Haar 小波數值解原理在圖像邊緣檢測算法中的應用

徐艷華，周榮亞

（陜西鐵路工程職業技術學院，陜西渭南 714000）

在數字圖像處理領域，圖像邊緣[1]作為數字圖像最為重要的特征之一，可以方便地表示出一個圖像區域塊的開始與結束。從數學角度來看，圖像的邊界上存在大量梯度突變的特征點，而邊緣檢測[2]的主要功能則是查找出圖像邊緣灰度不連續的部分。目前，邊緣檢測已被廣泛應用到圖像處理、圖像分析與應用和機器視覺[3-4]等領域。

近年來，邊緣檢測已成為圖像處理研究領域的熱點，關于邊緣檢測的算法也較多。目前常見的邊緣檢測算法都是基于微分的思想，常見的微分算子有Robert、Soble、Log 和Canny[5]等。這些微分算子對計算機性能要求低，所需計算性能和存儲空間較小。但這些算法自身性能偏低，對復雜圖像或模糊圖像進行檢索時表現較差，因此需對傳統算法進行改進。

小波分析是對微分算法進行改進的有效方法。其是一種局部算法，在對圖像的局部進行分析時性能較好，同時可以在時域和頻域對圖像特征進行處理。該文結合小波變換[6]與數學形態學[7]邊緣檢測的優點，首先基于Haar 小波濾波器[8]對圖像進行分解；然后利用Canny 檢測算子對圖像的高頻部分進行邊緣檢測，而對于圖像的低頻子分量部分，則引入形態學邊緣檢測算法。

1 基于Haar小波變換的圖像邊緣檢測

1.1 一維非均勻Haar小波原理

作為Daubechies小波家族中最簡單的一種，Haar小波亦被稱為一階Daubechies 小波。在工程應用中，傳統模式的均勻Haar 小波存在一些局限性，即對眾多工程中的邊界問題適用性較差。因此該文為提升檢測算法的精確性，采用非均勻Haar 小波[9]。下面將對非均勻Haar 小波原理進行介紹：

非均勻Haar 小波定義的引入離不開子空間的非均勻劃分。令M=2J，伸縮因子定義為j=0,1,…,J，平移因子定義為k=0,1,…,m-1,m=2j。小波的數量由i=m+k+1 所決定，其中i的上限為2M，則定義Haar 尺度函數為：

其中，χ[a,b](x)表示[a,b]上的特征函數，對于非均勻子空間的劃分，令x∈[a,b]，規定第l個子區間的長度Δxl=xl-xl-l，其中l的取值范圍為1,2,…,2M。假定Δxl+1=qΔxl，這里q＞1 為指定常數，所有子區間長度和為：

利用Δxl+1=qΔxl，類推迭代可得到非均勻子空間劃分的網格點為xl=a+lql-1/q2M-1。

以上述非均勻子空間的劃分為基礎，可引入一維非均勻Haar 小波的定義如下：

其中，hi(x)為第i個非均勻Haar 小波函數。當i＞1 時，上式中ξ1(i)=x(2kμ),ξ2(i)=x[(2k+1)μ],ξ3(i)=x[2(k+1)μ]。

1.2 非均勻Haar小波算法在圖像分解中的優勢

利用小波變換可以將基礎圖像進行分解，該文選用Haar小波濾波器對圖像進行分解。對圖像分解的本質是對積分方程進行求解，該文使用的Haar 小波變換在積分方程求解中具有較強的優勢[10-11]。

在方程求解中基于中點配置法和非均勻Haar小波求解積分方程，其中將配置點選取如下：

假設求解的積分方程為：

由積分方程的相關數理知識可知，方程的精確解應為：

而所有的配置點均可由式（6）計算得到。將積分方程的非均勻Haar 小波解表示為級數的形式可得到：

式（9）中，ai式為小波系數向量a的對應元素，將式（9）代入式（7）中可得到：

假設Gi為：

則由式（5）的非均勻Haar 小波定義可得：

將配置點xc代入矩陣方程：

通過式（14）和（15）即可求出向量a=(ai)。再將ai代入到式（9）中，即可得到方程的Haar 小波解。由計算結果可知，方程的精確解和數值解的誤差在10-5～10-4之間，由此可以說明非均勻Haar 小波在求解積分方程時誤差較小，表明Haar 小波算法在圖像分解過程中可達到較高精度。

1.3 基于Haar小波的圖像邊緣檢測算法

該文以Haar小波變換為基礎利用Haar小波濾波器將原圖像進行分解。針對不同的子分量圖像，選擇不同的邊緣檢測算法，然后對不同子分量的結果進行重構以提升算法性能。最終提出的算法模型主要由三部分組成，分別是Haar小波分頻處理、Canny算子邊緣檢測和抗噪型形態學邊緣檢測，整體的算法流程如圖1所示。下面將對每個具體的組成部分進行介紹：

圖1 該文算法流程

1）基于Haar 小波的分頻與重構：該文提出算法在進行原始輸入圖像頻率分解與最終的合成重構時，采用的方法為一級Haar 小波分解方法，具體分解信息如圖2所示。由圖2可知，所提出算法將輸入的原始圖像分為4個子集合向量，用字母表示為A、V、H、D。

