于海闊 張利軍 靳 凱 畢京斌 趙海波

(1. 中車青島四方車輛研究所有限公司， 266031， 青島；2. 中車長春軌道客車股份有限公司， 130062， 長春∥第一作者， 工程師)

0 引言

軌道交通列車應用的PMSM (永磁同步電機)以其損耗小、效率高、體積小、質量輕、結構多樣化、可靠性高、過載能力強等優點成為輪轂電機的首選。但是，在PMSM中，永磁體和帶槽電樞鐵心相互作用，產生齒槽轉矩，進而產生振動和噪聲，影響系統的控制精度。除此之外，受輪轂電機體積限制，永磁體產生的渦流損耗會使其自身產生高溫，面臨不可逆退磁的風險。

從PMSM齒槽轉矩產生的機理出發，削弱齒槽轉矩大致可從極和槽兩方面考慮。文獻[1]從磁極優化角度出發，把減小氣隙磁密諧波分量作為削弱齒槽轉矩的依據，分析了不同轉子磁極優化技術的優、缺點。文獻[2]采用優化磁極形狀的方法，提出了兩種凸形不等厚磁極的永磁電機，相比于傳統表貼瓦片形永磁電機降低了rTHD(氣隙磁密諧波畸變率)和齒槽轉矩，增大了電磁轉矩，但未分析對電機轉矩脈動的影響。文獻[3]采用偏心磁極來優化表貼式PMSM氣隙磁密波形，推導了偏心磁極電機氣隙磁密解析表達式；結合樣機試驗證明了計算方法的準確性，但是生產制造復雜、成本高。不同于磁極優化技術，研究電機解析模型中定子開槽對氣隙磁場的影響，可進一步分析齒槽轉矩。文獻[4]在文獻[5-6]的基礎上，采用保角變換法推導出二維極坐標系下的相對磁導函數，進而得到表貼式PMSM定子開槽狀況下的氣隙磁場分布,但所得到的氣隙磁場分布并不完整。文獻[11]采用保角變換法推導出復相對磁導函數，得到完整的氣隙磁場分布，但求解過程復雜、計算時間長；定子槽為無限深單槽模型，無法考慮槽與槽間的影響，不利于反電勢的精確計算。文獻[12]采用數值、解析相結合的方法推導了定子開槽下PMSM氣隙磁場分布，但計算耗時長，且受迭代精度影響。不同于上述文獻中提到的開槽PMSM氣隙磁場解析方法，精確子域模型法能夠考慮到定子槽間相互影響，且會根據材料屬性和電機結構將電機劃分為不同的子域，在計算電磁性能方面具有較高的精度。文獻[13]在PMSM解析建模中考慮了導磁材料磁導率為具體數值的情況，結合精確子域模型法推導了電機氣隙磁密，以及空載工況下的反電動勢及輸出轉矩的表達式，探究了極弧系數和槽開口寬度對輸出轉矩的影響，但未分析對氣隙磁密和齒槽轉矩的影響，且所建模型中槽型尺寸僅由槽口寬度決定，實用性較差。

針對永磁體渦流損耗的抑制，最常用的方法是磁極分段。文獻[14]研究了Halbach充磁方式下永磁體每極分塊數對齒槽轉矩的影響，證明每極分塊數目越多越能改善磁場分布，但會增加制造成本。文獻[15]提出了一種環形部分分段結構，比較了永磁體單側、雙側部分分段，以及單側、雙側環形部分分段的渦流損耗。永磁體部分分段在保持一定機械強度的基礎上，可以保證永磁體的完整性，不需要額外的工藝及成本。

針對以上問題，以rTHD、齒槽轉矩及渦流損耗最小為優化目標，提出一種十字型部分分段Halbach PMSM解析模型，推導出十字型部分分段并考慮定子開槽效應下的氣隙磁密解析表達式，計算得到PMSM的齒槽轉矩和電磁轉矩，通過有限元仿真驗證了解析結果的準確性，并且系統地分析了極間間隔角度、邊界磁極的充磁角度、主磁極高度和寬度、剖去部分深度和寬度對徑向氣隙磁密的基波幅值和rTHD的影響。

