浙江省專升本高等數學考試向量代數與空間解析幾何內容分析初探

金友良

（麗水職業技術學院，浙江 麗水 323000）

自從2005年起，浙江省全日制專升本考試試卷開始獨立組卷，至今已有17年。通過全日制專升本統考統招，選拔優秀的高職應屆畢業生到普通本科院校進行全日制兩年制的繼續深造，修完所有的規定課程，畢業時頒發普通高等本科院校的畢業證書和學士證書，這為高職院校優秀畢業生繼續深造提供了一條快捷之路。

向量代數與空間解析幾何是高等數學的一個重要組成部分，是學習多元函數微積分的基本，它通過坐標對空間曲線和空間曲面的性質進行運算和分析。這部分內容有在工程技術上有著廣泛應用的向量及向量運算，然后利用向量為工具討論空間的平面和直線，最后介紹空間曲面和空間曲線。考核向量代數與空間解析幾何，每次有2個小題或1個計算題，小題題型要么是選擇題，要么是填空題，分值一般在8分左右。本文對從2005年起至2021年浙江省專升本高等數學考試中向量代數與空間解析幾何這部分考試題目進行了收集、歸類和分析，整理總結出一定的規律，希望對有志參加全日制專升本考試的考生能起到一定的指導作用。

1 精細研讀浙江省全日制專升本高等數學考試大綱，明確向量代數與空間解析幾何內容的基本要求

（1）理解向量的概念，掌握向量的表示法，會求向量的模、非零向量的方向余弦和非零向量在軸上的投影。（2）掌握向量的線性運算（加法運算與數量乘法運算），會求向量的數量積與向量積。（3）會求兩個非零向量的夾角，掌握兩個非零向量平行、垂直的充分必要條件。（4）會求平面的點法式方程與一般式方程。會判定兩個平面的位置關系。（5）會求點到平面的距離。（6）會求直線的點向式方程、一般式方程和參數式方程。會判定兩條直線的位置關系。（7）會求點到直線的距離，兩條異面直線之間的距離。（8）會判定直線與平面的位置關系。

2 分析歷年向量代數與空間解析幾何內容考試真題，篩查這部分內容考試熱點

（1）求向量坐標。（2）向量運算。（3）兩直線夾角題目。（4）直線與平面交點。（5）各種距離問題。（6）求平面方程。（7）求直線方程。

3 典型試題解析

3.1 求向量坐標

利用條件，先設所求向量的坐標，再根據條件求出坐標。

3.2 向量的運算

向量的運算有向量的線性運算，即加法運算與數量乘積運算，又有向量的數量積與向量積運算。

分析：直接利用向量積公式，以上可以求出

分析：利用向量運算的運算律，兩向量垂直，數量積為0；同向量向量積為零向量，得：

3.3 求兩直線的夾角

利用兩直線方向向量的數量積，即可求出兩直線的夾角。

3.4 求直線與平面的交點坐標

3.5 各種距離問題

3.5.1 兩平行平面距離

先取出一個平面上的某一點，再用點到平面距離公式，即可求出兩平行平面距離。

3.5.2 球面到平面之間的距離

這是求球面上的點到平面的最短距離。

3.5.3 異面直線之間距離

3.6 求平面方程

平面方程有點法式方程及一般式方程。

例10（2017年浙江省專升本考試計算題*22題）求過點且與直線平行的平面。

分析：由于已知直線是一般式方程，所以過此直線的平面束方程可以設為：

3.7 求直線方程

直線方程有點向式方程、參數方程及一般式方程。

例12（2007年浙江省專升本考試計算題*7題）求經過點且平行直線的直線方程。

分析：已知一點，關鍵求直線的方向向量。由題意，所求直線平行平面和平面，所以該直線的方向向量等于兩平面法向量的向量積。

4 結語

通過上述分析，向量代數與空間解析幾何考題不是很難，只要掌握考試大綱的基本要求，具有一定的空間想象力，尤其掌握向量的數量積、向量積、平面與直線的各種方式方程，就能很好地解決這部分內容的考題。