探究試題規律 發現數學的美
——一道高考題引發的探究

山東省平度第一中學（266700） 王尊甫

羅素曾說過，如果正確地看數學，它不但擁有真理，而且也具有至高的美。數學的美不僅包括外在的形式美和簡潔美，還包括內在的抽象美以及隱秘的理性美。

許多圓錐曲線問題中都有著隱秘的結論和規律。很多結論和規律可以進一步引申和推廣，這也充分體現了圓錐曲線的拓展美和奇異美。

一、試題呈現

（2021 年高考全國甲卷理科第20 題）拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：x=1交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ。已知點M(2,0)，且⊙M與l相切。

（1）求C，⊙M的方程；

（2）設A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切，判斷直線A2A3與⊙M的位置關系，并說明理由。

解：（1）C：y2=x，⊙M：(x-2)2+y2=1；

（2）設A1(a2,a)，A2(b2,b)，A3(c2,c)。

當a=±1或a=±3，可證直線A2A3與⊙M相切。

當a≠±1且a≠±3時，

因為直線A1A2，A1A3均與⊙M相切，

所以點M(2,0)到A1A2，A1A3兩直線的距離均相等，且距離為1。

因此，直線A2A3與⊙M也相切。

二、提出問題

培養學生的問題探究意識是中學數學教學的一個重要方面，它對于培養學生的邏輯推理素養有著重要的意義，有助于提升學生發現和提出問題、分析和解決問題的能力，有助于培養學生的應用意識和創新能力。

問題求解之后，筆者與學生進行了交流。學生對解題思路轉化印象深刻，并驚訝于結果的奇異美。學生不約而同地提出了一個問題：該圓是不是隨意設定的，其圓心位置和半徑有無必然的聯系？

筆者引導學生利用GeoGebra 軟件輔助研究。學生對⊙M的圓心和半徑分別進行了調整，發現直線A2A3與⊙M不再相切，這表明⊙M：(x-2)2+y2=的設定是基于某種隱秘的規律，它與拋物線肯定存在著某種聯系。

三、問題探究

基于學生的能力基礎，筆者將⊙M設定為圓心在拋物線軸上的圓，并提出問題：

設拋物線C：y2=2px(p＞0)，已知⊙M：(x-x0)2+y2=R2(R＞0)，設A1，A2，A3是C上的三個點。若⊙M是△A1A2A3的內切圓，試分析x0與R應滿足的關系。

我們不妨先借助圖像的對稱性，由特殊位置入手探究。

當A1為坐標原點時，則必有A2，A3關于x軸對稱。

不妨設直線A1A2的方程為x=my，

與拋物線C：y2=2px(p＞0)方程聯立得y2=2pmy。

因為⊙M是△A1A2A3的內切圓，所以點M到直線A1A2，A2A3的距離均為R，

基于此，可得到以下結論。

結論1設拋物線C：y2=2px(p＞0)，已 知⊙M：(x-x0)2+y2=R2(R＞0)，設A1，A2，A3是C上的三個點，若⊙M是△A1A2A3的內切圓，則必有x0=

四、揭示本源

從以上探究過程可以發現，只要⊙M是拋物線C某一內接三角形MNP的內切圓，那么就必定滿足：設A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切，那么直線A2A3與⊙M必定也相切。

結論2已知拋物線C：y2=2px(p＞0)，動點A(x1,y1)在拋物線上，由點A引拋物線某內接三角形的內切圓的切線分別交拋物線于點B，C，則直線BC必與該圓相切。

如果推廣到橢圓和雙曲線，也有類似的結論。

結論3已知橢圓動點A(x1,y1)在橢圓上，由點A引橢圓某內接三角形的內切圓的切線分別交橢圓于點B，C，則直線BC必與該圓相切。

［例題］已知橢圓在橢圓上，且點A是橢圓的左頂點，點M，N關于x軸對稱。若圓E：x2+y2=r2(r＞0)是△AMN的內切圓。

（1）求r；

（2）點P(x0,y0)是橢圓上任意一點，由點P引圓E的兩條切線分別交橢圓于點S，T，則直線ST必與圓E也相切。

解析：（1）由題意知，點A(-2,0)，設M(r,yM)，則r2+4yM2=4，

且原點O到直線AM的距離為r，因此有

因此，直線ST與圓E也相切。

本題的第（1）問以橢圓中的特殊位置開啟思路，以圖形的對稱性為切入點，形成簡潔的求解思路。第（2）問則將特殊位置推廣至一般位置，以探究引發學生深度思考，進而揭示其中隱秘的規律。

如果繼續深入探究，可得到：

若圓O：x2+y2=r2(r＞0) 是橢圓1(a＞b＞0)的內接三角形的內切圓，則必有r=

結論4已知雙曲線動點A(x1,y1)在雙曲線上，由點A引雙曲線某內接三角形的內切圓的切線分別交雙曲線于點B，C，則直線BC必與該圓相切。

五、總結反思

在數學教學中，融入數學美，運用數學美的感染力，可以激發學生的學習興趣，調動學生學習數學的主動性和積極性，啟發學生的數學思維，促進學生理解知識之間的內在聯系，形成知識的有序結構和解題方法體系，還可以激發學生對真和美的追求，陶冶學生的思想情操，培養學生的進取精神。教師應充分挖掘美育素材，抓住有利時機來培養學生的數學審美能力。

在本文中，筆者從一道高考題出發，經過大膽的猜想與嚴謹的求證，最終得到了題目背后隱秘的規律，感悟到圓錐曲線結論中的奇異美與統一美，這正是數學探究的魅力。

教師應結合學生的發展規律和認知能力，幫助學生實現經問題的合情推理步入深度的數學探究，進而培養學生的思維能力，提升學生的數學學科核心素養。在這個過程中，我們可以清晰地看到，學生在以“美”為感性追求的活動中逐步形成了對“真”的理性追求。