1 PMSM解析模型的構建

1.1 PMSM解析模型

建立二維極坐標系，采用精確子域模型法分析定子開槽下的氣隙磁場分布。為便于分析計算，做出如下假設：① 永磁體材料具有線性退磁特性；② 忽略端部影響；③ 鐵磁材料磁導率無窮大。

圖1為十字型部分分段Halbach PMSM在空載工況下的氣隙磁場和電樞反應磁場解析模型。

a) 空載工況下的氣隙磁場解析模型

b) 電樞反應磁場解析模型

將圖1 a) 所示的空載工況下PKPM的氣隙磁場解析模型在二維極坐標系下劃分為4個區域：氣隙區域(1)，永磁體區域(2)，第i個槽口區域(ki)、第i個槽身區域(si)。

將圖1 b)所示的電樞反應磁場解析模型在二維極坐標系下劃分為3個區域：等效氣隙區域(Ι)，第i個槽口區域(Ki)、第i個槽身區域(Si)。

1.2 十字型部分分段Halbach PMSM解析模型

永磁體采用平行充磁。圖2為待優化的十字型部分分段磁極結構。在1對磁極下，永磁體磁化強度M可以表示為：

M=Br/μ0

(1)

式中：

Br——永磁體剩磁；

μ0——真空磁導率。

注：lm為主磁極厚度； ls為邊界磁極厚度； hm為中心剖去部分厚度。

2 空載工況下PMSM解析模型氣隙磁場計算分析

2.1 矢量磁位方程的建立及其求解

空載氣隙磁場計算的一般方程為：

(2)

式中：

Mr——徑向磁化強度矢量分量；

Mθ——切向磁化強度矢量分量；

A1、A2、Asi、Aki——分別為氣隙區域、Halbach型永磁體區域、第i個槽身區域si和第i個槽口區域ki內的矢量磁位；

r、θ——分別為極坐標系下的徑向和切向分量。

由分離變量法，得到各區域矢量磁位通解表達式：

(3)

其中:

(4)

式中：

n、m、j——相應區域內矢量磁位的諧波次數；

θ0——轉子初始位置角；

g——2p和Q的最大公約數；

A1n、B1n、C1n、D1n、A2n、B2n、C2n、D2n、Asi,j、Asi,m、Aki,0、Aki,j、Bki,j——分別為空載工況下氣隙磁場的待定系數；

Mr,n(n)、Mθ,n(n)——分別為Mn(n)的徑向和切向磁化強度矢量分量。

各子域邊界需滿足如下條件：

(5)

式中：

Hθ,1、Hθ,2、Hθ,si、Hθ,ki——分別為子域1、2、si、ki的切向磁場強度；

Br,1、Br,2、Br,si——分別為子域1、2、si的徑向氣隙磁密。

2.2 空載工況下PMSM的氣隙磁密

(C1nrng-1+D1nr-ng-1)ngcos (ngθ)]

(6)

(C1nrng-1-D1nr-ng-1)ngsin (ngθ)]

(7)

Bθ,1——空載氣隙子域1的切向氣隙磁密。

2.3 齒槽轉矩的計算

由空載工況下的氣隙磁密分布計算結果，利用麥克斯韋應力張量法，得到齒槽轉矩Tcog的表達式：

(8)

式中：

Lz——電機軸向長度。

3 PMSM電樞反應磁場解析模型分析

3.1 矢量磁位方程的建立與求解

電樞反應磁場計算時，永磁體不充磁。施加電流源激勵后，永磁體磁場計算的一般方程為：

(9)

式中：

AΙ、AKi、ASi——各區域內的矢量磁位；

Ji——第i個槽內繞組的電流密度。

根據前面的分析，筆者認為中國目前政治、社會制度的條件，比如傳統的集權影響、幅員遼闊差異巨大、社會自治基礎和能力不足等，不具備央地徹底分權模式的條件，可行的模式是應該探索中央統一領導、地方授權執行的分權模式，在其中不斷探索合理授權地方的機制，從而實現央地之間權責內洽的機制建立。

