樽海鞘群算法的改進

常祥潔，趙孜愷，周朝榮,3+

(1.四川師范大學 物理與電子工程學院，四川 成都 610101； 2.武漢光迅科技股份有限公司 國際營銷部，湖北 武漢 430205； 3.成都信息工程大學 氣象信息與信號處理四川省高校重點實驗室，四川 成都 610225)

0 引 言

近年來，受到生物群體行為、社會行為以及自然現象的啟發，一系列智能優化算法被提出[1-4]。這些算法因為參數較少、容易實現等優點，受到了廣泛關注，并被應用于任務調度、神經網絡等諸多領域[5]。其中，樽海鞘群算法(slap swarm algorithm，SSA)[6]具有自適應參數，前期有利于全局探索，后期有利于局部開發；同時，樽海鞘種群以鏈狀方式運動和覓食，有利于個體之間信息的交流與傳遞，在求解多種優化問題時表現出顯著的優勢。但與其它智能優化算法一樣，SSA仍然存在收斂速度慢、尋優精度低等缺點。

為了解決SSA存在的問題，已有文獻針對SSA做改進。文獻[7]引入衰減因子和動態學習策略對SSA進行改進，算法的收斂速度和尋優精度有所提高。文獻[8]采用自適應慣性權重和萊維飛行策略，提高了SSA的全局和局部搜索能力。文獻[9]將正交學習和對立學習策略引入SSA，以提高算法收斂速度和尋優精度。除了引入各種策略，文獻[10-12]考慮了SSA的混合算法，分別將SSA與WOA、PSO和SCA結合，以提高算法的收斂性能。上述方法從不同角度對SSA進行改進，雖然在一定程度上提升了算法的尋優精度和收斂速度，但存在易陷入局部最優的問題。

為了進一步地提高SSA的性能，本文提出了一種改進的樽海鞘群算法。在該算法中，首先，采用混沌方法對種群進行初始化，保證種群的多樣性和均勻性；其次，將正弦余弦策略和動態更新策略分別引入領導者和追隨者更新階段，提高全局探索的能力，增強算法局部開發的能力；最后，對食物位置進行變異操作，更好地發揮領導者的引領作用，有效地避免算法陷入局部最優。為驗證改進后的算法性能，分別在13個標準測試函數和兩個工程設計問題上進行仿真測試，并與其它智能優化算法進行比較。仿真結果表明，改進后的算法在尋優精度、收斂速度以及魯棒性方面較原SSA以及SSA的其它改進算法更優，且總體性能優于其它對比算法。

1 樽海鞘群算法

SSA是模擬樽海鞘的群體生活方式而衍生出的算法[6]。通常，樽海鞘個體以鏈狀結構進行運動和覓食，因此，將個體分為領導者和追隨者兩類。位于種群前面的領導者個體引領后面的追隨者個體，朝著食物位置不斷地移動。假設樽海鞘種群規模為N， 搜索空間為D維，第i個樽海鞘個體在D維空間中的位置向量可表示為Xi=(xi1,xi2,…,xiD-1,xiD)，i=1,2,…,N-1,N。 領導者的更新方式如下

(1)

其中，Fj為食物的位置，即目前為止，種群中的局部最優解；ubj、lbj為第j維空間的上、下界；c2、c3為(0,1)之間的隨機數，分別用來決定移動的步長和方向；c1為自適應參數，隨著迭代次數的增加，從2減小到0，即

(2)

其中，l為當前迭代次數，L為最大迭代次數，k≥1。

追隨者根據牛頓運動方程進行位置更新，移動的距離可表示為

(3)

(4)

