基于并行交換的增強(qiáng)粒子群優(yōu)化算法在氣動優(yōu)化中的應(yīng)用

王培君, 夏露, 周文碩, 欒偉達(dá)

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 陜西 西安 710072)

隨著計(jì)算流體力學(xué)(CFD)技術(shù)的不斷發(fā)展,氣動設(shè)計(jì)中CFD的占比逐漸提升,數(shù)值優(yōu)化方法已成為飛行器氣動外形設(shè)計(jì)中的一個重要組成部分。在各類優(yōu)化方法中,啟發(fā)式算法表現(xiàn)出了十分強(qiáng)大的尋優(yōu)能力。目前較常用的有以粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization,PSO)算法[1]、蟻群算法(ant clony optimization,ACO)、布谷鳥搜索算法(cuckoo search algorithm,CSA)[2]為代表的群集智能算法,和以差分進(jìn)化算法(differential evolution,DE)[3]、遺傳算法(genetic algorithms,GA)為代表的進(jìn)化算法。其中PSO算法簡單方便、收斂速度較快,對許多問題都有較好的優(yōu)化效果,但是其更新公式會導(dǎo)致粒子被吸引在當(dāng)前全局最優(yōu)解附近,搜索空間被大幅壓縮,分散度下降從而導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)[4]。CSA算法是一種全局尋優(yōu)能力較強(qiáng)的算法,較強(qiáng)的搜索隨機(jī)性極大提升了該算法的全局搜索能力,但是CSA也存在收斂速度慢的問題。DE算法主要通過差分變異操作來生成新的變異個體,再通過交叉和選擇得到新的種群個體,貪婪選擇策略使其有較強(qiáng)的局部搜索能力,但也容易陷入局部最優(yōu)。由此可見,有的算法不擅長全局搜索,容易陷入局部最優(yōu);有的算法不擅長局部搜索,搜索效率低,在單峰問題中表現(xiàn)差。所以如何補(bǔ)足短板,使算法適應(yīng)更多形式問題,增強(qiáng)算法的魯棒性是一個難題。

為了提高啟發(fā)式算法的魯棒性,已經(jīng)有了很多改進(jìn)措施,比如借鑒其他算法優(yōu)秀思想對算法更新公式進(jìn)行改進(jìn)或在一個種群內(nèi)通過一定策略使用多種更新公式;對種群拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)[5],改善種群多樣性;還有通過多個種群并行,再利用某種信息交換機(jī)制來提高全局搜索能力。其中對算法更新公式進(jìn)行改進(jìn)和單一種群內(nèi)使用多個更新公式的方法改善了原算法搜索模式,但是其搜索模式仍有很大相似度,原算法的短板無法得到有效提升。種群拓?fù)浞椒ㄌ岣吡怂惴ㄈ中阅?但是由于算法更新公式并未改變,所以魯棒性提高不顯著。而多種群并行中的分層交換[6]的方法將2種不同算法有機(jī)結(jié)合起來,共享最優(yōu)信息,互相引導(dǎo),取長補(bǔ)短,可以較好改進(jìn)全局搜索能力。李丁等[6]通過分層交換操作將PSO和DE這2種容易陷入局部最優(yōu)的算法結(jié)合起來得到了RADPSO算法,新算法魯棒性得到了較大提升,體現(xiàn)了分層交換操作的有效性。但是限于其使用的PSO和DE算法在很多情況下無法得到較優(yōu)解,所以該算法在有些多峰問題中仍會陷入局部最優(yōu),其魯棒性仍有較大提升空間。

為了提高PSO算法魯棒性,本文選擇將PSO種群與其他算法種群進(jìn)行并行,然后進(jìn)行分層交互操作,其中選擇什么算法種群進(jìn)行并行至關(guān)重要。科研人員通常借鑒全局性較好的算法對粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行改進(jìn)。石季英等[7]構(gòu)建了PSO-CS混合算法,其核心是將PSO算法每輪迭代后個體歷史最優(yōu)位置進(jìn)行CSA算法位置更新,新算法全局搜索能力雖提升有限,但是說明了通過CSA算法來提升PSO算法全局尋優(yōu)能力是可行的。鑒于此,如果通過使用分層交換操作來引入CSA算法,那就可以通過改善算法全局尋優(yōu)能力來達(dá)到高魯棒性。故本文提出了基于并行交換的增強(qiáng)粒子群優(yōu)化算法(enhanced particle swarm optimization based on parallel excha-nge,EPSOBPE)。該算法首先借鑒差分進(jìn)化的變異行為對粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行增強(qiáng),在不減少全局收斂性的基礎(chǔ)上加強(qiáng)快速收斂能力。然后通過讓增強(qiáng)后的粒子群與布谷鳥種群進(jìn)行并行運(yùn)行,每次迭代后進(jìn)行分層交換,使二者種群可以有機(jī)結(jié)合起來,共享最優(yōu)信息的同時增加種群多樣性,以達(dá)到增強(qiáng)算法魯棒性的目的。

