跨接管纜長度精確計(jì)算與優(yōu)化

楊勇，董海防，朱剛，余驍，周梁

(武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，武漢 430064)

當(dāng)海洋核動力平臺通過單點(diǎn)系泊系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)駐泊時(shí)，其生產(chǎn)的電力能源、熱能，以及淡水資源需先通過跨接電纜或跨接軟管傳輸?shù)絾吸c(diǎn)系泊管匯平臺，進(jìn)而通過旋轉(zhuǎn)接頭傳輸至海底電纜或管道并最終送達(dá)用戶。

關(guān)于跨接管纜及懸索的計(jì)算方法，已有研究都是基于懸鏈線理論或者是改進(jìn)的懸鏈線理論進(jìn)行的，相關(guān)的工程應(yīng)用中，懸鏈線理論都是用作精度較高的計(jì)算分析工具，而關(guān)于懸鏈線算例的規(guī)律分析和跨接管纜長度優(yōu)化設(shè)計(jì)方面尚鮮見報(bào)道。考慮基于懸鏈線理論對跨接管纜類工程應(yīng)用進(jìn)行算例分析，總結(jié)計(jì)算結(jié)果的規(guī)律，期望為跨接軟管、電纜和索道的安裝計(jì)算等工程實(shí)踐提供更加直觀便捷的設(shè)計(jì)參考。

1 跨接管纜計(jì)算模型

1.1 模型假設(shè)

考慮到跨接管纜的物理特性，為簡化分析，對跨接管纜計(jì)算模型采用以下假設(shè)：①纜索、軟管是理想柔性的，既不能承受壓力也不能承受彎曲，其截面尺寸和長度相比十分微小，因此忽略截面的抗彎剛度；②纜索、軟管材料符合胡克定律，在正常受力情況下發(fā)生小彈性變形且應(yīng)力和應(yīng)變符合線性關(guān)系；③纜索、軟管的自重荷載集度(即單位長度重量)為定值，但在變形前后不同，通過迭代計(jì)算來求解截面面積和自重載荷集度變化的影響。

1.2 跨接管纜懸鏈線模型建立

懸掛于、兩點(diǎn)之間的跨接管纜呈懸鏈線形狀，見圖1。在自重和、兩點(diǎn)拉力作用下保持平衡、靜止?fàn)顟B(tài)。取較低懸掛點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系。圖1中：和分別為跨接2點(diǎn)的跨距和高差；為跨接2點(diǎn)距離；為跨接管纜長度，m；為跨接管纜自重載荷集度，N/m；和分別為、兩點(diǎn)對管纜的拉力，N，拉力方向與管纜在對應(yīng)懸掛點(diǎn)的切線方向一致；和分別表示、兩點(diǎn)拉力方向與軸所夾銳角，rad。和正負(fù)號的定義為：軸(即水平方向)旋轉(zhuǎn)該角度后與該切線平行，若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)即為正，順時(shí)針則為負(fù)，圖1中為負(fù)值，為正值。

圖1 跨接管纜在靜止?fàn)顟B(tài)下懸鏈形狀

采用懸鏈線理論對跨接纜索或軟管的跨接進(jìn)行靜力學(xué)分析，推導(dǎo)出圖1所示懸鏈線方程如下。

(1)

由式(1)求導(dǎo)得到該懸鏈線任意點(diǎn)切線斜率為

(2)

因此，跨接管纜兩端連接點(diǎn)處的斜率及相應(yīng)角度為

(3)

(4)

根據(jù)式(2)推導(dǎo)出跨接管纜上任意點(diǎn)的張力為

(5)

距離跨接管纜最低點(diǎn)越遠(yuǎn)，其張力越大，最大張力值記為；最低點(diǎn)處張力與水平拉力相等。跨接管纜兩端連接點(diǎn)處的拉力為

(6)

(7)

跨接管纜上任意點(diǎn)的曲率半徑為

(8)

顯然，在跨接管纜線形的最低點(diǎn)處曲率半徑最小，可表達(dá)如下。

(9)

依據(jù)式(1)計(jì)算曲線弧長，可推導(dǎo)出跨接管纜有應(yīng)力長度為

(10)

進(jìn)而由胡克定律可得跨接管纜在自身重力和懸掛點(diǎn)拉力的作用下產(chǎn)生的彈性伸長量Δ。

(11)

式中：為跨接管纜的彈性模量；為跨接管纜的有效截面積。

那么，跨接管纜懸掛前無應(yīng)力狀態(tài)長度為

(12)