其中，i≥2。

2 改進的樽海鞘群算法

需要指出的是SSA的初始種群隨機產生，難以保證種群分布的均勻性，會影響算法的性能。而初始種群的分布越均勻，算法的尋優精度就越高、收斂速度就越快[1]。為此，我們采用混沌方法進行種群初始化，豐富初始種群的多樣性。其次，領導者僅根據局部最優解進行位置更新，導致全局探索能力較差[13]。因此，我們在領導者更新階段引入正弦余弦策略，提高全局探索的能力，從而提高算法的尋優精度。然后，由于更新后的追隨者位于兩個樽海鞘個體中間，未能很好地體現精英個體的引導作用。相應地，我們在追隨者更新階段引入動態更新策略，充分地利用個體之間的交互信息以發揮精英個體的引導作用，從而提高局部開發的能力、加快算法的收斂速度。最后，為了充分發揮領導者的引領作用，進一步對食物位置(局部最優解)進行變異操作，有效地避免算法陷入局部最優。

2.1 混沌初始化

混沌具有遍歷性、半隨機性以及對初始條件依賴等特點，已在經濟、生物、醫學、工程等領域得到了廣泛的應用。相比隨機初始化，利用混沌初始化產生的初始種群分布更加均勻[14]。通過映射關系產生混沌序列，再將其轉換到個體的搜索空間。混沌映射模型多種多樣，其中，Tent混沌映射模型簡單、具有較好的遍歷性，且對初始條件依賴性低。為此，采用Tent混沌映射進行初始化[15]

(5)

(6)

2.2 正弦余弦策略

在SSA中，領導者從迭代初期始終朝著局部最優值變化，導致全局探索能力差，易陷入局部最優，造成算法收斂過早、尋優精度較低。不同于SSA，正弦余弦算法[5]的更新方式不僅包括食物位置，還包括上一代個體的位置，可以增強算法跳出局部最優的能力，提高算法的尋優精度。為此，借鑒正弦余弦策略對領導者進行更新

(7)

其中，r2、r3、r4為隨機數，且r2∈(0,2π)、r3∈(0,2)、r4∈(0,1)，r1為自適應參數，即

(8)

其中，m為大于1的控制參數。

正弦余弦策略的引入，解決了SSA僅根據食物位置進行更新、全局探索能力差的問題。不論是正弦策略還是余弦策略，每個樽海鞘個體均能很好地利用自身位置與食物位置之間的差異信息，促使樽海鞘個體朝著不同的方向進行搜索。同時，正弦余弦更新方式包含有自適應參數，前期有利于全局探索，后期有利于局部開發，從而提高全局探索能力，增強算法跳出局部最優的能力。

2.3 動態更新策略

由追隨者的位置更新式(4)可知，第i個樽海鞘個體的位置是根據第i個和第i-1個樽海鞘個體的位置進行更新，且更新后位于兩個樽海鞘位置坐標的中點。此過程沒有考慮兩個樽海鞘位置的優劣性，導致精英個體的引導作用較小。為了增強精英個體的引導作用，提升個體之間信息的利用率，進而提高算法的收斂速度，將動態更新策略引入SSA的追隨者位置更新階段。

首先，計算第i個和第i-1個樽海鞘的適應值，在適應值較差的樽海鞘前添加動態更新因子r， 增強較優位置個體對追隨者位置更新的影響。引入動態更新策略的追隨者位置更新如下

(9)

(10)

其中，b給出如下

(11)

動態更新策略的引入，發揮了精英個體的引導作用，促進了個體之間信息的有效交互，而不是簡單地根據兩個個體的位置進行更新，導致信息的利用率下降。相比于文獻[7]引入隨機變化的削弱因子，考慮到兩個個體適應度之間的差異，采用動態更新的削弱因子可以更好地發揮精英個體的引導作用，促使最優信息在個體之間交互，提高算法局部開發的能力，進而加快算法的收斂速度。

2.4 變異算子

在SSA中，領導者的位置至關重要，引領追隨者朝著食物位置(局部最優解)方向移動，但如果領導者位置陷入局部最優，則會導致種群容易出現搜索停滯現象。為了有效地避免算法陷入局部最優，借鑒差分進化算法中變異的思想[16]，將變異算子引入SSA中，對局部最優解進行更新。若更新后的局部最優解連續s代保持不變，則以一定概率對其每一維進行變異操作。對應的變異操作如下

(12)