圖2 一級Haar小波分解圖

2）Canny 算子邊緣檢測：邊緣檢測操作簡單，但其需要處理的細節信息較多。通常基于圖像中形狀區域的梯度信息，找出灰度值變化較大的點，并對圖像的邊界區域進行識別和提取，其具體實現過程如圖3 所示。將圖像作為二維數據，實際上就是對二維數據取梯度值即可得到所需的圖像數據矢量值。而圖像數據梯度值的本質則是對二維變量的每個變量單獨求偏導，結果如式（16）所示：

圖3 邊緣檢測一般步驟

該文對原始圖像分解后得到的高頻子分量圖像部分使用Canny 算子作為該算法的邊緣檢測算子，文獻[12-16]中的結果均表示該算子的檢測效果最佳。基于Gauss 濾波器[12]的強大計算能力，可以準確得出圖像的梯度信息。通過尋找基于局部梯度的最大強度邊界信息，Canny 算子能夠實現邊緣信息的準確檢測。針對噪聲問題，Canny 算子設置了雙閾值模式，其可以保證邊緣檢測時對圖像邊緣信息的準確提取。該模式能夠顯著提高邊緣檢測的精確度，并可準確提取出待測圖像的邊緣信息。閾值按照大小可以分為大閾值和小閾值，若梯度強度小于檢測大閾值的要求，則需要對大小邊緣點進行擬合，該檢測點即確定為弱邊緣點[13]。正是因為該算子使用大小兩個閾值進行邊緣點檢測，所以該算法的檢測性能相較于其他兩個算法更優。

3）抗噪型形態學邊緣檢測：通過上文分析可知，雖然算法操作簡便，但檢測時的圖像噪聲對檢測結果影響較大。為解決這一問題，提升算法的抗噪能力，該文引入一種抗噪型形態學邊緣檢測算法來提升所提算法在噪聲干擾情況下的性能。基本形態學運算如開運算和腐蝕運算[14-16]可以較好地抑制圖像中的峰值噪聲；反之，基本形態學運算如閉運算和膨脹運算則可以較好地抑制圖像中的底谷噪聲。由此可見，基于形態學的理論對上述算子進行處理，可大幅度增強算法的魯棒性，且圖像噪聲對結果的影響也會減小。加入抗噪因子后的算子分為如下幾種類型：

開運算型：

閉運算型：

開閉運算型：

文中在對低頻子分量圖像部分進行邊緣檢測時，使用的并非3 種檢測算子，而是加入了抗噪因子的抗噪算子，從而使該邊緣檢測算子抗圖像噪聲干擾的能力更強，其檢測結果表明進一步優化了圖像的邊界區域，且能夠獲得更為良好的視覺效果。

2 實驗分析

2.1 實驗條件

為驗證該文提出算法的有效性，基于Matlab R2016a軟件平臺對算法進行仿真實驗，測試采用Lena圖。具體仿真的軟硬件環境參數設置，如表1所示。

表1 實驗軟硬件環境配置

2.2 實驗測試與結果分析

為測試該文提出的邊緣檢測算法的性能，首先采用所提算法對標準Lena 圖像進行邊緣檢測。為方便對比，文中給出了傳統邊緣檢測算子Robert、Sobel、Log 和Canny 檢測的邊緣圖像，具體的實驗結果主觀示意圖如圖4 所示。

圖4 邊緣檢測算法主觀示意圖

通過觀察圖4 可知，Robert 和Sobel 邊緣檢測算法檢測的圖像邊緣不連續且細節少；Log 邊緣檢測算法檢測的圖像噪聲較多；Canny 邊緣檢測算法得到的圖像邊緣平滑，但細節信息模糊；只有該文提出的邊緣檢測算法檢測的邊緣連續且清晰，而圖像數據也得到了較好的保留。在經典的Lena 中，可以看到人物的臉部輪廓、頭頂的帽子邊緣依舊清晰。

上述實驗也稱為主觀評價法，可以通過人眼直觀地對圖片質量進行評價。圖像質量的客觀評價法，是指使用一些統計學指標對圖像的數據進行客觀計算以比較算法性能。該文使用到的客觀評價指標有均方誤差、峰值信噪比以及平均梯度，使用這3個客觀指標對文中算法和對比算法進行計算，其結果如表2 所示。

表2 邊緣檢測算法客觀指標

由表2 可知，該文算法在客觀評價的3 個指標中均領先于其他3 種算法。綜上所述，通過主觀評測對比與客觀指標評測對比可以發現文中提出的算法具有更強的抗噪聲干擾能力，在性能表現上優于傳統邊緣檢測算法。

3 結束語

該文提出的邊緣檢測算法基于Haar 小波變換將原始圖像進行分頻處理。使用非均勻Haar 小波變換，其積分方程的解相較傳統小波變換精度更高，因此提出算法具有更優的檢測性能。與其他圖像邊緣檢測的算法相比較而言，文中提出算法的優勢在于顯著提升了抗圖像噪聲干擾的能力，且檢測出的結果邊緣清晰，圖像邊界被進一步凸顯出來，主觀視覺效果更優。同時，對于背景對比度較低的圖像類型，該算法依舊能對邊緣進行高質量的檢測與提取。基于Lena 圖像對該文算法的性能進行驗證，在主觀性驗證中表現良好且圖像邊緣細節較為清晰。在客觀性對比評價中指標領先于對比算法，說明文中算法對圖像的檢測性能較好，圖像的細節表現力和抗噪能力更強。