基于荷控憶阻器的混沌電路的Hamilton 能量控制

李國強，范秋華，朱柏銘

（青島大學電氣工程學院，山東青島 266071）

隨著五十多年的探索，人們逐漸對混沌運動的各個方面都產(chǎn)生了較為深刻的認識。混沌理論的研究涉及到多種領域，文獻[1]設計了一個基于混沌電路的彩色圖像加密方法；文獻[2]利用分數(shù)階的方式對混沌電路進行分析；文獻[3]設計了一個新的雙憶阻器系統(tǒng)，并對這個系統(tǒng)的動力行為進行了分析；文獻[4]通過運放電路實現(xiàn)了4 種憶阻等價電路，這些電路具有相同的混沌特性。

非線性系統(tǒng)存在多種不同的控制方式[5-12]，這些控制方式最終可以歸結于對能量的控制。能量的存儲、釋放與電容的充放電存在著必然聯(lián)系，對于實際的混沌電路[13]，可以寫出其微分方程，然后對方程進行無量綱化處理，用處理后的方程估計系統(tǒng)的能量交換。目前，已基于亥姆霍茲定理計算了一類動力學系統(tǒng)的Hamilton 能量函數(shù)，推導驗證了函數(shù)的有效性，并從力場的角度出發(fā)，結合電感的充放電過程解釋了函數(shù)的物理意義。文獻[14]研究了具有隱藏吸引子的廣義洛倫茲系統(tǒng)的動力學分析和Hamilton能量控制；文獻[15]設計了一種多卷吸引子混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有與Chua 電路相同的動力學結構，同時分析了其Hamilton 能量，發(fā)現(xiàn)能量隨著吸引子數(shù)量的增加而減少。電路的動態(tài)行為越復雜，必然消耗的能量越多，Hamilton 能量值也會越低。此外，可以通過檢測系統(tǒng)能量使控制器以最小能量達到對目標的預期控制，實現(xiàn)混沌系統(tǒng)的各種功能[16]。

文中首先在荷控憶阻器的基礎上設計了一個混沌電路，該電路具有和磁控憶阻電路相同的動力學結構，隨系統(tǒng)初始參數(shù)的改變，會出現(xiàn)多種不同的動力學行為；其次，計算系統(tǒng)的Hamilton 能量函數(shù)，并分析了Hamilton 能量的變化和電感充放電的關系；最后，用Hamilton 能量控制這個混沌電路，可以改變混沌電路的運動狀態(tài)。

1 荷控憶阻混沌電路分析

文中分析的荷控憶阻混沌電路結構圖如圖1 所示，該電路由荷控憶阻器M，電感器L1、L2，電容器C和電阻R構成。

圖1 荷控憶阻混沌電路結構圖

電路的微分方程如式（1）所示：

在該電路中，使用一個二次非線性函數(shù)模型表示荷控憶阻器的磁通量φ和電荷量q之間的關系：

電荷量對磁通量的微分就是憶阻器的阻值，用M表示：

設i1=x，i2=y，u=z，1/L1=α，1/C=β，L2=1，R=1，r=0，得到化簡的方程如下：

選擇系統(tǒng)的參數(shù)：α=7，β=10，a=1.5，b=1，當初始值為x(0)=0，y(0)=10-10，z(0)=0，q(0)=0時，利用Matlab 進行仿真，通過Jacobian 方法計算Lyapunov 指數(shù)為LE1=0.314 5，LE2=0.127 6，LE3=-0.077，LE4=-3.682。根據(jù)卡普蘭-約克猜想，李雅普諾夫維數(shù)計算如下：

由上式結果可以得出，荷控憶阻混沌電路處于混沌狀態(tài)。

當憶阻器的初始電荷q(0)分別為0、0.4、0.7、1.23時，系統(tǒng)的相圖如圖2 所示。

圖2 不同初始電荷下系統(tǒng)的相圖

圖中，uc為電容器C兩端的電壓，i1為電感器L1上的電流，當電路的初始電荷不同時，系統(tǒng)具有不同的狀態(tài)。其中，當q(0)=0.7 時，系統(tǒng)中出現(xiàn)一個自激吸引子，它是由系統(tǒng)不穩(wěn)定點產(chǎn)生的。

2 系統(tǒng)的Hamilton能量計算

將Hamilton 能量函數(shù)改寫成以下形式：

其中，x∈Rn為狀態(tài)向量。

當將系統(tǒng)看作關于能量問題的向量場時會發(fā)現(xiàn)，該向量場可以看作是保守場fc(x) 加上消耗場fd(x)，即：

電路中電流會隨時間不斷變化，由此引起電感線圈以及電容器不斷充放電，導致磁場中能量的吸收和釋放，電場做功可以帶來能量的改變。若用H(x,y,z,q)作為Hamilton 能量函數(shù)，則其滿足以下方程:

其中，保守場和消耗場分別表示為：

憶阻電路的Hamilton 能量函數(shù)可表示為：

方程的廣義解為：

它的微分形式為：

通過驗證可知，該函數(shù)是方程（12）的可靠解，通過分析函數(shù)解析式可以發(fā)現(xiàn)，此電路系統(tǒng)的能量變化與電流電壓的變化密切相關。

3 系統(tǒng)的Hamilton能量分析

選擇系統(tǒng)的電路參數(shù)為α=7，β=10，a=1.5，b=1，初始值選擇為x(0)=0，y(0)=10-10，z(0)=0，q(0)=0，H(0)=0。狀態(tài)變量i1及H的時間響應如圖3 所示。可以發(fā)現(xiàn)，H的最大值總是滯后流經(jīng)電感L1的電流最大值，也就是說，在電感的電流達到最大值的后，H達到最大。除此之外，H的變化還取決于電感電流變化的快慢，電感電流變化較快時，H的變化也較大，電感電流趨于穩(wěn)定時，H的變化也趨于穩(wěn)定。

圖3 狀態(tài)變量i1及H的時間響應(q(0)=0)

4 Hamilton能量對系統(tǒng)的控制

Hamilton 能量的變化會影響到混沌系統(tǒng)的動力學行為。因此，將Hamilton 能量作為一個控制器并引入到系統(tǒng)中，并以k作為反饋增益。利用反饋控制研究系統(tǒng)的狀態(tài)變化，動態(tài)函數(shù)設置如式（14）所示：

選擇系統(tǒng)的初值為x(0)=0，y(0)=10-10，z(0)=0，q(0)=0，H(0)=0。如圖4（a）所示，當控制參數(shù)k=0.5時，在時間0～200 s之間，H保持有規(guī)律的振蕩，此時混沌吸引子保持雙渦旋吸引子的形態(tài)。當?shù)竭_時間刻度250 s左右時，H急劇變化，電感大幅度充放電導致電流出現(xiàn)較大變化，此時，混沌系統(tǒng)的的一個吸引子向內塌陷，持續(xù)一段時間后進入準周期態(tài)。改變控制參數(shù)為k=1，如圖4（b）所示，隨著控制參數(shù)的增大，混沌吸引子的塌陷時間提前，并且更快地進入準周期態(tài)。

圖4 調制H的時域圖以及相圖(q(0)=0)

圖中，淺色為H，深色為i1，下同。

令q(0)=0.4，如圖5 所示，當控制參數(shù)k=1 時，準周期環(huán)逐漸向外擴散，最后形成周期一，H能量控制法在一定程度上可以抑制周期一的形成。

圖5 調制H的時域圖以及相圖(q(0)=0.4)

如圖6 所示，令q(0)=0.7，控制參數(shù)k=1，在0～80 s的時間范圍內，系統(tǒng)的自激吸引子并未發(fā)生太大的變化，在t=80 s 以后，H出現(xiàn)了較大的變化，即系統(tǒng)由自激吸引子向單吸引子轉變時出現(xiàn)了塌陷。

圖6 調制H的時域圖以及相圖(q(0)=0.7)

如圖7 所示，令q(0)=1.23，控制參數(shù)k=1，在0～800 s 的時間范圍內，電感電流i1基本不變，H基本為0，此后，隨著i1的逐漸增大，系統(tǒng)由一個點逐漸向外擴散，出現(xiàn)暫態(tài)混沌，最終收縮于另一點。

圖7 調制H的時域圖以及相圖(q(0)=1.23)

從以上的分析過程中可以發(fā)現(xiàn)，Hamilton 能量控制法對處于混沌態(tài)的系統(tǒng)影響更大，可以使混沌吸引子向內塌陷，收縮為一個點。對于處于周期一或準周期態(tài)的系統(tǒng)來說，Hamilton 能量控制法的影響較小，這是因為混沌振蕩具有更大的Hamilton 能量，而Hamilton 能量反作用于系統(tǒng)時，會對系統(tǒng)產(chǎn)生更直觀的改變。Hamilton 能量控制法作用于憶阻混沌電路時，總是趨向于使一個混沌系統(tǒng)塌陷，最終收縮為一個點，或者打破一個平衡，形成一個新的平衡。

5 結論

文中研究了Hamilton 能量對荷控憶阻混沌電路的影響及其控制方式。研究結果表明，Hamilton 能量隨電路中電流的變化而變化，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時要消耗更多的能量，Hamilton 能量也會隨之增大，應用這一原理可以檢測系統(tǒng)的狀態(tài)；同時，Hamilton能量可以有效控制系統(tǒng)的動態(tài)行為，應用Hamilton能量可以同步實現(xiàn)混沌的監(jiān)測和控制。該控制方法的優(yōu)點是在控制系統(tǒng)到期望狀態(tài)時可以檢測到能量轉換，控制速度快，響應時間短，控制效果顯著，具有獨特的性能和潛在的發(fā)展前景。