基于拋物線形庫侖-莫爾準則的板柱節點沖切承載力計算模型

孫俊豪，費正玉，梁詩雪

(浙江理工大學建筑工程學院，浙江 杭州 310018)

板柱結構以樓板和柱子作為承重體系，樓板下沒有梁，降低了建筑物的層高，在地下停車場、倉庫、多層廠房等被廣泛應用。板柱的沖切破壞是工程設計中經常遇到的問題，一旦節點處受到沖切破壞，便會引起周邊節點應力重分布，引發連續的坍塌事故，因此對板柱節點的抗沖切承載力的研究尤其重要。根據GB 50010—2010《混凝土結構設計規范》[1]計算得到的承載力結果與實際結果仍有一定誤差，且沒有考慮縱筋配筋率對沖切承載力的有利影響。國內外學者對板柱節點的破壞強度進行了大量試驗研究，提出了許多沖切承載力計算方法。蔣大驊[2]基于剛塑性破壞模型，提出了拋物線形的庫侖-摩爾混凝土破壞準則，但并未考慮配筋率的影響。嚴宗達[3]基于雙剪強度理論對鋼筋混凝土板軸對稱沖切破壞強度進行了計算，用虛功方程求得破壞荷載的上限解。楊秀敏等[4]和魏雪英等[5]采用同統一強度理論，考慮了中間主應力效應，求解了軸對稱混凝土板的沖切破壞強度。易偉建等[6]基于拋物線形庫侖-莫爾破壞準則，推導了混凝土板柱受沖切承載力最小上限解。

為給出可解釋的沖切承載力計算模型，本文基于拋物線形庫侖-莫爾混凝土破壞準則，采用剛塑性破壞模型，引入了縱筋配筋率和銷栓作用對板柱沖切的影響，推導建立混凝土板柱沖切承載力計算模型，與多國規范的計算結果對比，證明本文公式的準確性。

1 沖切承載力計算

將板柱節點沖切破壞的承載力分為3個部分，分別是混凝土部分提供的承載力、鋼筋銷栓作用提供的承載力和鋼筋拉力提供的承載力。由虛功原理可得，板柱破壞時外力做功等于板柱節點內力做功：

P·u=Wc+Wb+Wst

(1)

式中，P(N)—外部荷載；u(m)—沖切體發生的虛位移，Wc(J)—混凝土部分做的內虛功；Wb(J)—鋼筋銷栓作用做的內虛功；Wst(J)—鋼筋拉應力做的內虛功。

1.1 混凝土部分提供的承載力

采用塑性理論計算板柱結構的承載力，混凝土采用拋物線形Coulomb-Mohr破壞準則如圖1所示。

圖1 拋物線型Coulomb-Mohr準則

拋物線的包絡線方程為：

(2)

(3)

(4)

式中，σn—屈服面上的正應力，MPa；τnt—屈服面上的剪應力，MPa；fc′—混凝土塑性有效抗壓強度，MPa；ft′—混凝土塑性有效抗拉強度，MPa；fc、ft—混凝土軸心抗壓和軸心抗拉強度，MPa；vc、vt—混凝土強度fc、ft的折減系數。α—包絡線外法線與豎軸的夾角，推導可得：

(5)

σn=(1-Kcot2α)ft′

(6)

τnt=2Kcotαft′

(7)

破壞機構如圖2所示。

圖2 破壞機構

圖2中，Ⅰ、Ⅲ為板柱沖切破壞后形成的剛性體，Ⅱ為塑性變形區；d—沖切錐體上表面的寬度，mm；與柱頭的寬度一致；n、t—錐體母線的法線方向和切線方向；h—板的厚度，mm。假設塑性變形只發生在塑性區，且沖切錐體只發生豎向的虛位移u。

設塑性變形區的厚度為δ(m)，當沖切體發生豎向虛位移為u時，混凝土塑性區的應變為：

(8)

(9)

由虛功原理可得混凝土部分做的內虛功為：

(10)

式中，A—塑性變形區的表面積，mm2。

將式(6)—(9)帶入式(10)，得：

(11)

圖3 沖切錐體底面形狀圖

(12)

積分得：

Wc=ft′u(1+Kcot2α)tanα(4dh+πtanαh2)

(13)

1.2 抗彎鋼筋提供的承載力

1.2.1銷栓作用

當沖切破壞的裂縫穿過鋼筋時，鋼筋能像插銷一樣提供剪力，延緩裂縫的發展，增強混凝土板的承載能力，即為鋼筋的銷栓作用。當板柱發生純彎曲破壞時，縱筋完全屈服，鋼筋不能提供銷栓作用力。而試驗證明，板柱發生沖切破壞時鋼筋并不會完全屈服，此時鋼筋能夠提供銷栓作用[7]。參照文獻[8]提出的抗沖切銷栓作用的計算式為：

(14)

(15)

式中，φs—穿過破壞截面的抗彎縱筋直徑，mm；fc′—混凝土圓柱體抗壓強度，MPa；fy—抗彎鋼筋屈服強度，MPa；ζ=σs/fy，其中σs為鋼筋軸向拉應力，MPa。

當混凝土板雙向配筋率相同時，可得：

(16)

