分割四邊形所得線段與圖形面積間的比例關(guān)系

張華

【摘要】本文主要用面積法探究直線分四邊形所成圖形與線段間的比例關(guān)系，由特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，并運(yùn)用這些比例關(guān)系來解決一些相關(guān)的面積或線段長(zhǎng)度的問題.

【關(guān)鍵詞】四邊形;線段面積;比例關(guān)系

面積與線段長(zhǎng)度問題，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及生產(chǎn)生活中經(jīng)常遇到的問題.下面我們來探究一下用直線分割四邊形所成的圖形面積與線段長(zhǎng)度間的比例關(guān)系.

定理1任意四邊形的兩條對(duì)角線把四邊形分成的四個(gè)三角形中，相對(duì)的兩個(gè)面積之積相等.

事實(shí)上，如圖1，由上節(jié)引理可得 S1S2=S4S3=BOOD，

故有S1·S3=S2·S4.

特別的，當(dāng)四邊形ABCD是梯形時(shí)，若AD//BC ，有 S1=S3 ，得S2·S4=S12=S32 .

比如，梯形中，若S2=3，S3=6，要求梯形面積，只要先求出S4即可，由S2·S4=S32，有3S4=62，S4=12.從而求得S梯ABCD=3+12+6+6=27.

我們可以用類似的方法進(jìn)一步得到下面定理：

定理2 四邊形一條對(duì)角線上的一點(diǎn)與另外兩個(gè)頂點(diǎn)的連線把四邊形分成兩部分，這兩部分圖形的面積比等于這點(diǎn)分對(duì)角線所得兩線段的比.

如圖2，點(diǎn)E為四邊形ABDC對(duì)角線上AD上一點(diǎn)，且AE：ED=m：n.

證明：S四ABED：S四CBED=AE：EC=m：n.

由三角形中面積與線段間的比例關(guān)系可得

SΔABE SΔCBE=SΔADESΔCDE=mn.

再由等比性質(zhì)得 SΔABE+SΔADE SΔCBE+SΔCDE=AEED=mn ，即S四ABED S四CBED=AEEC=mn.

由此定理，可以利用分一條對(duì)角線而將四邊形分成面積為相應(yīng)比的兩個(gè)四邊形（當(dāng)B、E、D在同一直線上時(shí)就成了三角形）. 特別的，當(dāng)E是AC中點(diǎn)時(shí)，就把四邊形ABCD分成了面積相等的兩部分.

例1 將四邊形ABCD分成兩部分，使得它們的面積比為1∶3.

如圖2，我們可以連接AC，在AC上取一點(diǎn)E，使得AE：EC=1∶3，連接BE，DE，則S四ABED S四CBED=AEEC=13.也就是四邊形 ABED與四邊形CBED的面積比為1∶3.

問題1 利用定理2可以用兩條線段將任意一個(gè)四邊形按面積平分，我們自然會(huì)想：如何用一條直線將一個(gè)四邊形按面積平分面呢？ 我們已經(jīng)知道平行四邊形對(duì)邊中點(diǎn)的連線平分它，梯形上下底中點(diǎn)的連線也平分它.

猜想 對(duì)邊中點(diǎn)的連線能平分四邊形.

下面來探究這個(gè)猜想究竟對(duì)不對(duì).

事實(shí)上，如圖3，梯形兩腰中點(diǎn)的連線，也就是中位線并不能把梯形按面積平分，所以這個(gè)猜想是假命題.

用定理1的方法可以把四邊形平分，不妨在這個(gè)基礎(chǔ)上來探究.

如圖4，BE和DE把四邊形ABCD按面積平分，假設(shè)BM把四邊形也平分，顯然四邊形ABED比原來少了ΔBEF，多了ΔDMF，要使面積不變，只要SΔBEF=SΔDMF即可.我們知道梯形兩對(duì)角線分得的四個(gè)三角形中，兩腰對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形面積相等，所以只要四邊形BEMD是梯形，EM//BD， 那么BM就把四邊形ABCD按面積平分了.具體作法也不難得到.

一條直線按面積平分四邊形的作法（如圖5）：

1、連接BC、AD，取AD中點(diǎn)E;

2、作EM//BC交CD于M;

3、連接BM.

直線BM把四邊形ABCD按面積平分.

當(dāng)然直線平分四邊形面積的方法不唯一，這只是直線過一頂點(diǎn)的作法.能不能得到任意一條直線平分四邊形的方法呢？大家可以考慮.

問題2邊的中點(diǎn)是特殊的點(diǎn)，我們已知順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形，面積是原四邊形面積的一半 . 那么只有四邊形一組對(duì)邊的中點(diǎn)， 能得到怎樣的圖形， 面積間又有怎樣的關(guān)系呢？

如圖6，已知E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接BE、DF，得到四邊形BFDE，它與原四邊形間有怎樣的關(guān)系呢？

我們連接BD，則有SΔABE=SΔDBE，SΔDBF=SΔDCF，所以得到SΔDBF+SΔDBE=SΔABE+SΔDCF=12S四ABCD， 即S四BFDE=12S四ABCD.

由此可以得到

推論1四邊形對(duì)邊中點(diǎn)與一組相對(duì)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是原四邊形面積的一半.

問題3 若上面的E，F(xiàn)不是中點(diǎn)又會(huì)怎樣？

若DE：AE=BF：CF=n：m，則

SΔDBE=nn+mSΔABD，

SΔDBF=nn+mSΔCBD，

所以SΔDBE+SΔDBF=nn+m（SΔABD+SΔCBD），即S四BEDF=nn+mS四ABCD.

所以S四BEDFS四ABCD=nn+m=EDAD.

于是得

推論2 四邊形一組對(duì)邊被分成的兩條線段逆向比相等，則兩分點(diǎn)與相對(duì)兩頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形與原四邊形的面積比等于對(duì)應(yīng)線段之比.

問題4如果一組對(duì)邊被分成三段，又有什么結(jié)論呢？

如圖7，DE：EF：FA=BG：GH：HC=a：b：c，S四ABCD=m，求S四EFGH.

解析 由推論2，四邊形對(duì)邊分點(diǎn)與一組相對(duì)頂點(diǎn)構(gòu)成的圖形與原圖形有關(guān)系，所以我們可以連接BF，DH.

由已知的DE：EF：FA=BG：GH：HC=a：b：c，可得到DF：FA=BH：HC=（a+b）：c

由推論2可得S四DFBHS四ABCD=a+ba+b+c ，①

S四EFGHS四DFBH=ba+b，②

①×②得 S四EFGHS四ABCD=ba+b+c，

所以S四EFGH=ba+b+cS四ABCD=bma+b+c.

于是得

推論3四邊形對(duì)邊分成的三條線段逆向成比例，則相應(yīng)分點(diǎn)構(gòu)成的四邊形與原四邊形面積比等于相應(yīng)線段與這邊之比.

本文我們由特殊到一般，利用類比思想，大膽地猜想與證明相結(jié)合，得到了一些分割四邊形所得圖形面積與線段間的比例關(guān)系，在解決一些相關(guān)的數(shù)學(xué)問題或生活中的實(shí)際問題時(shí)會(huì)有很好的作用. 面積與線段間的比例關(guān)系還有很多，大家感興趣的話可以繼續(xù)探討.數(shù)學(xué)不是枯燥乏味的，樂趣無處不在，只要用心思考總會(huì)有許多發(fā)現(xiàn).