1 優(yōu)化算法

1.1 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法[1]是通過群體中的個體互相協(xié)助和群體最優(yōu)信息共享來探索最優(yōu)解的。粒子群中每個粒子都有一個初始速度和適應(yīng)度值,個體在迭代過程中根據(jù)自身經(jīng)歷過的最佳位置以及種群得到的最優(yōu)解的位置來生成速度,再根據(jù)目前位置和生成的速度來得到新的在空間中的位置[1]。粒子群優(yōu)化算法的數(shù)學(xué)描述如(1)式所示

式中,下標(biāo)i和j分別代表的是第i個粒子與維度的第j維,上標(biāo)t代表迭代代數(shù)。ω為慣性權(quán)重因子;c1,c2為學(xué)習(xí)因子;r1和r2是介于[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。

粒子群算法綜合能力較強(qiáng),但因?yàn)楦鹿綄?dǎo)致粒子被限制在當(dāng)前全局最優(yōu)解附近,在很多情況下搜索空間會被壓縮,使得搜索過早停滯,最終導(dǎo)致算法在大部分情況下無法獲得較好的結(jié)果。而布谷鳥算法憑借萊維飛行這種長短步相間的操作使其不會出現(xiàn)搜索空間被壓縮的情況,有較強(qiáng)的全局搜索能力。

1.2 布谷鳥搜索算法

布谷鳥搜索算法(CSA)[2]中有2種更新位置的方式,一種是布谷鳥尋找鳥窩下蛋的尋找路徑采用了萊維飛行。萊維飛行的主要特點(diǎn)是長短步相間,采用萊維飛行更新位置的公式如下

Xt+1=Xt+α?Levy(β)

(3)

式中：α是步長縮放因子；Levy(β)是萊維隨機(jī)路徑；?是點(diǎn)乘運(yùn)算。其中生成服從萊維隨機(jī)步長的公式使用Mantegna方法,公式如(4)式所示

(4)

式中，u～N(0,σ2),v～N(0,1),其中σ如下所示

(5)

式中：β∈[1,3],本文β取1.5；α是步長縮放因子,在布谷鳥算法中針對α有不同的變種,本文中α取值如(6)式所示

(6)

式中：Xi與Xj是任意不同鳥窩的位置；D為問題自變量維數(shù)。

另一種位置更新方式是宿主鳥以一定概率Pa發(fā)現(xiàn)外來鳥后重新建窩的位置路徑,這個路徑可以采用萊維飛行或偏好隨機(jī)游動方式,本文使用偏好隨機(jī)游動方式,更新位置公式如(7)式所示

Xt+1=Xt+r?Heaviside(Pa-ò)?(Xi-Xj)

(7)

式中：r,ò是服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)；Heaviside是跳躍函數(shù)(x>0,y=1;x<0,y=0)。

布谷鳥搜索算法通過萊維飛行可以較大程度上保證樣本的多樣性,但是也導(dǎo)致其局部搜索能力相對于PSO和DE較差,收斂速度慢,魯棒性也較差。

1.3 基于并行交換的增強(qiáng)粒子群優(yōu)化算法

PSO算法前期收斂速度快,后期種群多樣性的消失使其容易陷入局部最優(yōu),而CSA算法的萊維飛行使其全局搜索能力較強(qiáng),但收斂速度慢,缺少活力。二者魯棒性均較差,但是各有優(yōu)點(diǎn),為了獲得一個魯棒性較強(qiáng)并兼具二者優(yōu)點(diǎn)的算法,提出了基于并行交換的增強(qiáng)粒子群優(yōu)化算法(EPSOBPE)。