式中，As—穿過破壞截面的縱筋截面面積，mm2。

當沖切破壞發生時，破壞截面處鋼筋平均應變約為屈服應變的63%，在此取ζ為0.8[9]。當As=(4d+2πh0tanα)h0ρ時，式(15)可簡化為：

(17)

式中，ρ—縱筋配筋率；h0—板的有效高度，mm。

1.2.2鋼筋拉力

板的受沖切承載力隨配筋率的提高而提高。縱筋配筋率的增加，間接加大了受壓區的高度，改變了板的內力狀態，使板柱沖切承載力提高。而GB 50010—2010則沒有考慮配筋的影響。試驗表明，當縱筋配筋率高于2.5%時，承載力的提升就不再明顯[10-11]，故通常以2.5%的配筋率為界限考慮抗彎縱筋的作用。為便于計算分析，假設鋼筋與混凝土之間粘結良好，忽略鋼筋與混凝土之間的相對滑移，則鋼筋的拉力做功Wst為：

Wst=fyεsAsδ

(18)

Wst=ufyρ(4d+2πh0tanα)h0sinθ

(19)

將式(13)、(17)、(19)帶入式(1)得：

P=ft′(1+Kcot2α)tanα(4dh+πtanαh2)+

fyρ(4d+2πh0tanα)h0sinθ

(20)

P=0.190fc(dh+1.360h2)+

(21)

式中，第一項為混凝土部分提供的承載力，第二項為鋼筋銷栓作用提供的承載力，第三項為鋼筋拉應力提供的承載力。

2 結果對比與修正

2.1 試驗值與理論值的對比

收集試驗數據總計181組(數據庫詳情見附錄：https://github.com/ohner/data.git)，將試驗值與計算理論值進行對比。當配筋率高于2.5%時，配筋率對承載力的提升已不再明顯，故為保證計算結果的準確性，舍棄了部分配筋率高于2.5%的試驗數據。將所取試驗中的混凝土抗壓強度進行換算，取美標圓柱體混凝土標準件強度fc′與中標混凝土標準件強度fcu換算關系為fc′=0.8fcu[16]，取混凝土單軸抗壓強度fc與150mm混凝土立方體標準件抗壓強度fcu換算關系為fc=0.8fcu[17]。計算后得到，預測值與試驗值之比的平均值為1.29，變異系數為0.3，由式(21)得到的計算值與試驗值的對比圖如圖4所示。

圖4 未修正承載力預測值與試驗值對比圖

2.2 公式修正與對比

為使得計算值更加準確，對式(21)進行參數修正，假定修正后的承載力表達式為：

P=k10.190fc(dh+1.360h2)+

(22)

式中，k1、k2、k3—待定系數。

使用最小二乘法對k1、k2、k3回歸分析，使得k1、k2、k3取某個值時計算值與試驗值誤差最小。

計算得到，當k1=0.356，k2=2.079，k3=2.398時，計算值與試驗值最為接近。可以得到修正后的公式為：

P=0.068fc(dh+1.360h2)+

(23)

式中，P(N)—沖切承載力；fc—混凝如抗壓強度，MPa；fy—鋼筋屈服強度，MPa；ρ—鋼筋配筋率；d—柱邊長，mm；h—板的厚度，mm；h0—板的有效厚度，mm。

由式(23)得出的抗沖切承載力的計算值與試驗值的對比如圖5所示，計算得到預測值與試驗值之比的平均值為0.92，變異系數為0.20，結果吻合較好，有一定的強度儲備。

圖5 修正后承載力預測值與試驗值對比圖

引用GB 50010—2010、歐洲規范Eurocode 2—03[18]、美國規范ACI 318M—11[19]、日本規范JSCE15[20]計算得到的對比圖如圖6所示。將不同公式預測結果進行對比結果見表1。可以得到，4種規范的預測結果均偏于保守，本文公式獲得的結果與實際值最為接近。GB 50010—2010與美國規范ACI 318—11計算得到的結果與實際值較為接近，歐洲規范Eurocode 2—03與日本規范JSCE15計算結果誤差較大。

表1 預測結果對比表

圖6 規范承載力預測值與試驗值對比圖

3 結論

(1)引入鋼筋銷栓作用和鋼筋拉力為變量，基于拋物線形庫侖-莫爾破壞準則，采用剛塑性破壞模型和虛功原理，建立了沖切承載力計算模型，并對沖切角、鋼筋應變和板彎曲變形傾角等參數進行簡化，使算式可滿足工程計算需求。通過最小二乘法對公式回歸修正后，結果與樣本數據符合良好。

(2)對比GB 50010—2010、歐洲規范Eurocode 2—03、美國規范ACI 318M—11和日本規范JSCE15，修正后的公式準確度更高，預測結果離散性更小，且有一定的強度儲備，各國規范計算結果均偏于保守，且預測結果離散性較大，證明鋼筋銷栓作用和鋼筋拉力對沖切承載力有較大影響。

(3)在推導過程中，本文對破壞時鋼筋應變、沖切角、板彎曲變形傾角等參數進行了基于試驗數據的取值簡化，其影響因素與計算關系有待進一步研究。