因式分解常見方法舉例

龐耀光

【摘要】因式分解在初中數學中占據重要地位，其原因是借助因式分解，有利于求解對應方程的實數根或求解對應的不等式問題，也有利于幫助我們準確畫出對應函數在坐標系中的圖象. 基于此，現通過歸類舉例解析的形式，對因式分解常見方法加以說明，旨在幫助同學們拓寬解題思維視野，鞏固相關知識在解題中的靈活運用能力，提升解題的技能技巧.

【關鍵詞】因式分解;公式法;公因式

因式分解，也叫作分解因式，是指將一個多項式經過適當變形，寫成幾個最簡整式的乘積的形式.因式分解是初中數學中一個特別重要的恒等變形，是我們順利解決許多數學問題（例如：求方程的實數根、求解不等式、畫函數的圖象等）的有力工具.由于因式分解的技巧性較強，且方法靈活多樣，所以本文擬通過舉例解析的形式加以具體說明，旨在幫助同學們理解、掌握常用解題方法，拓寬解題思維視野，進一步提高分解因式的技能技巧.

類型1 公式法

運用平方差公式x2-y2=（x+y）（x-y），完全平方公式（x+y）2=x2+2xy+y2，（x-y）2=x2-2xy+y2，立方和公式x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2），以及立方差公式x3-y3=（x-y）（x2+xy+y2），可以直接寫出分解因式的結果.

例1 分解因式：a2+4ab+4b2.

解析 將4ab變形寫成2×a×2b，同時將4b2變形寫成（2b2），于是可得a2+4ab+b2=a2+2×a×2b+（2b）2=（a+2b）2.

類型2 提公因式法

形如am+bm這種類型的式子，可以直接提取公因式分解，即am+bm=m（a+b）.

例2 分解因式：x3+2x2+x.

解析 由于每一個加項均可提取因式x，而且提取公因式之后又便于利用完全平方公式，所以可得x3+2x2+x=x（x2+2x+1）=x（x+1）2.

類型3 十字相乘法

第一種情況：對于二次項系數為1的二次三項式，可利用十字相乘法進行因式分解，

常用結論有：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q），x2-（p+q）x+pq=（x-p）（x-q）.

例3 分解因式：x2+5x+6.

解析 由于二次項x2可分解為x×x，同時常數項數字可分解為2×3，于是可得x2+5x+6=（x+2）（x+3）.

第二種情況：對于二次項系數不為1的二次三項式，可將它分解為兩個一次因式的乘積，常用結論：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），其中a=a1a2，c=c1c2，b=a1c2+a2c1.

例4 分解因式：3x2-11x+10.

解析 由于二次項3x2可分解為x×3x，同時常數項數字10可分解為（-2）×（-5），于是可得3x2-11x+10=（x-2）（3x-5）.

第三種情況：齊次多項式分解，將其中一個字母看成常數，轉化為二次三項式求解.

例5 分解因式：a2-8ab+12b2.

解析 （方法1）將“b”看成常數，則原多項式可看成是關于“a”的二次三項式（具體可寫成：a2-8b×a+12b2），從而可利用十字相乘法進行分解因式.

由于二次項a2可分解為a×a，同時常數項12b2可分解為（-2b）×（-6b），于是可得a2-8ab+12b2=a2-8b×a+12b2=（a-2b）（a-6b）.

（方法2）將“a”看成常數，則原多項式可看成是關于“b”的二次三項式（具體可寫成：12b2-8a×b+a2），從而可利用十字相乘法進行分解因式.

由于二次項12b2可分解為2b×6b，同時常數項a2可分解為（-a）×（-a），于是可得a2-8ab+12b2=12b2-8a×b+a2=（2b-a）（6b-a）.

類型4 分組法

如果給定的多項式較為復雜，顯然不便于迅速分解因式，那么這時就需要我們靈活運用“分組法”進行分解因式.該方法的關鍵就是需要將有特點的加項放置在一起，便于利用公式分解，或者便于提取公因式.

例6 分解因式：x2+ax-y2+ay.

解析 注意到x2-y2，可利用平方差公式進行分解因式，同時注意到ax+ay，可提取公因式，于是可得x2+ax-y2+ay=（x2-y2）+（ax+ay）=（x+y）（x-y）+a（x+y）.

類型5 配湊法

如果遇到的多項式，不便于直接利用常用方法進行分解因式，那么這時就需要我們在觀察多項式外在結構特點的基礎上，靈活借助“添項”或者“拆項”技巧，間接地達到巧妙分解因式的目的，這就是所謂的配湊法.

例7 分解因式：x3-3x2+4.

解析 （方法1：拆項法）注意到x3，x2，x0的系數分別是：1，-3，4，所以需要將常數項數字4拆為1+3，便于進行分解因式.

于是，可得x3-3x2+4=x3+1-3x2+3=（x+1）（x2-x+1）-3（x+1）（x-1）=（x+1）（x2-x+1-3x+3）=（x+1）（x2-4x+4）=（x+1）（x-2）2.

（方法2：添項法）注意到x3，x2，x0的系數分別是：1，-3，4，且沒有關于x的一次項，所以可通過添項-4x+4x，便于進行分解因式.

于是，可得x3-3x2+4=x3-3x2-4x+4x+4=x（x2-3x-4）+（4x+4）=x（x+1）（x-4）+4（x+1）=（x+1）（x2-4x+4）=（x+1）（x-2）2.

類型6 試根法

通過觀察多項式，往往會發現特殊數字0，±1，±2，…，恰好就是這個多項式對應方程的實數根，從而可得該多項式的一個因式，然后再利用“待定系數法”即可求出其余因式，進而達到對原多項式進行分解因式的目的.

例8 分解因式：x3-3x2+4.

解析（方法1）通過觀察試驗，不難發現x=-1是方程x3-3x2+4=0的一個實數根，所以x+1是多項式x3-3x2+4的一個因式.從而，可設x3-3x2+4=（x+1）（x2+px+q）.

又因為通過展開整理可得（x+1）（x2+px+q）=x3+（p+1）x2+（p+q）x+q，所以x3-3x2+4=x3+（p+1）x2+（p+q）x+q.

從而，根據多項式與多項式相等的條件即得p+1=-3p+q=0q=4，解得p=-4q=4.

綜上，可知x3-3x2+4=（x+q）（x2-4x+4）=（x+1）（x-2）2.

（方法2）通過觀察試驗，不難發現x=2是方程x3-3x2+4=0的一個實數根，所以x-2是多項式x3-3x2+4的一個因式.從而，可設x3-3x2+4=（x-2）（x2+mx+n）.

又因為通過展開整理可得（x-2）（x2+mx+n）=x3+（m-2）x2+（n-2m）x-2n，所以x3-3x2+4=x3+（m-2）x2+（n-2m）x-2n.

從而，根據多項式與多項式相等的條件即得m-2=-3n-2m=0-2n=4，解得m=-1n=-2.

綜上，可知x3-3x2+4=（x-2）（x2-x-2）=（x-2）（x+1）（x-2）=（x+1）（x-2）2.

總之，分解因式的常見解法較多，而各種方法的靈活運用，又需要因題而異，所以需要我們在解題實踐中不斷積累經驗，逐步領會、感悟解題真諦，進而提高進行分解因式的能力.