圓錐曲線壓軸題的處理策略

安徽阜陽市阜南一中（236300） 應 莉

本文以2020 年新課標Ⅰ卷（山東）第22 題為例，從解題方向的確定、解題方法的尋找和問題的拓展三個視角談談圓錐曲線壓軸題的處理策略。

［例1］［2020 年新課標Ⅰ卷（山東）第22 題］已知橢圓的離心率為，且過點A(2,1)。

（1）求C的方程；

（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足。證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值。

一、解題方向的確定

確定正確的解題方向是成功解題的關鍵。解題是從審題開始的，那么審題要審什么呢？總的來說，要審條件、審結論、找關聯。本題的主要條件是M，N是橢圓C上兩點，A為已知點，可將問題轉化為一條直線與橢圓C交于M、N兩點，且AM⊥AN。由AM⊥AN,可得直線AM和AN的斜率之積為-1。

橢圓有下面的性質：

M，N是橢圓上關于原點對稱的兩個點，P為橢圓C上不與M、N重合的點，若MP，NP的斜率存在且不為零，則kMP·kNP=

由該性質不難得出如下推論：

直線l與橢圓N兩點，P為橢圓C上不與M、N重合的點，若kMP·則直線l過坐標原點。

證明方法同上，省略。

如圖1 所示，若直線MN過定點，設該點為E，因為A為已知點，所以|AE|為定值，而AD⊥MN，所以△ADE為直角三角形，或所求的點Q為AE的中點，則，為定值，進而問題得解。

圖1

從上述分析來看，解題方向并不是盲目確定的，而是與我們熟悉的內容建立關聯。通過研究不難發現，很多高考題都是以我們熟悉的知識為背景，只要我們明確這些背景，解題方向的確定也就水到渠成了。

二、解題方法的尋找

以直線與圓錐曲線相交為背景的考題，常規解法是先引入直線方程，將其與橢圓方程聯立，再利用坐標法、消元法、判別式及根與系數的關系等，結合所給的條件建立關聯進行求解。

解法1：

（1）求得C的方程為

（2）當直線MN的斜率存在時，設其方程為y=kx+m，聯立

本題是由斜率之積為定值（該定值為-1）引發的定點問題，事實上斜率之積為定值（不一定為-1）也能引發定點問題。解法2 采用了“齊次化”的方式，大大地簡化了運算。

三、問題的拓展

類似的問題還有很多，我們可將斜率之積為定值變換為斜率之和為定值。另外，也可以將曲線類型變換為雙曲線或拋物線進行探究，從而拓展視角。

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線l不經過點P2且與橢圓C相交于A、B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率和為-1，證明：直線l恒過定點。

解析：

（1）因為P3，P4兩點關于y軸對稱，所以由題設知橢圓C經過P3，P4兩點。

（2）方法1：設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果直線l與x軸垂直，設直線l：x=t，由題設知t≠0，且 |t|＜2，可得A，B的坐標分別為

［例3］已知拋物線C：y2=2x和點P(2,2)，A、B是C上異于點P的兩點，直線PA、PB的斜率分別為kPA，kPB，且滿足kPA·kPB=2，則直線AB過定點（ ）。

［例4］已知拋物線C：y2=2x和點P(2,2)，A、B是C上異于點P的兩點，直線PA、PB的斜率kPA，kPB滿足kPA+kPB=0，則直線AB的斜率為（ ）。

圓錐曲線問題雖然常考常新，但萬變不離其宗，只要把握題目條件特征，化陌生為熟悉，即可明確解題的方向，確定解題的方法。將問題的曲線類型進行拓展，構建知識網絡，可有效拓展學生的解題思路，提升學生分析問題和解決問題的能力。