式中：為跨接管纜的彈性模量；為跨接管纜的有效截面積。有應(yīng)力自重載荷集度和無應(yīng)力自重載荷集度的關(guān)系為

(13)

2 數(shù)值計(jì)算

已知跨接兩點(diǎn)的跨距、高差和待懸掛管纜的物理屬性(包括無應(yīng)力自重載荷集度、彈性模量和有效截面積)，此外還需給出跨接管纜無應(yīng)力長度(也可以是有應(yīng)力長度)，或者跨接管纜某一點(diǎn)拉力狀態(tài)(可以是、、、或等)。可根據(jù)這些條件求得跨接管纜的形狀、有應(yīng)力長度、最小曲率半徑、兩端錨固拉力和角度等。

基于以上建立的跨接管纜懸鏈線模型，運(yùn)用迭代計(jì)算、逐步逼近的方法求解，具體步驟如下。

2.1 已知跨接管纜無應(yīng)力長度S0

1)輸入計(jì)算工況的跨距、高差、管纜無應(yīng)力長度、無應(yīng)力自重載荷集度、有效截面積和彈性模量。

2)設(shè)定管纜有應(yīng)力長度和有應(yīng)力自重載荷集度的初始值和，=、=、Δ=0。

3)將各變量值帶入式(10)中，解方程可解得無荷水平拉力系數(shù)，將代入式(11)求得彈性伸長量Δ，則有應(yīng)力長度=+Δ，而有應(yīng)力自重載荷集度=。

4)重復(fù)步驟3)，不斷根據(jù)計(jì)算結(jié)果對和的值進(jìn)行修正，直至=|Δ+1-Δ|≤或=|Δ+1-Δ|≤時(shí)停止迭代，和分別為事先設(shè)定的絕對和相對精度要求，一般絕對精度可設(shè)置為毫米量級，而相對精度取值范圍可選0.000 1～0.000 001。

5)將求解所得值代入式(3)～(9)中，求出所關(guān)注的各個(gè)變量值。

2.2 已知跨接管纜某一點(diǎn)拉力(H)

1)輸入計(jì)算工況的跨距、高差、無應(yīng)力自重載荷集度、有效截面積、彈性模量和跨接管纜拉力水平分量。

2)設(shè)定管纜有應(yīng)力自重載荷集度的初始值=、Δ=0。

3)將各變量值帶入=中，解方程可解得無荷水平拉力系數(shù)，將分別代入式(10)和(11)中求得有應(yīng)力長度和彈性伸長量，則有應(yīng)力自重載荷集度=(-Δ)。

4)重復(fù)步驟3)，不斷根據(jù)計(jì)算結(jié)果對和的值進(jìn)行修正，直至=|Δ+1-Δ|≤或=|Δ+1-Δ|≤時(shí)停止迭代。

5)將求解所得值代入式(3)～(9)中，求解所關(guān)注的各變量值。

3 算例結(jié)果分析

3.1 量綱一的量化

為了能夠獲取更普遍的規(guī)律和更通用的結(jié)論，對模型變量進(jìn)行量綱一的量化處理。量綱一的量化后的拉力變量將以長度為跨距的管纜重量為計(jì)量單位，長度變量以跨距為計(jì)量單位。

(14)

3.2 管纜長度對跨接管纜靜力狀態(tài)的影響

對不同高差的跨接應(yīng)用進(jìn)行大量算例計(jì)算，得到各個(gè)跨接工況下跨接管纜總長不同時(shí)跨接管纜的最大拉力云圖、最小曲率半徑云圖，較低端部錨固角度云圖和較高端部錨固角度云圖。由于跨接管纜所用的材料、形狀尺寸都不同，難以獲得適用于所有材質(zhì)和形狀的跨接管纜的統(tǒng)一計(jì)算云圖和規(guī)律。因此，云圖算例計(jì)算結(jié)果都是以有應(yīng)力狀態(tài)的管纜長度來表征，不討論懸掛前管纜長度和自重載荷集度。

不同跨接工況下跨接纜索最大拉力見圖2。

圖2 不同跨接工況下跨接管纜最大拉力云圖

在不同跨接工況下跨接管纜最優(yōu)長度見圖3。

圖3 不同跨接工況下跨接管纜最優(yōu)長度

′=-0135 4′+0558 9′-

0008 832′+1258

(15)