在EPSOBPE中,由于CSA種群分走了一部分粒子數(shù)量,需要對粒子群種群進(jìn)行增強(qiáng),在保證全局搜索能力的前提下加速收斂,所以利用差分進(jìn)化中的突變操作對粒子群全局最優(yōu)解進(jìn)行學(xué)習(xí)。

(8)

式中，r1,r2,r3,r4∈[1,N]的整數(shù),N為粒子數(shù)量,且r1≠r2≠r3≠r4,g為粒子群全局最優(yōu)解,F(t)為比例因子。

為了使算法在前期具有一定的全局搜索能力避免快速收斂陷入局部最優(yōu),所以前期選擇開關(guān)T值應(yīng)稍小,F應(yīng)稍大,使得早期使用增強(qiáng)學(xué)習(xí)的粒子數(shù)量較少,使用增強(qiáng)學(xué)習(xí)的粒子得到的擾動更大,后期使用增強(qiáng)學(xué)習(xí)策略的粒子較多,使用增強(qiáng)學(xué)習(xí)的粒子得到的擾動較小,加速收斂,得到最優(yōu)解。T與F更新公式如(9)～(10)式所示

(9)

(10)

式中,Gmax為最大迭代輪數(shù)。

采用增強(qiáng)學(xué)習(xí)策略,既可保證算法收斂,又可防止算法早熟。優(yōu)化前期,粒子之間距離較遠(yuǎn),差分變化較大,引入的擾動更強(qiáng),粒子不會過早地聚集在g周邊,粒子分散度大,探索能力強(qiáng),對空間搜索更為充分;優(yōu)化后期,粒子相互靠近,差分變化減小,粒子向g聚集,加速收斂。增強(qiáng)學(xué)習(xí)策略流程圖如圖1所示。R表示均勻分布在[0,1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)。

由于在氣動優(yōu)化問題中,最優(yōu)解一般位于部分維度的邊界上,所以有必要對邊界處理進(jìn)行改進(jìn),故在邊界處理中采用了減幅的處理方法,即當(dāng)粒子位置超出了邊界后,粒子的位置仍然重置于邊界x上,但x方向的速度以一個隨機(jī)大小相反方向返回到邊界內(nèi),如圖2所示,r表示均勻分布在[0,1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)。

圖1 增強(qiáng)學(xué)習(xí)策略流程圖

圖2 速度減幅邊界處理

EPSOBPE算法策略是一種種群并行策略,2種算法分別使用改進(jìn)后的PSO和CSA算法。改進(jìn)后PSO算法雖然通過增強(qiáng)學(xué)習(xí)策略增強(qiáng)了局部搜索能力和收斂速度,但是在很多情況下仍不可避免陷入局部最優(yōu)。CSA算法有著較強(qiáng)的全局搜索能力,但是收斂能力較差,所以通過分層交換策略將2種算法取長補(bǔ)短,共享二者優(yōu)勢信息使算法具有較強(qiáng)魯棒性,而且既可以快速收斂,也可以保證其全局搜索能力。新算法沒有通過只改進(jìn)更新公式或改進(jìn)種群拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來增強(qiáng)算法魯棒性,而是使用多種群并行與分層交換機(jī)制。這點(diǎn)與其他改進(jìn)算法有較大差別,有效提高了新算法的魯棒性,使新算法在面對不同類型問題時可以獲得更好的解。

EPSOBPE算法的具體步驟如下:

1) 對算法進(jìn)行初始化,給定相關(guān)參數(shù)。

2) 將整個大種群等分成2個種群,分別運(yùn)行改進(jìn)PSO算法和CSA算法。

3) 在一輪后得到2個種群的函數(shù)最優(yōu)值后進(jìn)行比較,選出最優(yōu)者。

4) 更新種群的最優(yōu)值并進(jìn)行替換,用最優(yōu)者替換改進(jìn)PSO種群中的最優(yōu)者,或CSA種群中任意一個個體。

5) 對改進(jìn)PSO種群進(jìn)行一次分層,即求出改進(jìn)PSO群體中所有個體的平均適應(yīng)度值FPSO 1;對CSA種群進(jìn)行一次分層,即求出CSA群體中所有個體的平均適應(yīng)度值FCSA 1。

