分線”雖然是初中幾何部分兩個不同的教學內容，但是它們的知識點安排，如定義、性質、判定、尺規作圖等，具有異曲同工之妙.教師要想學生能夠靈活、巧妙的利用“垂直平分線”和“角平分線”解決數學問題，就要讓學生對這“兩線”各自的內容及其相通之處有所了解[1].本文認為，“垂直平分線”和“角平分線”的相通之處主要體現在以下四個方面：

首先，定義相通.從“垂直平分線”和“角平分線”這“兩線”的定義不難看出，“垂直平分線”重在說明線段被平分，而“角平分線”重在說明角被平分.所以，從“垂直平分線”和“角平分線”這“兩線”在定義方面的相通之處在于“平分”，即抓住了“平分”也就抓住了從“垂直平分線”和“角平分線”這“兩線”的定義.

其次，性質相通.從“垂直平分線”和“角平分線”這“兩線”的性質可以看到，“垂直平分線”和“角平分線”這“兩線”都重在說明“距離相等”，這是它們的相通之處.不同的是，“垂直平分線”中的“距離”是指點到點的距離，而“角平分線”中的“距離”是指點到邊的距離.總之，抓住“距離相等”和“點到點的距離”、“點到邊的距離”幾個關鍵詞，就可以掌握“垂直平分線”和“角平分線”的重點和難點.

再次，判定相通.“垂直平分線”和“角平分線”的判定都是證明一條線的屬性或歸屬.如“垂直平分線”的判定定理證明的是一條直線是一條線段的垂直平分線，“角平分線”的判定定理證明的是一條射線是一個角的平分線.但需要注意它們的不同，那就是證明一條直線為垂直平分線時，需要分別證明兩個不同的點在這條直線上，而證明一條射線為角平分線時，需要說明這個點在這個角的內部[2].由此可見，抓住了它們的不同之處，也就抓住了它們的本質.

最后，作法相通.從“垂直平分線”和“角平分線”的尺規作圖方法不難看出，“垂直平分線”的尺規作圖方法是“角平分線”的尺規作圖方法的基礎，都要以兩個不同的端點為圓心，都要以大于線段二分之一的長度為半徑，都是兩條圓弧的交點.換言之，“角平分線”的尺規作圖是在“垂直平分線”的尺規作圖基礎上進行的[3].另外，作法相通還表現在圖形的構造上，都凸顯了全等三角形和等腰三角形.第一，在作“垂直平分線”時，圓弧的交點和線段端點、垂直平分線就構造出了兩個全等的三角形，在這作“角平分線”時，兩種不同圓弧的交點與角平分線就構成了兩個全等三角形.第二，線段兩個端點和一個圓弧交點形成的圖形為等腰三角形;畫角平分線的理論依據就是等腰三角形的“三線合一”，即底邊的垂直平分線和頂角的角平分線“合二為一”，這里再一次說明了“垂直平分線”的尺規作圖方法是“角平分線”的尺規作圖方法的基礎.

2 基于“兩線”的初中數學題巧解思路

2.1 利用“平分”巧解

例1

如圖1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，交AC于點E，DE垂直平分AB于點D.

求證：BE+DE=AC.

點撥與解析本題是典型的“垂直平分線”和“角平分線”結合問題.由于BE、DE和AC很難發現他們之間的數量關系，但是可以通過轉化的方法將這三條線段化為一條，這就是數學中典型的化歸思想.具體可以按如下步驟操作：首先需要借助“垂直平分線”的性質將BE和AE相互轉換，然后要利用“角平分線”的性質將CE和DE相互轉換.在轉換之后，便容易由AC=AE+EC得到AC=BE+DE.

2.2 利用“距離相等”巧解

例2

如圖2所示，已知∠AOB 平分線上一點E，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為點 C，D.

求證：（1）OC=OD;（2）OE是CD的垂直平分線.

點撥與解析 本題中兩次利用到了“距離相等”，第一次是利用了角平分線中的“點到邊距離相等”，即DE=EC，第二次是利用了垂直平分線的“點到點距離相等”，即OD=OC，這是“垂直平分線”和“角平分線”中典型的“距離相等”相通之處.看到“∠AOB 平分線上一點E，且EC⊥OA，ED⊥OB”，馬上就要想到是角平分線的性質，看到“OC=OD”，馬上就要想到是否與線段的垂直平分線有關，這都是靈活解題的表現.而“垂直平分線”和“角平分線”還有“全等三角形”相通之處，所以（1）（2）兩問是否可以借助這一相通之處解決就變得非常重要.

2.3 利用“全等”巧解

例3

如圖3所示，在△ABC中，DF是邊BC的垂直平分線，AD是△BAC一個外角的角平分線，DF與AD相交于點D，DE⊥于 E，且 AB > AC.

