緊扣主線 高效復習
——以數列前n項求和方法的復習為例

廣西岑溪中學（543200） 鐘 明

在新高考中，數列大題出現在第一道解答題的位置，更多的是關注基本方法、基本思想，其中裂項相消法和錯位相減法是求數列前n項和的最基本的兩類方法。數列前n項求和方法的復習至關重要。那么，如何有效開展數列前n項求和方法的復習呢？筆者認為，可緊扣知識、思想方法、核心素養三大主線進行復習。

一、緊扣知識主線進行復習

高中數學復習中，學生有兩個基本任務，一是溫故知新，二是查漏補缺。教師可指導學生從兩個方面進行查漏補缺：一是數學概念、定理法則方面，梳理哪些還沒有記住，哪些沒有理解，哪些無法運用；二是數學思想方法和思維方法方面，厘清哪些還不會用或用得不夠好。在復習數列前n項求和方法時，教師應緊扣知識主線引導學生梳理數列求和的常見方法。

（一）公式法

（二）分組求和法

當數列的通項是等差數列或等比數列的和（或差）的形式時，形如cn=an+b（n其中an和bn為等差數列或為等比數列），可以分解為基本數列（等差數列或等比數列）進行求和。

［例1］已知等比數列{an}中，若a1=3，公比q＞1，且3(an+2+an)-10an+1=0(n∈N+)。

（1）求數列{an}的通項公式；

評析：對于復合數列，若無法直接利用數列的通項公式求和，則可將其分解為幾個容易求和的基本數列，對復合數列通項中的和（差）重新分組與拆分，再利用公式進行求和。

（三）裂項相消法

裂項相消法主要是把數列的通項拆分為兩項之差后求和，正負相消剩下首尾若干項。應用此法時必須注意哪些項被消除，哪些項被保留，同時需要掌握一些常見的裂項，如（其中an為等差數列）。

［例2］Sn為數列{an}的前n項和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3。

（1）求{an}的通項公式；

解：（1）an=2n+1。

評析：根據an=2n+1 通項特點，得bn=，顯然分母為等差數列相鄰兩項的乘積，符合裂項相消法的應用要求。

（四）錯位相減法

對于由等差數列和等比數列對應項之積組成的數列，形如cn=an·b（n其中an為等差數列，bn為等比數列），常用錯位相減法求和?？稍诘仁絻啥送瑫r乘以等比數列的公比（或公比的倒數后進行錯位相減，再利用等比數列的求和公式化簡求值。

［例3］設{an}是公比不為1 的等比數列，a1為a2，a3的等差中項。

（1）求{an}的公比；

（2）若a1=1，求數列{nan}的前n項和。

解：（1）{an}的公比為-2。（解題過程略）

評析：錯位相減法適用于由一個等差數列{an}及一個等比數列{bn}對應項之積組成的復合數列。用錯位相減法求解，常會因為步驟煩瑣、計算量大，而導致漏項或添項以及符號出錯等。因此在等式兩邊乘公比后，對應項的冪指數會發生變化，應將相同冪指數的項對齊，這樣有一個式子前面空出一項，另外一個式子后面就會多出一項，兩式相減除第一項和最后一項外，剩下的n-1 項是一個等比數列。

以知識為主線引導學生溫故知新，可讓學生更清楚各類數列前n項求和方法的基本特點和應用要求，同時強化學生對基礎知識和基本技能的掌握。

二、緊扣思想方法主線進行復習

如果說新課的學習重在“把書讀厚”，那么復習課則要“把書讀薄”。把握知識和方法的本質是“把書讀薄”的重要手段。要讓學生搞清楚知識背后所蘊含的思想方法與思維方法，教師應指導、幫助、督促學生加強對思想方法與思維方法的梳理與比較。教師應緊扣思想方法主線引導學生復習數列前n項和的求法。

［例4］已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1。

評析：本題考查了數列的概念、遞推公式，等比數列的定義、通項公式，等比數列的前n項和公式和放縮法證明不等式，體現了化歸與轉化思想的應用。

［例5］已知數列an=n2·2n，求數列前n項和Sn。

評析：讓學生在原來的認知和知識框架下深化學習，把握數學知識中所蘊含的通性通法和數學思想。教師應通過審題示范、解題分析示范、解題反思示范，促進學生數學思維的發展，提升數學復習效果。

三、緊扣核心素養主線進行復習

在復習一些重要的知識與方法時，教師要盡量讓學生多參與、多體會、多感悟，不斷培養學生思維的深刻性，發展學生直觀想象、邏輯推理、數學運算等學科核心素養。教師應緊扣核心素養這一主線引導學生復習數列前n項和的求法。

［例6］設等差數列{an}的公差為d，點(an,bn)在函數f(x)=2x的圖像上(n∈N*)。

（1）若a1=-2，點(a8,4b7)在函數f(x)的圖像上，求數列{an}的前n項和Sn；

評析：本題的第（1）問以函數為載體，以“點在函數圖像上”為切入點得到數列的遞推關系式，考查等差數列前n項和的知識。第（2）問以導數為工具，以曲線的切線方程為切入點，以“直線在x軸上的截距為為線索，利用方程思想求公差的通項公式識別“數學模型”，最終用錯位相減法（或構造法）解決問題。本題有效考查了學生的直觀想象、邏輯推理和數學建模等數學學科核心素養。

綜上可知，在高中數學復習教學中，教師應緊扣知識、思想方法和核心素養三大主線引導學生進行復習，使學生把握數學本質和掌握數學知識、方法，進而發展學生的高階思維，培養學生的數學學科核心素養。