和孩子們談一談“尺規(guī)作圖”

朱艷

人類社會(huì)發(fā)展到21世紀(jì)，已進(jìn)入了數(shù)字時(shí)代，人們有了基于AI的測距儀、有刻度的尺子、量角器、功能更豐富的圓規(guī)等繪圖工具，使用計(jì)算機(jī)作圖、制圖與繪圖等已是一件非常平常的事情。在這樣的數(shù)字時(shí)代下，很多人認(rèn)為，已有的很多工具就能很方便地實(shí)現(xiàn)作圖，再退一步，我們可以用量角器、有刻度的直尺、三角板、圓規(guī)等作圖豈不是更方便、更準(zhǔn)確、更實(shí)用嗎？為什么還要退回去，只限定用尺規(guī)作圖，這樣的做法嚴(yán)重地脫離了實(shí)際，是一種倒退。誠然，在目前的時(shí)代下，尺規(guī)作圖已經(jīng)沒有太多的學(xué)術(shù)價(jià)值，在學(xué)術(shù)領(lǐng)域，它前途渺茫且窮途末路，但是把尺規(guī)作圖只理解為實(shí)際生活中的繪圖、畫圖，我認(rèn)為是一個(gè)比較膚淺的看法。

尺規(guī)作圖，有它自己的“規(guī)矩”，即作圖公法與三條規(guī)約。作圖公法就是使用直尺與圓規(guī)的基本功能，在符合歐幾里得幾何公理的基礎(chǔ)上，完成以下圖形：

（1） 通過兩個(gè)已知點(diǎn)，可作一條直線 （圖1）;

（2） 兩條已知直線相交，可作其交點(diǎn);

（3） 以已知點(diǎn)為圓心，已知長為半徑，可作一個(gè)圓;

（4） 已知一直線和一已知圓，可作其交點(diǎn);

（5） 兩個(gè)已知圓相交，可作其交點(diǎn)。

在作圖公法的基礎(chǔ)上，還要有三條規(guī)約，才能是真正的尺規(guī)作圖，規(guī)約如下：

（1） 無刻度的直尺與圓規(guī);

（2） 有限次地使用直尺圓規(guī);

（3） 作出的圖形必須能用邏輯推理的方法證明它的正確性。

作圖公法與規(guī)約就是尺規(guī)作圖的“規(guī)矩”，依據(jù)這個(gè)“規(guī)矩”，如果在實(shí)踐過程中能作出圖形，那么這個(gè)圖形就是存在的，如果不能作出圖形，那么這個(gè)圖形就是不存的，在現(xiàn)實(shí)中的評價(jià)只存在哪些可以完成或哪些不能完成，這也是尺規(guī)作圖在現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際意義。但那些不能完成的，也不代表在實(shí)現(xiàn)生活中是不存在的，比如，任意角的三等分點(diǎn)，在實(shí)際中是存在的，但尺規(guī)作圖就不能辦到。從哲學(xué)意義來看，結(jié)果僅是條件的產(chǎn)物。

數(shù)學(xué)史上著名的三大幾何學(xué)問題：三等分任意角、倍立方問題和化圓為方。這三個(gè)問題從古希臘人開始嘗試解決，即便是阿基米德，也是在有瑕疵的情況下解決了三等分任意角，直到19世紀(jì)，萬芝爾才證明了三等分任意角和倍立方問題是尺規(guī)作圖不能解決的問題，因?yàn)樗蠼鈫栴}的結(jié)果超出了尺規(guī)作圖的數(shù)量范圍，也就是沒有有理根;林德曼證明了 e 是超越數(shù)的基礎(chǔ)上，證明了 π 也是超越數(shù)，從而證明了化圓為方也是尺規(guī)作圖不能解決的問題。從此以后，籠罩在數(shù)學(xué)家頭上的三大幾何問題才徹底被解決。