6) 對改進(jìn)PSO種群進(jìn)行二次分層,即求出改進(jìn)PSO群體中適應(yīng)度值優(yōu)于FPSO 1的所有個體的平均適應(yīng)度值FPSO 2;對CSA種群進(jìn)行二次分層,即求出CSA群體中適應(yīng)度值優(yōu)于FCSA 1的所有個體的平均適應(yīng)度值FCSA 2。

7) 判斷FPSO 2是否優(yōu)于FCSA 2,若滿足，用PSO群體中適應(yīng)度值優(yōu)于FPSO 2的個體替換CSA群體中適應(yīng)度值較差的那些個體;若不滿足，用CSA群體中適應(yīng)度值優(yōu)于FCSA 2的個體替換PSO群體中適應(yīng)度值較差的那些個體。

8) 判斷是否滿足停止準(zhǔn)則,若滿足,則結(jié)束,若不滿足,則轉(zhuǎn)至步驟2)。

本文在PSO算法的基礎(chǔ)上首先進(jìn)行了增強(qiáng)行為,增強(qiáng)了PSO算法的局部搜索能力;同時修改了邊界處理方法。然后通過分層交換策略引入CSA算法,來增強(qiáng)PSO算法的全局尋優(yōu)能力,最終獲得了具有強(qiáng)魯棒性的EPSOBPE算法。

2 函數(shù)測試

為了測試EPSOBPE算法性能,本文對PSO算法,DE算法,CSA算法,EPSOBPE算法和RADPSO算法[6]進(jìn)行比較,測試函數(shù)[8]如表1所示,函數(shù)具體設(shè)置可參考文獻(xiàn)[8]。

表1 測試函數(shù)

由于測試函數(shù)維度不同,故不同維度算法種群個數(shù)也不同,具體設(shè)置如表2所示。

表2 算法設(shè)置

在函數(shù)測試中,每個算法計(jì)算30次,結(jié)果取30次平均值。PSO算法中C1=C2=2,慣性權(quán)重因子ω隨進(jìn)化代數(shù)由0.9線性遞減到0.4[9]。DE算法交叉因子CR=0.7,縮放因子F=0.5。RADPSO算法參數(shù)取上述PSO算法和DE算法的參數(shù)。CSA算法中Pa=0.25。EPSOBPE算法的設(shè)置同上述PSO算法和CSA算法具有相同設(shè)置,縮放因子F從0.7線性遞減至0.3,T從0.3線性遞增至0.7。每次尋優(yōu)中算法收斂條件為調(diào)用函數(shù)次數(shù)達(dá)到100×D×N。表3展示了不同算法30次運(yùn)行結(jié)果的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

表3 函數(shù)測試的算法性能

由表3可見,EPSOBPE算法在3個單峰函數(shù)中的尋優(yōu)效果并沒有因?yàn)閳?zhí)行粒子群優(yōu)化算法的個體數(shù)減少而變差,在單峰函數(shù)中得到的結(jié)果都較好,體現(xiàn)了對PSO進(jìn)行增強(qiáng)是十分有效的。但是對于測試函數(shù)f3(x)，EPSOBPE算法并沒有獲得最好的尋優(yōu)結(jié)果,這是主要是因?yàn)闇y試函數(shù)f3(x)具有一定的峽谷特征,如圖3所示優(yōu)化算法很容易在峽谷中陷入停滯。

圖3 2-Df3(x)函數(shù)示意圖

同時該函數(shù)的峽谷特征正好與坐標(biāo)軸相匹配,此時DE算法的變異操作可以更好地進(jìn)行搜索,EPSOBPE算法由于加入了增強(qiáng)學(xué)習(xí)策略,在一定程度上增強(qiáng)了此類函數(shù)的尋優(yōu)能力, 但是由于并不是所有粒子都會使用增強(qiáng)學(xué)習(xí)策略,所以EPSOBPE算法在此測試函數(shù)的表現(xiàn)上僅次于DE算法。

在之后5個多峰函數(shù)中EPSOBPE算法由于使用了增強(qiáng)PSO與CSA并行并進(jìn)行分層交換,體現(xiàn)出了極強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力,同時,得到的標(biāo)準(zhǔn)差也較低,具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性。由于EPSOBPE算法在更新公式上與PSO和CSA算法較為相似,分層交換操作并不復(fù)雜,所以在計(jì)算時間方面與其余算法相似。EPSOBPE算法在不同維度不同種類的函數(shù)測試均表現(xiàn)良好,這體現(xiàn)出了EPSOBPE算法相較于其他算法的魯棒性更強(qiáng),能夠適應(yīng)不同種類的函數(shù),同時具有更好的尋優(yōu)能力。