其中，k1、k2均為(0,1)之間的隨機數，tm為(0,1)之間的隨機數。

變異算子的引入，解決了樽海鞘群算法中領導者陷入局部最優后，種群易出現搜索停滯的問題。由于對食物位置進行了變異操作，促使領導者個體在搜索空間的多個范圍內進行搜索，有效地避免了算法陷入局部最優。

2.5 算法流程圖

綜合上述策略，可以得到改進的樽海鞘群算法(improved salp swarm algorithm，ISSA)，其流程如圖1所示。

3 仿真實驗

為了驗證ISSA的性能，分別用其求解函數優化問題以及工程設計問題，并與其它智能優化算法的結果進行對比。相關算法及參數設置見表1，所有算法的種群大小、最大迭代次數均設置為30、500。為了降低實驗的偶然性，每種算法分別針對上述兩類問題，獨立運行30次。

3.1 函數優化問題

采用文獻[6]中的單峰函數f1～f7以及多峰函數f8～f13測試算法求解函數優化問題的能力，各個函數的維度均設置為30維。

3.1.1 算法的尋優精度比較

分別采用ISSA以及其它對比算法求解上述13個標準測試函數，所涉及到的性能指標包括：平均值以及標準差，對應的單峰函數(f1～f7)尋優精度對比結果以及多峰函數(f8～f13)尋優精度對比結果分別見表2與表3。其中，各項性能指標的最好結果用粗體表示。

圖1 改進樽海鞘群算法的流程

表1 對比算法及其參數設置

由表2可以看出，在函數f1～f3、f7上，ISSA的各項指標均優于其它對比算法，甚至在函數f1上，ISSA與SCA的尋優精度相差高達75個數量級。在函數f4上，雖然HSSASCA的各項指標最優，但ISSA僅次于該算法，且兩者之間的差距很小。在函數f5、f6上，就平均值而言，雖然WLSSA達到最優，但ISSA僅次于該算法，且兩者之間的差距很小。因此，就上述單峰函數的測試結果而言，ISSA在大多數測試函數上都具有更好的性能指標，表明其尋優精度更高且魯棒性更強。

表2 單峰函數尋優精度對比結果

由表3可以看出，在函數f12、f13上，ISSA的各項指標均優于其它對比算法。在函數f9、f11上，ISSA、WLSSA、HSSASCA均找到了理論最優值，且具有較強的魯棒性。在函數f10上，ISSA、WLSSA、HSSASCA、GA的各項指標相同，且優于其它對比算法。在函數f8上，就標準差而言，雖然SCA達到最優，但ISSA僅次于該算法；就平均值而言，ISSA與SCA均達到最優。因此，就上述多峰函數的測試結果而言，ISSA在大多數函數上測試結果都是最優的，表明ISSA求解多峰函數同樣具有更高的尋優精度和搜索能力。

表3 多峰函數尋優精度對比結果

3.1.2 算法收斂曲線

為了更加直觀地反映算法的收斂性能，圖2給出了各個算法針對不同函數的收斂曲線。

從圖2可以看出，ISSA相比原SSA的收斂速度有了顯著提高，并在大多數測試函數上，ISSA的收斂曲線從迭代一開始就迅速下降，且在迭代尋優過程中較少出現陷入停滯的現象。具體而言，在函數f8～f11上，雖然多個算法具有相同的尋優精度，但ISSA的收斂速度最快，甚至在函數f9、f11上，迭代初期(50代左右)就已達到理論最優值；在函數f12、f13上，ISSA收斂速度也是最快的，在150代之前就已收斂；在函數f5、f6上，雖然ISSA的收斂速度不是最快的，但在250代之前就已收斂；在函數f1～f3、f7上，雖然ISSA的收斂速度不是最快的，但尋優精度最高；在函數f4上，ISSA前期的收斂速度較快，雖出現短暫的陷入局部最優，但隨著迭代次數的增加，ISSA能夠跳出局部最優，并迅速收斂于較優值。上述結果表明，相比其它對比算法，ISSA在大多數函數上均有更快的收斂速度，且跳出局部最優的能力更強。

