用定解問題思想理解剛體“無滑滾動條件”

肖世發，張道清，全 軍

（嶺南師范學院物理科學與技術學院，廣東 湛江 524048）

剛體力學是力學教學的重要內容之一，剛體力學理論是質點系力學理論的一種特殊情況。剛體力學內容包括剛體運動學和剛體動力學[1-2]。剛體運動學將剛體平動和定軸轉動作為剛體的基本運動，剛體平面運動可視為剛體上某一點的運動和繞通過該點的軸的定軸轉動合成，剛體的一般運動可視為點的運動和定點轉動[3-4]的合成。剛體平面運動的動力學方程為質心運動定理和繞質心軸的定軸轉動定理，其意義是剛體受力為主動力及主動力力矩（此時可將剛體看成孤立物體）時剛體運動遵循的動力學方程，求解剛體任意時刻的運動狀態需附加剛體質心的初始位置和初始速度、剛體定軸轉動的初始角位置和初始角速度（剛體運動的初始條件），比求解質點運動方程多了定軸轉動的初始條件。但是，當剛體在支撐物上運動時，支撐物對剛體的影響不但體現為施加于剛體上的力或力矩（出現在剛體動力學方程中），而且限制剛體的運動，這種限制一般教材采用“約束條件”表示。比如剛體平面運動中的無滑滾動，一般教材直接運用科尼希定理+“無滑滾動條件”建立方程，無滑滾動條件是支撐物對剛體運動限制的數學表述。文獻[1]中直接給出無滑滾動條件，對“無滑滾動條件”沒有更多的物理解釋，十多年的教學發現，學生對無滑滾動條件理解較難。主要有三種表現：（1）對“無滑滾動條件”的本質不清楚；（2）求解問題不根據實際情況濫用“無滑滾動條件”；（3）不利于培養學生從系統角度研究物理問題的思維方式。從而造成教學和學習的一個難點。

文中黑粗體符號表示矢量。

1 定解問題方法

剛體是有大小的系統，必有邊界，根據定界問題思想，系統的演化需要范定方程、邊界條件、初始條件共同確定。對于典型的無滑滾動問題，約束方程的本質是系統的邊界條件。對于其他情況，約束方程本質也是邊界條件。本文從教學的角度，深入研究無滑滾動問題，揭示“無滑滾動條件”的物理本質。

剛體平面運動時如果與其他物體接觸發生無滑滾動，剛體平面運動的動力學方程為剛體質心運動定理和剛體對質心軸的轉動定理：

其中F，Mz是剛體所受合外力及相對于質心的合外力矩在z軸的投影。將剛體作為一個系統，動力學方程式理解為系統運動的泛定方程[5]，“無滑滾動條件”作為剛體系統的邊界條件，即為剛體邊界與支撐物之間的運動約束條件，初始條件為質心運動的初始條件和定軸轉動的初始條件。通過建立定解問題，求解定解問題的思路講解無滑滾動，可以幫助學生理清思路，明確無滑滾動條件的物理本質是邊界條件，為后期學習數學物理方法課程中的定解問題奠定物理基礎。

定解問題思想處理剛體無滑滾動問題一般步驟如下：（1）受力分析；（2）描述系統的運動；（3）建立范定方程（動力學方程）；（4）給出剛體運動的邊界條件及系統的其初始條件；（5）求解定解問題；（6）結果討論。下面通過兩個例題說明定解問題思想解題的思路。

2 無滑滾動例題

【例題一】

圖1 剛體沿斜面無滑滾動

解：

（2）剛體平面運動：質心做直線運動，同時繞質心軸定軸轉動。

（3）建立泛定方程：圓柱體平面運動滿足科尼希定理（基本定律）：

（4）給出剛體運動的邊界條件及其初始條件：系統的邊界條件：圓柱體只有點（通過的線）與斜面相接觸，無滑滾動表明圓柱體與斜面接觸的點與斜面上的點對速度（線速度）和加速度（線加速度）相等，即，，斜面固定點的加速度，所以：

式是圓柱體運動的邊界條件。圓柱體上點的線加速度與角加速度之間的關系為：，所以式表示的標量形式為：

即教材[1]中直接陳述的“無滑滾動條件”。式可看成邊界條件。這是剛體“無滑滾動條件”的本質。

（5）定界問題求解：構成的圓柱體無滑滾動的定解問題，唯一解為：

（6）結果討論：圓柱體質心勻加速下滑，并繞質心勻角加速度轉動。

【例題二】

圖2 圓柱體在滑板上的運動

解：

（1）受力分析：此系統包含圓柱體和滑板，對于圓柱體，受力分析見圖2，受重力，支持力和摩擦；對于滑板，受重力，地面的支持力，壓力和摩擦力，拉力，見圖2。

（3）建立圓柱體運動的泛定方程：

所以圓柱體運動的邊界條件為：

根據平面運動的圓柱體上任一點的線加速度與角加速度的關系，式可表示為式：

系統的初始條件為：

（5）求解定界問題：將式、式投影到坐標軸，解方程得圓柱體的質心加速度、角加速度，滑板的加速度為：

考慮式，運用勻加速直線運動及勻角加速度轉動的運動公式，可求解圓柱體及其滑板的運動方程。

（6）結果討論：式表明滑板和圓柱體質心都做勻加速直線運動，圓柱體角加速度恒定。

3 結語

研究對象視為質點時不考慮物體大小，所以不需要邊界條件，將研究對象近似為剛體時，考慮了物體的大小，研究時需要考慮邊界條件。學生求解剛體問題時亂用“無滑滾動條件”，其根本原因是不理解其本質所造成的。在教學中運用定解問題思想求解剛體運動的問題，一方面有利于學生對“無滑滾動條件”本質的理解，另一方面能避免“無滑滾動條件”的亂用，同時能為大一新生初步建立用定解問題思想研究物理問題的方法，為后續課程的學習奠定基礎。