更新課堂教學(xué)模式 培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)
——“二次根式乘法”教學(xué)與反思

陸 超 (江蘇省南通市崇川區(qū)北城中學(xué)，江蘇 南通 226000)

一、學(xué)情及教學(xué)目標(biāo)分析

眾所周知，代數(shù)學(xué)的關(guān)鍵在于運(yùn)算，即我們常說的加、減、乘、除、乘方、開方等，而學(xué)生在“有理數(shù)”“實(shí)數(shù)”“整式的加減”“整式的乘法與因式分解”“分式”等章的學(xué)習(xí)中已經(jīng)形成了研究數(shù)系擴(kuò)張、運(yùn)算法則和運(yùn)算律的“基本套路”，這些“舊經(jīng)驗(yàn)”都為學(xué)生學(xué)習(xí)二次根式的運(yùn)算打下了思想方法基礎(chǔ).同時(shí)，二次根式作為一類特殊實(shí)數(shù)的一般形式，也為學(xué)生深入理解實(shí)數(shù)及其運(yùn)算提供了載體.在二次根式的運(yùn)算中，乘除運(yùn)算比加減運(yùn)算更簡單，而二次根式的乘法又是除法運(yùn)算的基礎(chǔ)，因此，通過本節(jié)課的教學(xué)應(yīng)達(dá)成如下目標(biāo)：探索二次根式乘法運(yùn)算的步驟和方法；掌握二次根式乘法的運(yùn)算法則和化簡二次根式的常用方法；在理解二次根式乘法法則和積的算術(shù)平方根基礎(chǔ)上，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

二、教學(xué)過程簡述

(一)設(shè)問自學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

學(xué)生集體：加、減、乘、除.

教師：我們給這類實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算取個(gè)什么名字呢？

學(xué)生集體：二次根式的四則運(yùn)算.

教師：如何進(jìn)行二次根式的四則運(yùn)算呢？今天我們就從探究二次根式的乘法法則開始，請(qǐng)同學(xué)們思考下列問題，并說出你的依據(jù).

填空(填“>”“<”或“=”).

教師：你們還能舉出具有這種規(guī)律的等式嗎？

學(xué)生舉的例子：

學(xué)生4：……

教師：大家思考一下“學(xué)生5”舉的例子是否符合上述規(guī)律？為什么？

學(xué)生6：不符合.他所列舉的二次根式都是開方開不盡的，而例題①②和我們列舉的二次根式都是開方開得盡的.

學(xué)生集體：面積.

教師：那么大家來動(dòng)筆驗(yàn)證一下，有想上來板書的同學(xué)嗎？我這邊只有一個(gè)名額喲！請(qǐng)板書的同學(xué)為大家講解一下你的依據(jù).

教師：那么現(xiàn)在能不能從代數(shù)角度來說明它也是成立的呢？

教師：像上面這樣的二次根式的等式，你們還能說出多少個(gè)？它們都滿足怎樣的一般規(guī)律，能用含字母的式子將自己發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律表示出來嗎？大家寫一寫，有想上來板書的同學(xué)嗎？我這邊依然只有一個(gè)名額喲！

教師：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，這個(gè)等式都能滿足嗎？誰能舉出反例？

教師：“學(xué)生9”你如何修改？請(qǐng)大家歸納出二次根式乘法法則.

設(shè)計(jì)說明：在課堂教學(xué)中，為了達(dá)到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教育的目的，舍棄傳統(tǒng)的教學(xué)模式，本課在原有教材的基礎(chǔ)上根據(jù)本班學(xué)生的學(xué)情對(duì)教材進(jìn)行了適當(dāng)調(diào)整和創(chuàng)新，把探究式教學(xué)和有效的課堂評(píng)價(jià)有機(jī)融合，促使教育目標(biāo)達(dá)成，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

(二)合作交流，發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)

學(xué)生10：利用算術(shù)平方根的意義證明.