由分離變量法，得到各區域矢量磁位通解的表達式：

(CΙ,nrng+DΙ,nr-ng)sin (ngθ)]

(10)

Ewk(Rsh,Rsk)-BKi,jEwk(r,Rsh)/

Ewk(Rsh,Rsk)]cos[wk(θ-θi+Sk/2)]}

(11)

ASi=ASi,0+ACi(r)+

(12)

式中：

AΙ,n、BΙ,n、CΙ,n、DΙ,n——子域Ι電樞反應氣隙磁場的待定系數;

AKi,0、BKi,0、AKi,j、BKi,j——子域Ki電樞反應氣隙磁場的待定系數;

ASi,0、ACi、ASi,m——子域Si電樞反應氣隙磁場的待定系數。

各區域的邊界條件如下：

(13)

式中:

Hθ,Ι、Hθ,Ki——分別為子域Ι、Ki的切向磁場強度;

ASi,1、ASi,2——分別為槽身子域Si處繞組1和繞組2產生的磁位。

3.2 等效氣隙磁密的計算

(CΙ,nrng-1+DΙ,nr-ng-1)ngcos (ngθ)]

(14)

(CΙ,nrng-1-DΙ,nr-ng-1)ngsin (ngθ)]

(15)

式中：

Br,Ι——電樞反應磁場等效氣隙子域Ι的徑向氣隙磁密；

Bθ,Ι——電樞反應磁場等效氣隙子域Ι的切向氣隙磁密。

4 負載工況下PMSM的磁場分析

4.1 氣隙磁密的計算

由疊加定理可得：

(16)

式中:

Br,t、Bθ,t——分別為負載氣隙子域徑向和切向氣隙磁密。

4.2 電磁轉矩的計算

由負載氣隙磁密分布結果，利用麥克斯韋應力張量法，得到電磁轉矩Tem的表達式：

(17)

式中：

re——電磁轉矩積分半徑。

5 十字型主磁極中心部分分段Halbach PMSM解析模型有限元分析驗證

為驗證上述解析模型的正確性，對如圖3所示的十字型部分分段Halbach PMSM模型進行有限元仿真分析。該電機模型是在Halbach陣列基礎上添加了極間隔斷，并將每極分為不等寬、不等厚的3塊。為降低渦流損耗，得到更加正弦的氣隙磁密波形和較低的齒槽轉矩，對主磁極中心部分進行分段，使邊界磁極幾何中心與主磁極幾何中心在同一條圓弧上。電機模型的主要參數如表1所示。根據解析計算結果對永磁體的極間間隔角度、邊界磁極的充磁角度、主磁極高度和寬度、剖去部分深度和寬度進行多變量分級優化設計，并與普通表貼結構、普通表貼部分分段結構、等厚等寬Halbach結構、T型Halbach結構、Hat型Halbach結構、T型部分分段Halbach結構及Hat型部分分段Halbach結構的電磁性能進行對比，驗證十字型部分分段Halbach PMSM結構的有效性及優越性。

圖3 十字型部分分段Halbach PMSM模型示意圖

表1 十字型部分分段Halbach PMSM的主要參數

5.1 空載工況下PMSM的仿真波形

圖4～5為空載工況下的十字型部分分段Halbach PMSM解析模型和FEA(有限元分析)模型的氣隙磁密和齒槽轉矩[17]。

圖4 不同模型下氣隙磁密隨機械角度變化對比曲線

圖5 不同模型下齒槽轉矩隨機械角度變化對比曲線

由圖4～5可見，PMSM模型的氣隙磁密和齒槽轉矩的解析解和FEA解基本吻合，驗證了PMSM解析模型的正確性，為永磁體結構的進一步優化奠定基礎。

對永磁體的極間間隔角度進行優化，以rTHD為確定指標得到極間間隔角度為6°。改變FEA模型中邊界磁極的充磁角度b，令b在0°～90°內，每隔10°取1個值，得到空載工況下PMSM模型的氣隙磁密基波幅值和rTHD隨b的變化曲線，如圖6所示。由圖6可見，隨著b增大，rTHD先略微減小再增大，基波幅值則一直減小；當b=0°時，基波幅值的最大值為1.035 T；當b=10°時，rTHD的最小值為20.8%，基波幅值為1.032 T。因此，選取10°作為邊界磁極的充磁角度。

