融入信息技術的HPM教學研究

周佳豪，代可可，薛鑒偉

（江蘇大學，江蘇鎮江 212013）

近年來，信息技術與不同學科的結合逐漸獲得各科教師的認可，而數學史視角下的課堂教學也日益受到廣大教育工作者們的關注。在現代數學教學中，信息技術與數學史的融合的趨勢必不可擋。例如，中學教師在講解球的體積時，若想將劉徽的“牟合方蓋”和“祖暅原理”很好地融入其中，僅靠口頭講解和板書是無法做到的，這時若教師通過信息技術，例如，GeoGebra動態地展示牟合方蓋的構成和祖暅的“緣冪勢既同，則積不容異”的定理，既有助于學生的理解，又培養了學生空間觀念與幾何直觀能力?？梢哉f信息技術是數學史與數學教育聯結的一條紐帶。

一、傳統HPM教學的優點與不足

法國數學家龐加萊曾說過預測數學未來的適當途徑就是研究數學的歷史，這句話是我們為什么要學習數學史的一個有力解釋。同時，數學史揭示了數學的概念，定理的產生和逐步發展的過程，以及在發展過程中對數學思維和方法的運用。HPM視角下的數學教學，就如同弗賴登塔爾的“再創造”理論所描述的那樣，是在有意識地調節教材中知識結構與順序，模仿歷史上知識產生和發展的過程進行教學。這樣在一定程度上回答了學生問：“為什么要學習這個知識，怎樣想到要這樣處理這個問題？”這一類的問題。此外，通過數學史的學習，學生得以感受到并且理解數學的美。數學的美體現在它的普適性，和諧性，例如，《幾何原本》中所提及的黃金分割，被認為是最能引起美感的比例，這一發現不僅在數學上有著廣泛應用，也在建筑和藝術方面有所顯現，在帕特農神廟和《蒙娜麗莎》中都能找到它的影子。斐波那契數列，對數螺線也極具美感，在課堂上普及這些內容增長的不僅僅是學生的知識，還有學生學習數學的興趣。

HPM視角下的教學有明顯的優點，這使得廣大一線教師在教學中有意地融入數學史知識，但是在融入的過程中又出現了一系列問題。比如融入方式的刻板性，汪曉勤教授曾提出了四種將數學史融入數學教學的方式，分別為：附加式、復制式、重構式以及順應式。目前，大部分教師都局限在這幾種融入方式中，對于融入方式沒有獨到的創新。當代教師對信息技術的不靈活，也是數學史在數學課堂的整合更加僵化的重要因素。大多數老師僅僅通過講數學家的鼓舞人心的故事，將數學史整合到課堂教學中，或通過PPT展示數學家的圖片，這樣很難將數學史中特別是幾何發展史中所蘊含的數學思想方法傳授給學生。這使得一些應當融入數學課堂的數學史知識卻難以融入數學課堂。

二、信息技術環境下的HPM教學

融入于信息技術的HPM教學就是在教學中以信息技術為媒介，將數學史中蘊含的，難以口頭表述的知識的內涵和本質以動態的，可視化的方式展現出來。數學史內容如煙波般浩渺，而數學知識極具邏輯性與抽象性，信息技術此時如同兩者之間的紐帶，在感性的數學歷史文化和理性的數學邏輯體系之間建立聯系，使數學史中抽象的理念變成可見的圖形。這打破了傳統數學史教學中某些繁雜知識特別是幾何中“只可意會，不可言傳”的阻礙。

信息技術環境下的HPM教學并非只是簡單的PPT制作，“HPM”微課，它真正的優勢凸顯在課堂上使知識的傳授具有可操作性、靈活性和主動性。

以GeoGebra為例，GeoGebra可動態地展示數學史中那些晦澀難懂的，難以用語言表述的內容。HPM教學中講解圓的體積必會提及牟合方蓋，若通過口頭講解“取立方棋八枚，皆令立方一寸……”必會讓學生覺得教師不知所云，但教師又難以繪圖，唯一能做的只是找幾張圖片而已。但GeoGebra中，通過指令輸入等一步步操作，可以動態地展示牟合方蓋的構造過程，讓學生知其然知其所以然。信息技術使HPM教學更加傾向于數學實驗課，讓學生在信息技術所創設的問題情景中感知數學，在概念的形成中理解數學。

預設和生成是新課程所倡導的一個重要的教育理念，一些教師難以把握預設和生成的關系，使得HPM教學要么完全以教師為主導，一個人自顧自地講準備好的故事，死氣沉沉，要么讓學生激起興趣卻脫離教師控制，無法收場。若教師以GeoGebra為載體，利用軟件獨特的優越性，可即時地更改問題數據，使圖形產生動態變化，讓學生在圖形運動變化過程中尋找不變量或比例關系，發現圖形隱藏的數學原理。或者更改條件，對數學史中的方法進行適當調整，讓學生在巨人的肩膀上繼續探究，獲取新知，增長才干。信息技術環境下的HPM教學以一種極具靈活性的方式，激發學生興趣，讓學生在教師的引導下自主探究，可以算作啟發式教學的一個有效途徑。

社會經濟快速發展，一些發達地區基本可以實現在課堂上人手一機。在HPM教學中，若學生人手一機，讓學生對教學內容和相關史料進行自由探索，利用計算機軟件進行繪圖以開拓思路，發現結論，必將對學生的自主學習能力，動手能力，細心品質的培養具有很大益處。此時，學生真正地成為了課堂的主人，而教師則是充當一個引導者，監督者的角色。這樣的方式與布魯姆的發現學習理論不謀而合。