求證：BE-AC=AE.

點撥與解析 本題是要證明BE、AC、AE三邊之間的關系，而從圖形中不難發現AB-BE=AE.很明顯，這需要構造三角形并證明它們全等，恰巧“垂直平分線”和“角平分線”有一個相通之處是“作法相通”，根據上文分析其實就是“三角形全等”.基于此，就應該馬上想到如何利用“垂直平分線”和“角平分線”構造出“全等三角形”，而這就需要連接DB和DC，同時還需要過D點作DM⊥AC.這樣作輔助線的靈感主要來自三個方面：其一，連接DB和DC是由“DF是邊BC的垂直平分線”這個條件想到;其二，過D點作DM⊥AC是由“AD是△BAC一個外角的角平分線”這個條件想到;其三，構造“全等三角形”是由“BE-AC=AE”這個條件想到.

2.4 利用“相等”巧作輔助線

例4

已知，如圖4所示，點B、C在∠A的兩邊上，且AB=AC，P為∠A內一點，PB=PC，PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分別為E、F.

求證：PE=PF.

點撥與解析 本題是非常典型的“兩線”問題.在“兩線”問題中，往往需要依靠作輔助線才能得到解決，而如何作輔助線，其中有一定技巧，抓準題中“相等”關系的量非常關鍵，如本題中的“AB=AC”、“PB=PC”，都是巧作輔助線的突破口.所以，本題的解決思路大體是：首先，如圖5所示連接AP.然后，根據

AB=AC、PB=PC，外加一條公共邊AP，就證明了△ABP和△ACP是全等三角形，在此基礎上得到∠BAP=∠CAP.再結合P為∠A內一點，得到AP為∠A的角平分線.最后，根據PE⊥AC，PF⊥AB，結合角平分線的性質可知PE=PF.需注意的是，首先，本題中證明AP是∠A的角平分線不能僅憑∠BAP=∠CAP這一個條件得到，而需結合P為∠A內一點這個條件，因為“角平分線的判定”中明確了“在角的內部”這一基礎條件，切勿遺漏.其次，本題中綜合了角平分線的性質和判定，而這學生對這兩大內容極易混淆，在本題解決過程中切勿因混淆而致錯.

3 “兩線”問題解決過程中應避免的錯誤

在初中數學幾何部分，“垂直平分線”和“角平分線”是非常重要且基礎的兩個知識點，其一方面體現在知識體系規善上，另一方面體現在解題思維拓展上.但是，無論從哪個方面審視該知識點，都應注意以下易錯點的規避：

第一 準確理解“平分”.相對而言，角平分線中的“平分”比較容易理解，無論是在其性質還是判定都是如此.這里所說的準確理解“平分”，重點在于垂直平分線.如圖6所示，由于DE垂直平分AB，易得DE⊥AB和AD=DB，這是正確的解題思路.但是，很多同學容易在類似于圖6的問題中出錯，認為在DE垂直平分AB的情況下還可以得到ED=FD.

第二 準確區分性質與判定.無論是垂直平分線，還是角平分線，它們都有性質與判定.

首先，垂直平分線的性質是“線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等”，垂直平分線的判定是“到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.即線段垂直平分線可以看成到線段兩端點距離相等的點的集合”.不難看到，垂直平分線的性質和定理是互逆的，要想精準掌握，還需仔細揣摩.這里需注意的是，在判定垂直平分線時，需證明兩個點同時在一條直線上才能得到該直線為垂直平分線上，這是學生極易犯錯之處.如圖6所示，只依靠AE=BE，DE垂直AB只能證明點E在直線EF上，還應用同樣的方法證明點F也在直線EF上，然后才能得到直線EF是線段AB的垂直平分線.另外需注意的是垂直平分線是直線，而角平分線是射線，這是它們的本質屬性.

其次，角平分線的性質是“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”，角平分線的判定是“角的內部到角的兩邊距離相等的點，都在這個角的平分線上”.這里需要注意的是，“角平分線的判定”中明確了“角的內部”這一基礎條件，證明時切勿遺漏該條件.正如例4中，在證明AP是∠A的角平分線時，一定要結合“∠BAP=∠CAP”和“P為∠A內一點”兩個條件.要知道，在例4中明確給出了“P為∠A內一點”，學生在解本題時要意識到這一條件絕對不是命題者“多此一舉”.

參考文獻：

[1] 劉頓.兩線聯姻，輕松解題[J].初中生之友，2011（29）：32-33.

[2] 王友峰.“三用”線段垂直平分線和角平分線定理解題[J].初中生學習指導：初三版， 2012（17）：103-105.

[3] 趙興榮，祁樂珍.線段垂直平分線與角平分線的“證”與“用”[J].數學學習與研究， 2011（20）：86-86.