導數在高中數學解題中的應用

【摘 要】 隨著社會發展速度逐步提升，知識更新換代的速率也上升到了一個全新的高度.為確保知識的更新化，及時掌握先進知識，在進行學科學習時應當樹立學無止境的觀念，數學作為一門專業性較強的學科更應該做到這樣.興趣能夠促進數學學習者主動學習數學知識，但學生在學習層面僅具有興趣是完全不夠的，同時還需要教師的指導，以這種方式進行學習，學生在數學學習當中才能做到獨立化、個性化和全面發展.基于此，以下對導數在高中數學解題中的應用進行了探討，以供參考.

【關鍵詞】 高中數學解題;導數教學;數學解題

1 前言

當前，高中數學教學存在一些突出問題，比如，過分強調教師的主導地位，阻礙學生主體意識的發展，“應試教育”現象廣泛存在等.這些問題的存在，造成學生在導數學習環節當中難以長期保持興趣，學習積極性也難以長時間持續，造成導數教學的效率和質量提升受到了阻礙.本文針對高中數學解題當中的常見難題進行分析，并針對實際教學環節當中的問題，具體問題具體分析，讓學生的學習熱情得到激發，保障教學的效率和質量，同時從提升學生數學核心素養出發，培養學生對數學學習的熱情.

2 高中數學教學中存在的問題

2.1 脫離學生生活實際，致使學生感覺數學較抽象

通過對目前高中數學教學實踐狀況的觀察，了解到存在相當比例的數學教育者對于生活和教學內容之間的聯系把握不夠深刻，這造成數學學科教學同學生的實際生活相脫離.也因此，學生在學習過程中會覺得自己學習到的數學知識是抽象的，難以在實際生活中得到應用[1].數學學習興趣也逐步減弱，難以針對學習到的數學知識進行知識內化和理解.

2.2 過分強調教師的主導地位

在教學中普遍存在這樣一種現象，即過分強調教師的主導地位.這種現象的存在，與傳統的“師道尊嚴”思想有一定的關系.在這種思想的影響下，教師高高在上，成為課堂的主宰，學生成為儲存知識的容器，這嚴重束縛了學生的思維發展.傳統的教學模式已經根深蒂固，教師、家長以及學生也都潛意識地認為教師在課堂上應擁有絕對權威.在這種教學模式下，學生難以發揮自己的主觀能動性，學習非常被動.久而久之，學生會失去學習興趣，產生厭學心理，甚至放棄數學學習[2].

2.3 未能恰當采用直觀手段，致使學生難以理解復雜知識點

高中階段的數學知識同小學和初中階段的數學知識相比，存在一定的區別，主要區別是知識容量的廣度和抽象度.因為這一點，高中數學教師應當探索出一條新的通路，將抽象的數學知識轉化為簡單和直觀的數學知識，然而結合當前的教學實際開展教學工作，只有一小部分的教育工作者對這一點有充足的認知，相當大一部分的教師的教學方法只是對數學知識照本宣科的宣講，難以結合高中學生的實際認知特點對教學手段進行調整，這樣就對學生理解相對復雜的數學知識點造成了阻礙，導致高中數學教學效益及其質量難以提升[3].

3 論導數在高中數學解題中的應用

導數是函數的一個局部，具有其部分性質.某一函數在某一點的導數，體現出該函數在此點附近變化率.如函數的自變量和賦值均為實數，函數在某一處的導數，其意義就是這個函數所代表的曲線在此點上的曲線斜率.由此我們可以得出一個結論：導數的本質運用到了極限相關概念，完成導數的線性逼近[4].

對生活中的實際應用問題作出解答的最基本步驟就是采用一般解來進行解答.依據題中所給的條件完成作圖并對圖中的各個已知條件進行分析，利用這些幾何圖形擁有的特性，采用合乎實際情況的關系式，將這些條件逐一連接，形成通暢而連貫的數學語言，構造對應函數關系并選擇符合實際狀況的數值空間，進而求解問題，得出相應結論，是該部分解題的主要技巧[5].

例1 某一鐵皮邊長為0.6米，在其四個角上都切去相等面積的正方形，折起其邊緣線，令其形成無蓋方盒形狀.當箱底邊長取何值時箱子具有最大容積？并求得最大容積的數值.

思路 設箱底邊長為x cm，則箱高h=60-x2cm，得箱子容積V是箱底邊長x的函數：r（x）x2h=60x2-x32（0

變式 一正方形鐵皮邊長為a，在其各個角上剪掉相等面積的正方形鐵皮，折起各個邊使其形成無蓋方盒形狀.求該盒子取得最大容積時盒子的高度.

提示 V（x）=x（a-2x）2

（0<x<a2）答案：x=a6

例2 如圖3設計一個如下的帳篷，其下部形狀高為1米，呈正六棱柱裝，上部形狀為側棱長為3米如圖所示的正六棱錐.試問當帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時，帳篷的體積最大？

解 設OO1為xm，則1

由題設可得正六棱錐底面邊長為：32-（x-1）2=8+2x-x2，

故底面正六邊形的面積為：

6·34·（8+2x-x2）2，332·（8+2x-x2）.