圖6 諧波畸變率和基波幅值隨b的變化曲線

當極間間隔角度為定值時，主磁極與邊界磁極所占角度之和亦為定值。通過改變主磁極角度θm及邊界磁極厚度ls，使θm在0°～20°內(每隔2°取1個值)，使ls在1～3 mm內(每隔0.25 mm取1個值)，得到空載工況下PMSM的氣隙磁密rTHD的變化曲線，如圖7所示。

圖7 PMSM的rTHD隨θm的變化曲線Fig.7 Curve of PMSM rTHDchanging with θm

由圖7可見，當θm為定值時，隨著ls增大，rTHD先減小后增大，且ls的轉折點在1.75～2.00 mm范圍內。綜合圖7仿真結果，令θm在12°～16°內，每隔1°取1個值； 令ls在1.5～1.9 mm內，每隔0.1 mm取1個值，通過進一步優化，得到圖8所示曲線。

由圖8可見，當ls為定值時，隨著θm的增大rTHD先減小后增大，θm的轉折點為13°。為進一步縮小最優參數范圍，令θm分別為12°、13°、14°時，ls分別為1.7 mm、1.8 mm、1.9 mm。

圖8 PMSM的rTHD隨θm的變化曲線Fig.8 Curve of PMSM rTHDchanging with θm

改變PMSM有限元模型中主磁極中心部分分段深度hm和角度θcm。令hm在0～3 mm內，每隔0.5 mm取1個值；令θcm在0°～30°內，每隔3°取1個值。得到空載工況下rTHD隨θm的變化曲線，如圖9所示。

圖9 PMSM的rTHD隨θcm的變化曲線Fig.9 Curve of PMSM rTHD changing with θcm

從圖9中可以看出，當θcm為定值時，rTHD隨hm的增大而增大；當hm為定值時，rTHD隨θcm的增大先增大后減小。考慮到永磁體的完整性及機械強度，hm不能超過永磁體厚度的65%，即hm≤1.95 mm。綜合圖9仿真結果，令θcm在3°～7°內，每隔1°取1個值；令hm在0.1～0.5 mm內，每隔0.1 mm取1個值，通過進一步優化，得到圖10所示曲線。

圖10 PMSM的rTHD隨θcm的變化曲線Fig.10 Curve of PMSM rTHD changing with θcm

綜合圖10仿真結果，考慮到PMSM實際制作工藝和成本，令θcm分別為3°、4°、5°，hm分別為0.2 mm、0.3 mm、0.4 mm。將θcm、hm與θm、ls進行多變量優化，得到圖11所示仿真結果，以尋出最優參數組合。

圖11為主磁極剖去角度θcm分別為3°、4°、5°時，rTHD隨θm、ls和hm的變化曲線。當θm=13°、ls=1.9 mm、θcm=3°及hm=0.2 mm時rTHD有最優解。至此，在空載工況下完成了對十字型部分分段Halbach結構的優化。將優化后rTHD的最優解應用于其他8種電機結構，得到圖12所示的齒槽轉矩變化曲線和圖13所示的渦流損耗變化曲線。

a) θcm = 3°

b) θcm = 4°

c) θcm = 5°圖11 PMSM多變量優化后rTHD變化曲線

由圖12可見，普通表貼式PMSM齒槽轉矩為820.27 mNm，普通表貼部分分段PMSM齒槽轉矩為832.71 mNm；等寬等厚Halbach PMSM齒槽轉矩為585.08 mNm，Hat型Halbach PMSM齒槽轉矩為472.02 mNm，Hat型部分分段Halbach PMSM齒槽轉矩為459.12 mNm；T型Halbach PMSM齒槽轉矩為493.46 mNm，T型部分分段Halbach PMSM齒槽轉矩為481.32 mNm；十字型Halbach PMSM齒槽轉矩為413.56 mNm，十字型部分分段Halbach PMSM齒槽轉矩為385.84 mNm。