運(yùn)用法則計(jì)算：

教學(xué)說明：計(jì)算題第(1)小題和第(2)小題是直接運(yùn)用二次根式乘法法則進(jìn)行計(jì)算.學(xué)生通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)第(2)小題是兩個(gè)無理數(shù)相乘結(jié)果為有理數(shù)的情況，這可以為后續(xù)學(xué)習(xí)二次根式的化簡做鋪墊.第(3)題是三個(gè)以上二次根式相乘，是兩個(gè)二次根式相乘的一種數(shù)量上的拓展，這對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)二次根式的乘除混合運(yùn)算有重要意義.二次根式乘除混合運(yùn)算可以類比有理數(shù)的混合運(yùn)算方法，統(tǒng)一成乘法運(yùn)算，然后運(yùn)用二次根式乘法法則計(jì)算，最后再化簡.這樣能避免逐項(xiàng)化簡再相乘再化簡的煩瑣過程.第(4)題是二次根式乘法法則的逆運(yùn)用，此處學(xué)生可類比本課二次根式乘法法則的探究過程，發(fā)現(xiàn)二次根式乘法法則逆運(yùn)用的妙處，同時(shí)讓學(xué)生對(duì)二次根式化簡的基本要求有一定的認(rèn)識(shí)和了解.

教師：那么第(4)題怎樣算得快呢？類比二次根式乘法法則的探究過程你發(fā)現(xiàn)了什么？

教師：這種運(yùn)算與二次根式乘法法則在運(yùn)算形式上有什么區(qū)別？能用字母表示這個(gè)規(guī)律嗎？

教師：上面二次根式乘法法則的逆運(yùn)用也可以稱作積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，它可以用來化簡二次根式.

教師：很好，兩位同學(xué)都有自己的方法，“學(xué)生13”將被開方數(shù)中的每一項(xiàng)逐項(xiàng)開方化簡再相乘,“學(xué)生14”是將被開方數(shù)分成兩個(gè)因式，即一個(gè)開得盡方的因式(或因數(shù))和一個(gè)開不盡方的因式(或因數(shù))，再相乘.如果此時(shí)我將被開方數(shù)的字母不斷再增加，字母次數(shù)也不斷增加，你們更傾向于使用哪個(gè)學(xué)生的方法，能說一說理由嗎？化簡二次根式時(shí)如何分解被開方數(shù)？

歸納二次根式化簡方法：第一步，將一個(gè)二次根式的被開方數(shù)因式分解(或因數(shù)分解)成一個(gè)開得盡方的因式(或因數(shù))乘另一個(gè)開不盡方的因式(或因數(shù))；第二步，逆用二次根式乘法法則化簡.由于化簡之后的二次根式的被開方數(shù)中不再含有開得盡方的因式或因數(shù)，所以我們把這樣的二次根式稱為最簡二次根式.因此，化簡二次根式就是要把二次根式化成最簡二次根式.

化簡下列二次根式：

(三)點(diǎn)撥提升，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

計(jì)算：

(四)總結(jié)計(jì)算技巧

技巧1:系數(shù)和被開方數(shù)分別相乘除，再化簡.

分析:方法一是將二次根式的系數(shù)向后移到根數(shù)字中，再乘被開的數(shù).這種算法看上去很簡單，但實(shí)際上，它的計(jì)算量較大，計(jì)算過程也較煩瑣，很有可能會(huì)出錯(cuò).方法二是將系數(shù)與系數(shù)相乘，被開方數(shù)與被開方數(shù)相乘，最后將結(jié)果再相乘，這樣方法雖然看上去很難，但實(shí)際上并沒有那么復(fù)雜，唯一的區(qū)別就是利用了組合定律.

技巧2:被開方數(shù)能整除就整除，不能整除時(shí)，可先化簡再相除.

三、教學(xué)反思

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是每一位一線數(shù)學(xué)教師的重要任務(wù)，而日常的課堂就是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要場地.