3.1.3 算法統計檢驗結果

由于平均值和標準差無法全面地反映算法的每次結果，為了驗證ISSA與其它對比算法測試結果的顯著性差異，表4給出ISSA對比其它算法的Wilcoxon秩和檢驗的P-value結果。根據文獻[17]，若P-value小于給定的顯著性水平(一般取值為0.05)，則認為對比算法較之ISSA的性能有顯著性差異；NaN表示該檢驗方法不適用。

從表5可以看出，在大多數測試函數上，相比其它對比算法，ISSA的性能具有明顯的優勢；并結合之前測試函數的平均值可以看出，在函數f4～f6、f8上，ISSA與平均值最優的算法沒有明顯的性能差異。這些結果表明，在大多數測試函數上，ISSA的優越性在統計學上是顯著的。

綜上所述，相對于其它對比算法而言，ISSA在求解函數優化問題上，具有更好的全局探索以及局部開發能力，且在大多數測試函數上具有更好的尋優精度和收斂速度，甚至在部分函數上可以迅速收斂到理論最優值。尤其是相比原SSA，無論是收斂速度還是尋優精度都得到了顯著提升；且與SSA的其它改進算法相比，ISSA也具有更好的性能。

3.2 工程設計問題

為了進一步測試ISSA的性能，用ISSA求解兩類工程設計問題，并與其它算法的結果進行對比。

3.2.1 壓力容器設計

壓力容器設計問題考慮如何設計壓力容器的各類尺寸以最小化總成本，相關的成本包括：焊接、材料以及成型等成本。為了求解該問題，需要確定頂蓋壁厚度T、管壁厚度t、容器管身長度L與內徑R的最佳取值，如圖3所示[18]，將上述4種參數表示為 [tTRL]=[x1x2x3x4]， 對應的設計問題給出如下

(13)

s.t.g1(x)=-x1+0.0193x3≤0

(14)

g2(x)=-x2+0.00954x3≤0

(15)

圖2 不同算法的收斂曲線

表4 ISSA與其它對比算法的統計檢驗結果

圖3 壓力容器設計問題

(16)

g4(x)=x4-240≤0 0≤x1,x2≤99， 10≤x3,x4≤200

(17)

表5給出ISSA以及其它對比算法的求解結果。由表5可以看出，相比其它對比算法，ISSA是處理該問題的最佳算法，能夠獲得最好的結果。

表5 各算法的壓力容器設計結果對比

3.2.2 懸臂梁設計

懸臂梁設計問題考慮在圖4所要求的承載力的限制條件下如何最小化懸臂梁的重量[20]。為求解該問題，需要確定懸臂梁的5個空心橫截面高度(或寬度)的最佳取值。該設計問題的數學表達式可表述為

Minf(x)=0.0624(x1+x2+x3+x4+x5)

(18)

(19)

表6給出ISSA以及其它對比算法的求解結果。由表6可以看出，ISSA獲得了懸臂梁設計問題的最小重量值，表明在處理該問題上，相比其它對比算法，ISSA具有最好的優勢。

圖4 懸臂梁設計問題

表6 各算法的懸臂梁設計結果對比

4 結束語

本文提出了一種改進的SSA算法：首先，采用混沌方法對種群進行初始化，從而提高種群的多樣性和均勻性；其次，將正弦余弦策略引入SSA的領導者更新階段，增強算法的尋優精度；然后，將動態更新策略引入SSA的追隨者更新階段，更好地發揮精英個體的引導作用，提高算法的收斂速度；最后，對食物位置進行變異操作，有效地避免算法陷入局部最優。

進一步地，通過13個標準測試函數以及兩個工程設計問題驗證算法的性能。結果表明：所提出的ISSA算法可以有效提升算法的優化性能，且整體性能上明顯優于GWO、WOA、SCA等當前較新的智能優化算法。此外，無論是求解函數優化問題還是工程設計問題，相比SSA的其它改進算法WLSSA以及HSSASCA，ISSA具有更好的尋優精度和魯棒性。需要指出的是，ISSA也有自身的局限性，比如在求解部分函數優化問題時，表現不是最佳，且求解函數優化問題的維度不高。如何改進這些缺點，將是下一步的研究方向。