幾何作圖留下的三大難題，其實(shí)隱藏著一個(gè)深刻的本質(zhì)，也就是怎樣證明某個(gè)問題是不可解的，通過對問題不可解的證明的探索，在數(shù)學(xué)上具有非常重要而影響深遠(yuǎn)的價(jià)值。假設(shè)給出了已知條件，根據(jù)條件設(shè)法作出圖形，這就是作圖問題。如果能作出圖形，就可以說滿足某種條件的圖形是存在的，在某種意義上說，是證明了事物的存在性，但反過來說，僅用尺規(guī)作不出來的圖形，卻不意味著該對象一定不存在，比如，任意三角形的三等分線是客觀存在的，但作不出來。事情的結(jié)果以條件為前提，條件發(fā)生變化，結(jié)果的存在性也會(huì)發(fā)生變化。如果改變尺規(guī)作圖工具的限制，幾何三大難題變得輕而易舉。

對于在初中階段將要學(xué)習(xí)平面幾何的學(xué)生來說，要想學(xué)好這門科學(xué)，那么要讓孩子們在小學(xué)階段就要適時(shí)、適度地引入尺規(guī)作圖，這將能引導(dǎo)小學(xué)生有意識地將生活中物品抽象成線條和圓，能處理線條與圓的一些簡單關(guān)系，使小學(xué)生對幾何有直觀的感覺。將來到初中學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)，就會(huì)容易得多。

到目前為止，筆者認(rèn)為尺規(guī)作圖是一種非常簡單易行的數(shù)學(xué)素質(zhì)培訓(xùn)手段，是一種成本低、效益高的手段。它的本質(zhì)并不在畫圖，而是一種性價(jià)比很高，嚴(yán)格的邏輯分析與論證的高效訓(xùn)練，經(jīng)過這種訓(xùn)練的人，數(shù)學(xué)素質(zhì)將伴隨他的一生，使之成為一個(gè)人一生的修養(yǎng)。

數(shù)學(xué)訓(xùn)練的核心是什么呢？是一個(gè)人面對問題時(shí)，能提出解決問題的方案，能將方案模型化、流程化，并能得出這樣解決問題行不行，如果不行，是問題的條件不能滿足結(jié)果，還是流程中出現(xiàn)問題，也就是通常所說的邏輯思維能力訓(xùn)練。通過尺規(guī)作圖，一個(gè)人能夠懂得，在某個(gè)特定條件下，用正確的邏輯思維推論，將會(huì)產(chǎn)生怎樣的結(jié)果，不能光靠“拍腦袋”決定一件事情的進(jìn)行與否，然后再“拍大腿”，光靠“拍腦袋”決定一件事情，對工作與生活會(huì)產(chǎn)生很多不利的影響。

一、建立幾何觀念的重要手段;克服學(xué)生讀死書的好辦法。

二、使用尺規(guī)作圖，通過幾何圖形學(xué)習(xí)幾何，用命題解決某些具體問題，還能證明命題的正確性。

三、學(xué)生動(dòng)手操作，具有實(shí)踐意義。

四、學(xué)生在解題、作圖的過程中，要運(yùn)用一系列相當(dāng)復(fù)雜的邏輯思維，即猜想、分析、操作、證明、討論等連續(xù)的思維活動(dòng)。

正確認(rèn)識尺規(guī)作圖的教育功能，與正確認(rèn)識數(shù)學(xué)訓(xùn)練的功能是一致的，我希望能夠普及這樣一個(gè)思想——數(shù)學(xué)是講究邏輯思維的，經(jīng)常問一問自己，為什么這樣做？操作步驟是什么？我得到的結(jié)果對不對？怎樣驗(yàn)證我的結(jié)果？讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)推理的過程能幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。其過程不僅給學(xué)生留下的感受是深刻的，更能幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從分析、猜想、操作、結(jié)論到證明結(jié)論的正確性，完成一個(gè)只屬于操作者個(gè)人所獨(dú)有的智慧。

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