(一)問題發(fā)現(xiàn)

在教學(xué)設(shè)計(jì)方面，教師缺乏對(duì)學(xué)情的剖析，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力估計(jì)過高，對(duì)預(yù)習(xí)的時(shí)間安排不夠，總是擔(dān)心提前準(zhǔn)備太多會(huì)影響到課堂的完成.因此，大多數(shù)同學(xué)都是先把這一節(jié)的知識(shí)讀了一遍，沒有時(shí)間去想，也沒有時(shí)間去探討.同時(shí)，教師對(duì)教學(xué)活動(dòng)的安排也存在著不合理，而且在教學(xué)中對(duì)問題的指導(dǎo)太多，使學(xué)生只能按照教師的要求去做，不能充分地運(yùn)用自己的積極性，不能把自己的思想表達(dá)清楚，缺乏自己的獨(dú)立思維.上課的時(shí)候，由于沒有足夠的時(shí)間，所以教師沒有完全讓學(xué)生自己去做，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)教材研究得不透徹，理解不到位.

(二)立足學(xué)生實(shí)際，精心設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)，為發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)尋找契機(jī)

眾所周知，教學(xué)目標(biāo)是課堂教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿.教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要研讀課標(biāo)，把握教材的編寫意圖，同時(shí)要結(jié)合本班學(xué)生的學(xué)情，立足學(xué)生的實(shí)際情況，結(jié)合身邊的資源來尋找適合發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的契機(jī)，從而引領(lǐng)教學(xué)行為.二次根式的運(yùn)算與學(xué)生之前學(xué)習(xí)的實(shí)數(shù)內(nèi)容有較多聯(lián)系，在思考問題的方法上與整式內(nèi)容也有諸多相同點(diǎn)，所以，教師在教學(xué)時(shí)可從聯(lián)系性上著手.設(shè)計(jì)一節(jié)課需要結(jié)合本課在整個(gè)知識(shí)體系中的作用和地位，不能僅局限于這一節(jié)課，要將其與邏輯體系知識(shí)融合起來，思考讓學(xué)生掌握什么樣的知識(shí)與技能，培養(yǎng)哪些核心素養(yǎng)，再考慮這節(jié)課如何呈現(xiàn).

(三)落實(shí)教學(xué)方法，合理設(shè)計(jì)教學(xué)過程，讓學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展落地生根

明確教學(xué)目標(biāo)后，教學(xué)過程各環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)關(guān)鍵在于尋找落實(shí)教學(xué)目標(biāo)的方法.對(duì)于二次根式乘法的教學(xué)，以往傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計(jì)重在直接向?qū)W生灌輸二次根式乘法運(yùn)算法則，然后就開始例題訓(xùn)練，但是學(xué)生并不知道這個(gè)運(yùn)算法則是怎么來的，為什么是這樣的.這種淺層次的、片面的傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)不但不能提高學(xué)生思考問題、解決問題的能力，長此以往，還會(huì)影響學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.因此，教師要落實(shí)教學(xué)方法，合理設(shè)計(jì)教學(xué)過程，讓學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展落地生根.歸納法是代數(shù)學(xué)的基本方法，讓學(xué)生歸納地去探索數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)它們之間的規(guī)律，然后歸納地定義，最后歸納地論證是解決代數(shù)問題的基本步驟，所以我設(shè)計(jì)了探究性的填空，先讓學(xué)生通過觀察、計(jì)算感知規(guī)律，再讓他們舉出類似的例子，不斷感受規(guī)律的一般性，最后運(yùn)用完全歸納法論證和歸納二次根式的乘法法則.這種“緩慢式”教學(xué)可以有效促進(jìn)學(xué)生理解和思考，相比于傳統(tǒng)課堂教學(xué)更有利于學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展和學(xué)習(xí)能力的提升.

四、結(jié)束語

二次根式在初中數(shù)學(xué)中是非常重要的一部分，其內(nèi)容包括二次根式的概念、性質(zhì)、乘除法則，最簡二次根式的概念.教學(xué)工作能否圓滿，并不取決于課上的內(nèi)容，而是取決于學(xué)生所學(xué)的內(nèi)容.教師只有充分發(fā)揮主動(dòng)性，才能突破傳統(tǒng)的教學(xué)方式，適時(shí)地轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，接受新的教育思想，改進(jìn)自身的缺點(diǎn)，提升自身的教育質(zhì)量，從而達(dá)到提高教育效果的目的.