帳篷的體積為：

V（x）=332（8+2x-x2）[13（x-1）+1]=32（16+12x-x3）

求導得：

V′（x）=332（12-3x2）

令V′（x）=0解得x=-2（不合題意，舍去），x=2，

當1

當2

所以當x=2時，V（x）最大.

答：當OO1為2m時，帳篷的體積最大，最大體積為163m3.

上述題目考察的知識點，是使用導數研究函數極值的相關知識.并利用導數知識對生活實際問題進行解決.在我們優化或對極值問題進行求解時，必須考慮到問題實際所處的環境，并讓解具有現實意義，如解不符合實際，必須舍去.若所求目標函數在有限區間或無限區間內有單一駐點，駐點的值就是函數極值點.

4 提高高中數學課堂教學有效性的對策

4.1 導入豐富的數學教學資源

隨著當前教學的進步與發展，現代化的教學技術和方法改變了高中數學教學現狀，為高中數學學科教學提供了更豐富的教學資源.這對于高中生數學學習效率和教學綜合質量的提升有積極的作用.因此，高中數學教師在教學過程中要擺脫對數學教材的依賴，尋找豐富多樣的數學教學資源，拓展學生的知識面.

4.2 尋找生活中的資源，實施生活化的教學

認知當中，大部分的知識來源于生活.即便高中數學知識的表現形式較為抽象，但其最終要回歸于生活，在生活當中可以尋找到很多痕跡.針對這一點，高中數學教師需要從生活出發，積極對生活中的豐富數學教育資源進行尋找，針對學生實施生活化數學教學.使用這種方法，教師才可以縮短數學知識和學生二者之間的距離，并讓學生體會到學習數學知識的益處，了解現實生活的高中知識學習的必要性，并結合已存在的生活經驗加深數學知識的理解.

4.3 提高高中數學教學質量

在高中階段的數學學科教學過程中，教師所選擇的教學方法，直接影響整體教學質量.因此，選擇的教學方法科學合理，也有利于提高教學效率，對教學發展有著積極的作用.教師在教學過程中，要做到與時俱進，合理運用先進的現代化教學輔助工具，不僅可以讓課堂變得更豐富精彩，也可以為學生營造良好的學習氛圍，激發學生數學學習熱情，從而有效實現數學教學目標.在高中數學學科教學的過程中，教師要有目的性、有計劃性地幫助學生，奠定良好的學習基礎，為提高數學教學質量做好鋪墊.

例如 學習“集合”時，教師可以通過游戲教學策略，對學生進行引導.教師在課堂上給出學生工具、植物、動物等名詞，在學生選擇之后.根據學生所選擇的名詞進行教學，學生在了解交集和并集時，教師可以讓學生劃分成兩個學習小組，讓學生自己歸納兩組之間的交集與并集.雖然這是一個較為簡單的游戲形式，但是可以讓學生更好地理解數學概念，讓學生在實際游戲過程中掌握這部分知識.

5 結語

導數在高中數學中占有重要地位，是解答函數問題的重要工具.為提高學生靈活運用導數解題的能力，教學中應圍繞具體習題為學生認真講解解答過程.同時，鼓勵學生多進行訓練、反思、總結，不斷深化對導數知識的認識與理解，真正做到融會貫通.在對生活中的實際問題進行求解的過程中，需要選擇適宜的目標函數，利用數學語言將問題實景化，在便于理解的基礎上確定問題內部存在的主要關聯，將題中所提到的數據進行抽象化和理簡要處理，讓其可以用數學語言表示，令其和常規類的問題保持一致，必要時可以聯系題中所給出的數據作出圖形，并對它們之間各個已知條件關系進行分析，聯系圖形特性對各個條件之間的聯系方式進行恰當的選擇，選定變化區間后按照對應函數關系進行構造等，解決實際生活中函數應用的問題.

【本文是甘肅省教育科學“十三五”2020年度規劃課題，課題名稱巜指導高中生開展數學探究性學習的實踐研究》，課題立項號GS[2020]GHB3288，課題主持人：藺衛紅.】

參考文獻：

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[2]馮仰超.論導數在高中數學解題中的應用[J].數理化解題研究，2021（24）：4-5.

[3]董玲燕.例談導數在高中數學解題中的應用[J].數理化解題研究，2021（19）：30-31.

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[5]張影.導數在高中數學解題中的應用實踐[J].數學大世界（下旬），2020（09）：75.

[6]范亞萍.導數高考試題分析與教學策略研究[J].數學學習與研究.2020（09）

[7]陳艷.去偽存真激發學生思考讓學引思培養核心素養——“反比例函數圖像與性質”教學案例分析[J].數學通報.2019（05）

[8]于智鋒.小題小做，大題巧做——高中數學導數試題分析與教學策略[J].中學數學.2020（13）

[9]趙開余.探尋多樣題型，提高解題效率——高中數學導數試題分析與教學策略[J].中學數學.2020（11）

[10]蔣云濤，陸菊芹.聯系高考重點突破——高中數學導數教學有效性探究[J].數理化解題研究.2019（36）