從圖3可知：隨著跨接2點(diǎn)高差的增大，最優(yōu)管纜長度也不斷增大，且增長的速度漸漸加快直至近乎趨于一個(gè)定值、呈線性增長的趨勢。

圖4 不同跨接工況管纜總長最優(yōu)時(shí)各變量值

在不同跨接工況下，當(dāng)跨接管纜總長最優(yōu)時(shí)跨接管纜線形最低點(diǎn)與較低懸掛端(即圖1中點(diǎn))的高度差Δ見圖5。負(fù)值表示線形最低點(diǎn)低于點(diǎn)。

圖5 不同跨接工況下管纜總長最優(yōu)時(shí)跨接管纜最低點(diǎn)與較低懸掛端高度差

從圖5可知，隨著跨接2點(diǎn)高差′的增大，高度差Δ不斷減小。在補(bǔ)給船和被補(bǔ)給船之間液貨傳輸作業(yè)中，可以參看圖5進(jìn)行參數(shù)設(shè)置，以避免液貨橫向傳輸軟管下部落入水中。

不同跨接工況下跨接管纜最小曲率半徑云圖見圖6。

圖6 不同跨接工況下跨接管纜最小曲率半徑云圖

在所有跨接工況下，最小曲率半徑都是隨著跨接管纜總長度的增大而不斷減小。而在管纜總長最優(yōu)時(shí)，不同跨接工況下跨接管纜的最小曲率半徑見圖7。

圖7 不同跨接工況下管纜總長最優(yōu)時(shí)最小曲率半徑

隨著跨接2點(diǎn)高差的增大，最小曲率半徑不斷減小，且減小的速度漸漸增大。

對于跨接纜索、軟管的工程應(yīng)用中，需要在跨接兩端設(shè)置跨接管纜的錨固彎頭，為實(shí)現(xiàn)合理安裝、不致迫使跨接管纜發(fā)生額外受迫變形，需要準(zhǔn)確獲取兩端錨固角度和。不同跨接工況下跨接管纜兩端錨固角度見圖8。

圖8 不同跨接工況下跨接管纜兩端錨固角度云圖

從圖8可知，高差一定時(shí)，隨著管纜長度的增大，逐漸增大，而逐漸減小。在高差大于025且纜索長度較小時(shí)，出現(xiàn)正值，此時(shí)較低跨接端將是整個(gè)跨接管纜的線形最低處、曲率半徑最小處和拉力最小處；而較高跨接端所有跨接工況下都是整個(gè)跨接管纜的線形最高處、曲率半徑最大處和拉力最大處。

在管纜總長最優(yōu)時(shí)，不同跨接工況下跨接管纜的最小曲率半徑見圖9。

圖9 不同跨接工況下管纜總長最優(yōu)時(shí)兩端錨固角度

從圖9可知，隨著高差的增大，和都逐漸增大，但絕對值不斷減小。當(dāng)管纜總長最優(yōu)時(shí)，跨接管纜兩端錨固角度絕對值之和穩(wěn)定在112°左右。

3.3 無應(yīng)力索長優(yōu)化

工程應(yīng)用中，可依跨接工況先對照圖3獲取最優(yōu)有應(yīng)力管纜差長度，再代入式(10)～(12)即可計(jì)算得到優(yōu)化的無應(yīng)力索長。之后結(jié)合無應(yīng)力無應(yīng)力自重載荷集度，帶入式(13)獲取有應(yīng)力自重載荷集度，進(jìn)而帶入式(2)～(9)即可求出所有相關(guān)的各變量值。

對于跨接軟管、電纜、索道等實(shí)際工程應(yīng)用，當(dāng)精度要求較高時(shí)，應(yīng)該嚴(yán)格采用上述方法得先到最優(yōu)有應(yīng)力管纜長度，再獲取管纜的無應(yīng)力長度；而當(dāng)精度要求不太高時(shí)，可直接依照圖3優(yōu)化選擇跨接管纜無應(yīng)力長度。

4 結(jié)論

通過對大量算例的計(jì)算結(jié)果分析得到：跨接管纜形狀和靜力狀態(tài)受跨接工況和管纜長度影響顯著；任何跨接工況下都存在一個(gè)跨接管纜最優(yōu)長度，此時(shí)跨接管纜最大拉力值最小。

在工程應(yīng)用中，可通過圖3(或式(15))、圖7和圖9，快速獲取任意高差不大于跨距的跨接工況下，管纜最優(yōu)有應(yīng)力長度，兩端對應(yīng)錨固角度及最小曲率半徑。對于變形伸長可忽略的情況，管纜懸掛前無應(yīng)力長度可近似取為管纜最優(yōu)有應(yīng)力長度；而對于需要更精確計(jì)算的情況，管纜無應(yīng)力長度可根據(jù)式(12)計(jì)算得到。