三、數學史內容的可視化呈現——以利用祖暅原理求球體體積為例

《九章算術》的“少廣”章中記錄了一個已知球的體積求直徑的問題，文中給出的方法為“開立圓術”，得出球的體積與直徑的關系。我國魏晉時期數學家劉徽在為《九章算術》作注時對這個關系提出疑問，他創造了一個稱之為“牟合方蓋”的立體幾何圖形，他希望借助“牟合方蓋”得出球的體積，但他失敗了。直到兩百多年后，祖氏父子利用“牟合方蓋”得出了球體的體積公式。祖暅之《綴術》有云：“緣冪勢既同，則積不容異”。意思是說：介于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等。這就是“祖暅原理”。而在西方，這個定理由意大利的數學家卡瓦列里提在1635年出版的《連續不可分幾何》中才提出，祖暅發現定理的時間要比他早1100多年。

這是中國數學史中典型的空間幾何體問題，在各式各樣的教學軟件中，GeoGebra具有其他軟件難以比擬的3D繪圖功能。它的3D繪圖區的優勢在立體幾何教學過程中的應用最為顯著，它可以完美地顯示三維空間中空間幾何的特定特征，同時代數區域和3D繪圖區域可以同步更改，這對中學生數形結合思想的培養具有很好的促進作用。下面，我們來說明利用GeoGebra進行利用祖暅求球體積教學材料的設計。

第一部分，探究祖 原理。第一步，在空間內構造兩個平行平面，并在下平面上構造多個面積相等的多邊形。第二步，利用GeoGebra的棱錐工具，以第一步構造的多邊形為底面，在另一個平面取點為頂點，構造平面間高度相等但棱長不等的棱錐。第三步，在兩個平面之間再構造一個可滑動的平行平面，并且制作一個滑動桿以控制這個平面上下平移，構造滑動平面與兩個平面的截面。第四步，利用工具欄中面積，體積的度量工具度量棱錐的體積與截面的面積，探究其比例關系和大小關系。第五步，通過改變棱錐頂點位置改變棱錐傾角和改變兩平面距離改變棱錐高度，從棱錐體積與面積的變化中尋找不變量，總結出“緣冪勢既同，則積不容異”的規律。

第二部分，構造牟合方蓋。第一步，“取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸“，就是構造一個由八個棱長為r的小正方體組成的大正方體，這里可以先作一個大正方體，再作虛線將大正方體分成八份可以產生同樣的效果。第二步，“規之為圓囷，徑二寸，高二寸。又復橫規之”，就是在水平方向作一個正方體的內切圓柱，再在豎直方向做一個正方體的內切圓柱?！皠t其形有似牟合方蓋矣”，這時兩圓柱相交，只保留圓柱相交的部分，將正方體和圓柱的其他部分隱去，得到的就是牟合方蓋。

第三部分，構造八分之一個牟合方蓋和“外棋”。第一步，作三個相互垂直的平面，將牟合方蓋平分為八份，取其中之一，將其余部分隱去。若第二部分構造正方體時，以原點為中心，這里可以設置只顯示某一個象限即可。第二步，“外棋”的形狀比較復雜，祖氏父子便利用“緣冪勢既同，則積不容異”的原理構造了一個方錐，在等高處方錐的橫截面積和三個“外棋”的橫截面積之和相等，方錐的高與“外棋”的高相等，這樣方錐的體積便和“外棋”的體積相等。這里構造一個底面與八分之一個牟合方蓋底面面積相等且在同一平面內的正方體，在正方體中以正方體的上底面為底，下底面的一個頂點為頂點，構造出方錐，方錐的體積即為正方體體積的三分之一。

四、具體實施過程

將信息技術與HPM教學相結合形成了一個相對復雜的教學結構，各個結構之間的關系決定了如何將信息技術、數學史和數學教學整合在一起的方式。在信息技術環境下的HPM教學中，數學史是數學知識，數學理念的載體，而信息技術僅是展示的一種媒介。因此在具體實施過程中，應以數學史的融入為主，而不是過分執著于信息技術的表現方式，要避免華而不實。筆者將實施過程分為了三部分。首先，課程內容與數學史的整合，課程中涉及的數學史知識要么以《幾何原本》等古代著作為藍本，要么是典型的定理、命題，如尺規作圖，趙爽弦圖；或者以生活實例為載體，如泰勒斯測金字塔等，將其整合到課程中的重點就是抓住數學史與數學知識的內在聯系。其次，通過信息技術，將課程中的數學史以可視化、多元化的方式呈現，讓教學資源更加直觀化、高效化。最后，利用制作的資源進行教學設計，合理設置各個環節。在教學中，利用信息技術自然地將數學史中蘊含的精髓展示給學生，充分發揮數學史的育人作用。

五、不足與建議

在HPM教學中使用信息技術盡管對于傳統的HPM教學優勢十足，但在具體實施過程中仍有許多問題。第一，教師本身對數學史知識的缺乏，或者缺乏應用意識，這是難以具體實施的一個關鍵因素。第二，就是一線教師的信息技術水平有限，且缺乏時間或精力學習可視化軟件的使用，教師缺乏終身學習的意識。第三，信息技術的使用使數學史以可視化的方式呈現，但這更適用于幾何部分的內容，對于代數部分的內容還是難以展現。

在這里，筆者提出幾點合理建議。第一，教師要在教學中融入數學史和使用現代信息技術的主觀意愿，學?？山M織教師進行這方面的培訓，使教師之間可以相互交流、切磋和促進。第二，理論要聯系實踐，信息技術支持的HPM教學不能只處于研究理論中，要真正運用于教學中，這樣才能不斷發現問題，第三，可以建立完善的可視化的數學史資源庫，形成資源共享，這樣可以節省教師的時間與精力，讓教師易于和樂于使用信息技術將數學史融入教學中。