圖12 優化后9種電機結構齒槽轉矩隨機械角度的變化曲線

圖13 優化后9種結構渦流損耗隨時間的變化曲線

由圖13可見，普通表貼式PMSM渦流損耗為61.72 W，普通表貼中心部分分段PMSM渦流損耗為60.29 W；等寬等厚Halbach PMSM渦流損耗為18.68 W， Hat型Halbach PMSM渦流損耗為14.80 W，Hat型部分分段Halbach PMSM渦流損耗為14.23 W；T型Halbach PMSM渦流損耗為14.72 W，T型部分分段Halbach PMSM渦流損耗為14.15 W；十字型Halbach PMSM渦流損耗為14.57 W，十字型部分分段Halbach PMSM渦流損耗為14.03 W。綜合上述數據，相比于普通表貼式PMSM，等寬等厚Halbach充磁方式下的PMSM渦流損耗降低了69.73%；相比于Hat型和T型的Halbach PMSM，十字型Halbach PMSM渦流損耗更小；相比于主磁極不分段的PMSM，主磁極中心部分分段結構的PMSM降低了渦流損耗。

5.2 永磁體負載反應磁場仿真波形

空載工況下PMSM的反應磁場和電樞反應磁場的疊加即為負載反應磁場，此時永磁體和激勵電流源同時作用。由PMSM的主要參數(見表1)推算出所施加電流源激勵的A相電流有效值Im為30 A，A相電流初相位為30°。選取r=(Rsh+Rm)/2作為氣隙線半徑，提取負載氣隙磁密，得到如圖14所示波形。由圖14可見，負載氣隙磁密的解析解與有限元解吻合。電磁轉矩的解析解與有限元解對比如圖15所示。

圖14 不同模型下PMSM的氣隙磁密隨機械角度變化曲線

圖15 不同模型下PMSM的電磁轉矩隨時間變化曲線

圖15所示為負載工況下PMSM的電磁轉矩解析解與有限元解的對比圖。圖15可見，PMSM的電磁轉矩波動較大。圖16為優化后的十字型中心部分分段Halbach PMSM和普通表貼式PMSM在負載工況下的氣隙磁密變化曲線。由圖16可見，十字型中心部分分段結構的PMSM的氣隙磁密波形更加正弦。

圖16 負載工況下PMSM的氣隙磁密隨機械角度變化曲線

5.3 PMSM機械強度分析

當PMSM轉速為1 500 r/min時，在切向離心力和電磁力的作用下，通過仿真得到PMSM的等效應力和總變形，如圖17、圖18所示。

圖17 PMSM的等效應力圖Fig.17 Equivalent stress map of PMSM

圖18 PMSM的總變形圖Fig.18 Total deformation map of PMSM

如圖17所示PMSM的等效應力，顯示了由其切向離心力和電磁力引起的等效應力。由圖17可見，永磁體的最大等效應力發生在靠近轉子側，其最大等效應力為1.34×108Pa，低于永磁體拉伸應力80 MPa。因此，永磁體離心力和電磁力引起的等效應力不會破壞永磁體的機械結構。如圖18所示PMSM的總變形，顯示了永磁體在切向離心力和電磁力作用下導致的結構變形。由18可見，永磁體的最大變形發生在其中心切口邊緣，而發生在永磁體底面結構變形很小。

6 結論

1) 在永磁體用量相同的情況下，十字型結構與T型和Hat型結構相比，對渦流損耗的抑制效果相差不大，但在降低齒槽轉矩、氣隙磁密諧波畸變率方面效果明顯。

2) 對于T型、Hat型及十字型結構，對其主磁極進行中心部分分段增大了氣隙磁密諧波畸變率。與采用主磁極單側部分分段結構相比，主磁極中心部分分段結構的氣隙磁密諧波畸變率更小。

3) 十字型部分分段Halbach PMPA結構，相比于T型和Hat型部分分段結構，其幾何中心與重心重合，機械強度更優。