3 翼型氣動優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 翼型CFD算例驗(yàn)證

本文CFD二維算例驗(yàn)證采用經(jīng)典算例RAE 2822跨音速流場數(shù)值模擬,該算例被廣泛應(yīng)用于二維CFD計(jì)算校核。該算例選取設(shè)計(jì)狀態(tài)為自由來流馬赫數(shù)Ma=0.73,雷諾數(shù)Re=6.5×106,迎角α=2.85°,設(shè)計(jì)升力系數(shù)CL=0.8。在CFD計(jì)算后與試驗(yàn)數(shù)據(jù)[10]結(jié)果進(jìn)行對比。二維算例的網(wǎng)格量為3萬,遠(yuǎn)場距離翼型表面40倍弦長。本文二維翼型計(jì)算時湍流模型選用k-ωSST湍流模型。

圖4展示了數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)值的壓力分布對比。從圖4可以看出,數(shù)值模擬所得壓力分布與試驗(yàn)結(jié)果基本吻合,能夠較為準(zhǔn)確地捕捉激波的位置和強(qiáng)度。這說明本文采用的CFD數(shù)值計(jì)算方法在求解二維翼型的氣動特性中具有較高的數(shù)值模擬精度。

圖4 翼型壓力分布對比

3.2 翼型優(yōu)化模型

考慮到在工程中,翼型均有后緣厚度,故翼型氣動優(yōu)化設(shè)計(jì)的初始翼型為修改成鈍后緣的RAE2822翼型,設(shè)計(jì)狀態(tài)為M∞=0.73,Re=6.5×106。 巡航狀態(tài)下翼型應(yīng)有優(yōu)秀的低阻力系數(shù)CD、小低頭力矩系數(shù)CM特性,且升力系數(shù)CL應(yīng)基本保持不變,同時還應(yīng)考慮結(jié)構(gòu)布置和機(jī)翼油箱容積等問題。故而優(yōu)化目標(biāo)及約束如下

(11)

式中：A為翼型圍成的面積；tmax為翼型最大厚度；角標(biāo)0為初始翼型相關(guān)參數(shù)。

翼型參數(shù)化使用擾動CST方法[11-12],設(shè)計(jì)變量為12個,翼型上下表面各6個。分別采用CSA算法、DE算法、EPSOBPE算法、PSO算法和RADPSO算法進(jìn)行翼型優(yōu)化設(shè)計(jì),各算法種群個體數(shù)均為24,其余參數(shù)與函數(shù)測試中參數(shù)設(shè)置相同。

CFD設(shè)置與算例驗(yàn)證相同,采用k-ωSST湍流模型,網(wǎng)格數(shù)量為3萬。二維翼型優(yōu)化用計(jì)算機(jī)CPU為Intel(R) Core(TM) i7-10700F CPU,內(nèi)存為32 GB。由于算法調(diào)用CFD求解器次數(shù)過多所以使用基于Kriging代理模型[13]的優(yōu)化方法。

本文使用的基于Kriging代理模型的優(yōu)化方法是首先使用拉丁超立方抽樣方法(Latin hypercube sampling,LHS)生成少量的樣本點(diǎn)構(gòu)建初始代理模型,然后通過使用優(yōu)化算法來求解加點(diǎn)帶來的優(yōu)化子問題得到新的樣本坐標(biāo),將新樣本加入樣本庫后再次構(gòu)建代理模型,進(jìn)行代理模型的更新,直到滿足收斂條件。二維翼型優(yōu)化問題中初始樣本點(diǎn)數(shù)為240,使用混合加點(diǎn)方式[14]加點(diǎn)200個,共440次CFD計(jì)算。

混合加點(diǎn)方式是先使用最大改善期望(expected improvement,EI)加點(diǎn)準(zhǔn)則,當(dāng)E[I(x)]<0.01min(F(x))時使用最小預(yù)測值(minimize prediction,MP)加點(diǎn)準(zhǔn)則。

