一道試題的命制思路與解法賞析

福建莆田第一中學（351100） 蔡晶晶

在2021 年4 月初莆田市高三畢業班第二次市質檢中，筆者有幸參與了第22 題導數壓軸題的命制，收獲頗豐，感觸頗深，謹以此文與同行交流探討。

一、原題呈現

設函數f(x)=2ex+acosx，a∈R。

（1）若f(x)在上存在零點，求實數a的取值范圍。

（2）證明：當a∈[1,2]時，f(x) ≥2x+3。

二、命制手法

本題的第（2）小題是運用幾何畫板探究函數f(x)=2ex+acosx的圖像與一次函數圖像的關系時產生的命制思路。在通過對參數a不斷調整取值時發現，當a∈[1,2]時，f(x)=2ex+acosx的軌跡恒在一條直線上方，通過擬合取整，可取該直線方程為y=2x+3，再進行嚴格論證可得出本小題結論正確。

三、解法賞析

第（1）小題的解法如下：

解法1（分類討論法1）：

因此實數a的取值范圍為(-∞,-2)。

第（2）小題的證法如下：

證法1（分類討論法）：

當a∈[1,2]時，要證f(x) ≥2x+3，即證2ex+acosx-2x-3 ≥0。

令G(x)=2ex+acosx-2x-3，則G′(x)=2ex-asinx-2，G″(x)=2ex-acosx。

①當x≥0 時，G″(x) ≥2-a≥0，G′(x) 在[0,+∞)上單調遞增，G′(x)≥G′(0)=0，所以G(x)在[0,+∞)上單調遞增，G(x) ≥G(0)=a-1 ≥0。

綜上所述，G(x) ≥0。

故當a∈[1,2]時，f(x) ≥2x+3。

證法2（變換主元法）：

當a∈[1,2]時，要證f(x) ≥2x+3，即證2ex+acosx-2x-3 ≥0。

設g(a)=(cosx)a+(2ex-2x-3)，故只需證對任意a∈[1,2]，有g(a) ≥0。

當x＜0 時，t(x) ＜0，即h′(x) ＜0；當x＞0 時，t(x) ＞0，即h′(x) ＞0，所以h(x)在(-∞,0)上單調遞減，在(0,+∞)上單調遞增。

因此h(x)≥h(0)=0，即2ex+cosx-2x-3 ≥0。

（ⅱ）再證2ex+2 cosx-2x-3 ≥0。

③當x≥0 時，設v(x)=2ex+2 cosx-2x-3，則v′(x)=2ex-2 sinx-2。

因為v″(x)=2ex-2 cosx＞0，所以v′(x)在[0,+∞)上單調遞增，v′(x) ≥v′(0)=0。

因此v(x)在[0,+∞)上單調遞增，v(x) ≥v(0)=1 ＞0，2ex+2 cosx-2x-3 ＞0。

綜合①②③可知，2ex+2 cosx-2x-3 ＞0。

故當a∈[1,2]時，f(x) ≥2x+3。

證法3（分離參數法）：

筆者從直觀想象的角度出發，改編了一道高三模擬題作為期末考試題。

改編前原題：已知函數f(x)=xex-a(lnx+x)。

（1）略；

（2）若a＞0，求f(x)的最小值。

解法1（隱零點法）：

所以g(x)在(0,+∞)上為增函數。

由a＞0得g(0)=-a＜0，g(a)=a(ea-1) ＞0，所以g(0)g(a) ＜0，

故存在x0∈(0,a)，使g(x0)=0，即x0ex0=a，即lnx0+x0=lna。

因為g(x)在(0,+∞)上為增函數，

所以當x∈(0,x0) 時，g′(x) ＜g′(x0)=0，即f′(x) ＜0；

當x∈(x0,+∞)時，g′(x)＞g′(x0)=0，即f′(x)＞0，

所以f(x)在(0,x0)上為減函數，在(x0,+∞)上為增函數，f(x)min=f(x0)=x0ex0-a(lnx0+x0)=aalna=a(1-lna)。

解法2（同構函數法）：

由題意得f(x)=xex-a(lnx+x)=elnx+x-a(lnx+x)。

設t=lnx+x，則t∈R。

記φ(t)=et-at(t∈R)，故f(x)的最小值即為φ(t)最小值。

又φ′(t)=et-a(a＞0)，

當t=(-∞,lna)時，φ′(t) ＜0，φ(t)單調遞減；

當t∈(lna,+∞)時，φ′(t) ＞0，φ(t)單調遞增，

所以f(x)min=φ(lna)=elna-alna=a-alna。

改編后試題：已知函數f(x)=xex-a(lnx+x)（a＞0）。已知f(x)有兩個零點，求a的取值范圍。

解：同上可知f(x)min=f(x0)=x0ex0-a(lnx0+x0)=a-alna=a(1-lna)。

①當0 ＜a≤e 時，有f(x)min=f(x0)≥0，所以f(x) ≥0，此時f(x)在(0,+∞)上至多只有一個零點，不合題意，舍去。

②當a ＞e 時，有f(x)min=f(x0)＜0，由x0ex0=a，得1 ＜x0＜a。

又因為f(x)在(x0,+∞)上為增函數，所以f(x)在(x0,+∞)上存在唯一零點x2，f(x)在(x0,+∞)上有兩個零點。

綜上所述，a的取值范圍為(e,+∞)。

以下同解法一。

四、命題感悟

正所謂“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”。以上試題遵循“低起點、多層次、高要求”的命題原則。從直觀想象入手研制試題，發現不論是分類討論法還是分離參數法，或是變換主元法，或是隱零點法，抑或是同構函數法，都是常用方法。多角度、分層次地探索解題思路，引導學生學會有邏輯地、創造性地思考，善于把握本質、以簡馭繁，能發展學生的理性思維，培養學生的科學精神，提升學生分析和解決問題的能力。