處理圓錐曲線問題的幾個關鍵點

安徽合肥市第九中學（230001） 殷春生

圓錐曲線問題是考查學生思維能力和計算能力的重要載體，在高考中常以壓軸題的形式出現。學生在解決此類問題時，常常因為方向不明確或思路不正確，致使解題有始無終。基于此，筆者提出處理此類問題需要把握的幾個關鍵點，并引例說明。

［例1］已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A,B，點M是橢圓C上異于A,B的一點，直線AM與y軸交于點P。

（1）若點P在橢圓C的內部，求直線AM的斜率的取值范圍；

（2）設橢圓C的右焦點為F，點Q在y軸上，且AQ ∥BM，求證：∠PFQ為定值。

一、解題方向要準確無誤

定點、定值和最值問題是歷年高考重點考查的題型。本題第（2）問要求證明∠PFQ為定值，有些學生認為這個角可能為特殊角，如等，想到利用正弦定理、余弦定理等解三角形的有關知識求解，進而要求△PFQ的其他邊或角。因M是動點，所以點P、Q的位置不確定，要表示P、Q的坐標需要引入變量，再利用兩點間距離公式求邊長，即使可以表示出來，但不容易消元，計算煩瑣。

類似地，判斷一個角是銳角、鈍角、直角時，均可采用此種方法。

二、方法選擇要心中有數

圓錐曲線問題的求解思路，總的來說有兩種：一是引入直線方程，設出交點坐標，將其與曲線方程聯立，代入消元，結合判別式得出根與系數的關系，結合題目條件列出關系式，再代入根與系數的關系進行求解；二是采用設點法求解，即設出動點坐標(x0,y0)，將其他相關點的坐標用x0,y0表示，再結合題目條件列出關于x0,y0的關系，最后將x0,y0代入曲線方程，據此進行消元處理。

本題中的動點是M，因M的變動，使得P、Q隨之變動，因此可采用設點法求解。具體解題過程如下：

本題在求解點Q的坐標時，也可利用直線BM與BQ的對稱性，即先求出直線BM與y軸的交點的坐標，再利用點Q與該點的對稱關系得出點Q的坐標。

三、隱含信息要挖掘清楚

本題能不能采用設直線的斜率k的方法來求解？答案是肯定的。這需要對題目中隱含的信息進行挖掘。本題中所隱含的信息在教材習題中有所體現。

［例2］（人教版高中數學教材A 版選擇性必修1 練習）已知點B(6,0)，C(-6,0)，過點B的直線l和過點C的直線m相交于點A，設直線l的斜率為k1，直線m的斜率為k2，如果求點A的軌跡方程，并說明此軌跡是何種曲線。

此習題可推廣到一般的情況。

［例3］已知點B(-a,0)，C(a,0)(a＞0)，過點B的直線l和過點C的直線m相交于點A，設直線l的斜率為k1，直線m的斜率為k2，如果求點A的軌跡方程，并說明此軌跡是何種曲線。

利用上述求解方法可得點A的軌跡方程為

對此結論進行逆向探究，可得出如下結論：

結論1已知橢圓的左、右頂點分別為A、B，M為橢圓上不同于A、B的一點，則直線AM、BM的斜率之積為定值

而例1 所給的條件，恰好符合這一結論，故可采用設直線斜率的方法求解。

例1 的另外解法：設直線MA的斜率為k，則直線MA的方程為y=k(x+2)，令x=0，則y=2k，即點P(0,2k)。

教材中的例題、習題都具有典型性，其中隱含著重要的知識、結論，包括解題的方法。因此，廣大教師在教學中要尊重教材，充分利用教材，并引導學生主動探究教材，充分發揮教材的最大作用。

四、結論探究要進行徹底

上述結論也可以推廣到更為一般的形式，即只要A、B兩點關于坐標原點對稱，此結論仍然成立。

結論2已知橢圓A、B是橢圓C上關于原點對稱的兩點，M為橢圓上與點A、B不重合的一點，若直線AM、BM的斜率存在且不為0，則直線AM、BM的斜率之積為定值

圖1

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線l過坐標原點O，且不與x，y軸重合，交橢圓C于點P,Q，過點P作x軸的垂線，垂足為點D，連接QD并延長交橢圓C于點E，試判斷直線PE和l的斜率乘積是否為定值。若為定值，請求出該定值，否則請說明理由。

即PE和直線l的斜率之積為定值

本題中橢圓上的點P與點Q關于坐標原點對稱，所以直線PE與QE的斜率之積為定值。只要我們心中有這個結論，解題的方向也自然就明確了。

類似地，在雙曲線中也存在這一結論。

計算量大是圓錐曲線問題的重要特征，因此在解決圓錐曲線問題時除了要注意上述幾個關鍵點，還要做到準確計算。

總之，圓錐曲線問題雖然形式多變，方法靈活，但是只要我們能夠準確把握好關鍵點，就能以不變應萬變，順利、準確地解決問題。