EI加點(diǎn)準(zhǔn)則選取改善期望最大的設(shè)計(jì)點(diǎn)作為加點(diǎn)位置。設(shè)計(jì)點(diǎn)x處的改善值表示為I(x)=ymin-y(x),改善期望為

(12)

式中，φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。對(12)式使用分部積分可得

E[I(x)]=σ(x)[uΦ(u)+φ(u)]

(13)

MP方法直接使用代理模型預(yù)測值作為目標(biāo)值進(jìn)行尋優(yōu),把尋優(yōu)得到的具有最小預(yù)測值的設(shè)計(jì)點(diǎn)作為加點(diǎn)位置。

3.3 優(yōu)化結(jié)果及其分析

圖5和圖6給出了優(yōu)化迭代記錄及優(yōu)化前后幾何形狀與壓力系數(shù)分布。

表4給出了優(yōu)化后翼型的性能參數(shù)比較。

圖5 翼型優(yōu)化迭代記錄圖6 翼型幾何形狀與壓力系數(shù)比較

表4 翼型優(yōu)化結(jié)果比較

由圖5可知,幾種優(yōu)化算法的收斂速度類似,但是接近收斂時,EPSOBPE算法的結(jié)果更好,體現(xiàn)了EPSOBPE算法有著更好的魯棒性,所以可以更好地找到每次代理模型中獲得最大改善的點(diǎn)或阻力系數(shù)最小的點(diǎn)。由圖6可見,優(yōu)化后的翼型上表面頂點(diǎn)后移,最高點(diǎn)有所下移,下表面頂點(diǎn)后移,最低點(diǎn)下移量與上表面最高點(diǎn)下移量相似。壓力系數(shù)方面,優(yōu)化后的前緣吸力峰峰值有所增大,為了保持升力,翼型上表面前部和后部的壓力系數(shù)有所減少,中部消除了激波,壓力系數(shù)過渡更為平滑,但也導(dǎo)致壓力系數(shù)絕對值減少。翼型下表面壓力系數(shù)與初始值相似。在優(yōu)化后的翼型中,經(jīng)過PSO優(yōu)化的翼型與其他算法優(yōu)化的翼型相差較大,其阻力系數(shù)也在優(yōu)化后的翼型中最大,說明其陷入了局部最優(yōu),體現(xiàn)了PSO算法較差的魯棒性。在其余算法中EPSOBPE算法得到的結(jié)果在厚度和面積上更接近初始翼型的值,且結(jié)果的阻力系數(shù)是最小的,說明EPSOBPE優(yōu)化后得到的結(jié)果更接近最優(yōu)解。EPSOBPE算法正如上文分析的一樣,具有極強(qiáng)的魯棒性,面對不斷變換的代理模型所帶來的子優(yōu)化問題,可以獲得更好的解。

4 機(jī)翼氣動優(yōu)化

4.1 機(jī)翼CFD算例驗(yàn)證

本文三維算例采用的是經(jīng)典三維驗(yàn)證算例,ONERA M6機(jī)翼[15]流場的數(shù)值模擬算例。該算例被廣泛應(yīng)用于三維CFD計(jì)算校核。該算例的氣動設(shè)計(jì)狀態(tài)為Ma=0.839 5,迎角α=3.06°,雷諾數(shù)Re=1.172×107。該算例的計(jì)算網(wǎng)格量為108萬。本文三維機(jī)翼計(jì)算時湍流模型選用k-ωSST湍流模型。

圖7展示了0.44倍和0.9倍展向位置處截面下的數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)值的壓力分布對比,其中,y表示截面處位置距離機(jī)翼根部的長度,b表示機(jī)翼展長。結(jié)果表明數(shù)值模擬所得壓力分布與試驗(yàn)結(jié)果基本吻合,并能夠較為準(zhǔn)確地捕捉激波的位置和強(qiáng)度。這說明本文采用的 CFD 數(shù)值計(jì)算方法在求解三維機(jī)翼的氣動特性中具有較高的數(shù)值模擬精度。

圖7 y/b=0.44與y/b=0.9截面處的壓力分布

4.2 機(jī)翼優(yōu)化模型

以M6機(jī)翼為初始機(jī)翼,分別采用CSA算法、DE算法、EPSOBPE算法、PSO算法和RADPSO算法進(jìn)行機(jī)翼優(yōu)化設(shè)計(jì),各算法種群個體數(shù)均為58,其余參數(shù)與函數(shù)測試中參數(shù)設(shè)置相同。CFD計(jì)算參數(shù)設(shè)置與算例驗(yàn)證相同,網(wǎng)格與算例驗(yàn)證時相同均為108萬。三維機(jī)翼優(yōu)化用計(jì)算機(jī)CPU為2個Intel(R) Xeon(R) Gold 6248R,內(nèi)存為256 GB。由于三維流場計(jì)算時間較長所以使用基于Kriging代理模型的優(yōu)化方法。優(yōu)化方法流程與二維翼型優(yōu)化流程相同。三維機(jī)翼優(yōu)化初始樣本點(diǎn)數(shù)量為300,采用混合加點(diǎn)方式,加點(diǎn)數(shù)量為300。參數(shù)化方法使用自由變形方法(free-form deformation,FFD)[16],本文通過改變翼根與翼梢2個控制截面處的控制框點(diǎn)在Z方向上的位置實(shí)現(xiàn)對外形的改變,每個控制截面翼型上下表面各7個控制點(diǎn),再對翼尖在XOY平面方向內(nèi)設(shè)置1個扭轉(zhuǎn)角的控制變量,綜上,該算例模型共使用29個設(shè)計(jì)變量。

機(jī)翼優(yōu)化設(shè)計(jì)狀態(tài)為M∞=0.839 5,Re=11.72×106。優(yōu)化目標(biāo)為阻力系數(shù)CD最小化,約束為保持升力系數(shù)CL不變以及翼根厚度tr與翼尖厚度tt不減小。可得公式如下

(14)

4.3 優(yōu)化結(jié)果及其分析

圖8展示了優(yōu)化過程中樣本中最小阻力系數(shù)的收斂過程,表5給出了M6機(jī)翼最終的優(yōu)化結(jié)果。

圖8 機(jī)翼優(yōu)化迭代記錄

表5 機(jī)翼優(yōu)化結(jié)果對比

由圖8可知, EPSOBPE算法在較高維度的優(yōu)化中可以適應(yīng)不斷變化的子優(yōu)化問題,提高了優(yōu)化收斂速度,體現(xiàn)了EPSOBPE算法的魯棒性較強(qiáng),最終可以得到與其他算法相比更好的優(yōu)化結(jié)果。由表5可知,相同計(jì)算量下通過使用EPSOBPE算法,阻力系數(shù)從0.017 654降低到0.013 979,結(jié)果比其他算法中最小值仍少1.35個框。EPSOBPE優(yōu)化后翼根厚度為0.079 0,與初始機(jī)翼翼根厚度較為相近,說明EPSOBPE算法得到的結(jié)果更接近全局最優(yōu)解。

圖9 y/b=0.99處翼型與壓力系數(shù)對比圖

通過圖9可以看出EPSOBPE得到的翼根處翼型的頭部前緣半徑更小,翼型靠近后緣部分變薄并有向下彎曲的趨勢。上表面相較于初始機(jī)翼的翼型更加平坦,為了補(bǔ)償上表面厚度的減少,下表面厚度有所增加。通過圖9展示的壓力系數(shù)對比圖可以看出各算法的優(yōu)化結(jié)果均減弱了前緣的吸力峰,同時減弱了上表面的激波,其中EPSOBPE優(yōu)化后的上表面壓力系數(shù)過渡更為平緩,阻力更小。下表面靠近前緣處PSO算法和DE算法得到的壓力系數(shù)與初始翼型壓力系數(shù)相近,其余3種算法結(jié)果不同程度提高了壓力系數(shù)。在下表面中部所有算法都有較初始翼型更低的壓力系數(shù),其中EPSOBPE算法壓力系數(shù)更小,十分接近上表面同位置的壓力系數(shù)。

從圖10中可以看出不同優(yōu)化算法得到的翼尖翼型都有不同程度的低頭扭轉(zhuǎn),新的截面形狀與原截面形狀區(qū)別較大。在所有算法中DE算法扭轉(zhuǎn)最大,RADPSO算法扭轉(zhuǎn)最小,優(yōu)化結(jié)果最好的EPSOBPE算法扭轉(zhuǎn)程度位于中間位置。

圖10 y/b=0.05處翼型與壓力系數(shù)對比圖

圖10展示了翼尖截面的壓力系數(shù)情況,可以發(fā)現(xiàn)各算法結(jié)果都不同程度地減小了翼尖的載荷,使得原機(jī)翼翼尖的激波得到了有效減弱。翼尖截面優(yōu)化后前緣部分上下截面的壓力差變小,截面中后部的壓力系數(shù)由初始的幾乎無壓力差變?yōu)橛袎毫Σ?提高了氣動效率。

圖11～16展示了優(yōu)化前后機(jī)翼上表面壓力系數(shù)云圖,可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過優(yōu)化后各算法都減弱了機(jī)翼中部激波,DE和EPSOBPE算法結(jié)果前緣吸力的激波較其他算法結(jié)果更弱,上表面壓力分布更為均勻,其他算法機(jī)翼上表面壓力分布均形成了2個吸力團(tuán)。DE算法上表面壓力分布雖均勻,但是其機(jī)翼中部吸力峰后的壓力過渡較快,故其阻力較大。EPSOBPE的上表面壓力分布均勻,機(jī)翼中部吸力峰后的壓力過渡較DE更為平緩,故有更低的阻力。

圖11 初始機(jī)翼上表面云圖 圖12 PSO優(yōu)化后機(jī)翼上表面 圖13 DE優(yōu)化后機(jī)翼上表面壓力系數(shù)云圖 壓力系數(shù)云圖

圖14 CSA優(yōu)化后機(jī)翼上表面 圖15 RADPSO優(yōu)化后機(jī)翼上表面 圖16 EPSOBPE優(yōu)化后機(jī)翼上表面壓力系數(shù)云圖 壓力系數(shù)云圖 壓力系數(shù)云圖

5 結(jié) 論

本文針對粒子群優(yōu)化算法面對多峰問題容易陷入局部最優(yōu),存在魯棒性較差的問題提出了一種基于并行交換的增強(qiáng)粒子群優(yōu)化算法。新算法首先使用增強(qiáng)學(xué)習(xí)策略對粒子群算法進(jìn)行了改進(jìn)來增強(qiáng)其局部尋優(yōu)能力,同時考慮到氣動優(yōu)化的特點(diǎn),對邊界處理進(jìn)行了改進(jìn),得到增強(qiáng)后的粒子群優(yōu)化算法;然后使增強(qiáng)后的粒子群優(yōu)化算法和布谷鳥搜索算法并行,每次迭代后通過分層交換操作來交換各種群信息,有機(jī)結(jié)合了增強(qiáng)后粒子群優(yōu)化算法的局部尋優(yōu)能力和布谷鳥搜索算法的全局尋優(yōu)能力,得到了EPSOBPE算法。新算法同時兼具了強(qiáng)局部尋優(yōu)能力和強(qiáng)全局尋優(yōu)能力,具有了極強(qiáng)的魯棒性。在函數(shù)測試中,EPSOBPE算法與PSO算法等共5種優(yōu)化算法在8種測試函數(shù)上進(jìn)行試驗(yàn)對比。結(jié)果表明EPSOBPE算法在處理低維和高維、單峰和多峰優(yōu)化測試函數(shù)都有突出表現(xiàn),驗(yàn)證了新算法的優(yōu)越性和魯棒性。在二維氣動優(yōu)化算例中各算法在優(yōu)化前期表現(xiàn)較為相近,但是在優(yōu)化后期EPSOBPE算法逐漸與其他算法拉開差距,最終優(yōu)化效果更好,展現(xiàn)了對氣動優(yōu)化問題有更強(qiáng)適應(yīng)能力。在三維氣動優(yōu)化算例中,EPSOBPE算法展現(xiàn)出了更強(qiáng)的尋優(yōu)能力,能夠在不斷變化的子問題中不斷找到全局最優(yōu)點(diǎn),最終使機(jī)翼阻力系數(shù)優(yōu)化效果明顯好于其他算法,進(jìn)一步驗(yàn)證了EPSOBPE算法的強(qiáng)魯棒性,可在不同維度和不同種類問題中得到更優(yōu)解。

目前提升算法魯棒性、徹底解決算法搜索模式單一的方法除種群并行外仍缺乏其他方法。繼續(xù)使用種群并行機(jī)制,然后發(fā)展其他信息交換機(jī)制或提出其他解決方法將是今后重要的研究方向。