基于改進廣義極大似然估計的配電網狀態估計方法

徐艷春，王格，孫思涵，MI Lu

(1. 梯級水電站運行與控制湖北省重點實驗室(三峽大學)，湖北 宜昌 443002；2. 德克薩斯農工大學電氣與計算機工程學院，美國 德克薩斯州 卡城 77840)

0 引言

隨著各種分布式電源與電動車充電負荷大規模接入配電網，配電網的結構和運行狀況日益復雜[1]。配電網狀態估計在配電管理系統(distribution management system, DMS)中處于基礎性地位，其結果能夠為DMS中最優潮流、無功優化以及各種高級應用提供可信的數據[2 - 4]。狀態估計(state estimation，SE)是濾波的一種方法，其利用量測系統的冗余信息，提升量測數據的精度，排除不良數據的干擾，可靠估計系統運行狀態[5]。

狀態估計的量測數據源于數據采集與監視控制系統(supervisory control and data acquisition, SCADA)提供的遠程終端單元RTU測量數據，一般包括節點注入功率、支路功率和節點電壓幅值，數據傳輸時延長、精度低。近年來，以相量測量單元(phasor measurement unit, PMU)為基礎的廣域測量系統(wide-area measurement system, WAMS)提供的高精度量測數據，因其傳輸時延小、數據精度高、且能夠直接測量節點電壓、支路電流相量等優點，在狀態估計中的應用受到了極大的關注[6 - 8]。PMU量測相較于SCADA量測具有一定的優勢，但在短期內，現有的SCADA系統不太可能完全被PMU技術所取代，因此，這兩種技術仍將并存。文獻[9]通過引入中間變量和二次等式約束，將PMU和SCADA量測方程變換成直角坐標系下二次方程的形式，實現兩者的混合量測，但實際混合量測系統中電壓幅值量測方程并非二次形式。文獻[10]引入量測變換技術，將電流和電壓幅值量測轉換為相應的功率量測，加速了狀態估計，但量測變換技術在狀態估計初期有較大的誤差。文獻[11 - 12]通過對多源數據融合研究，用不同方法處理PMU數據和延時較大的AMI數據，將處理過的量測數據與SCADA數據共同構成一個完整的混合量測系統，從而實現配電網魯棒狀態估計。文獻[13]針對混合量測數據不同更新周期，先采用平均插值實現RTU量測的數據填補，再對其節點電壓、支路電流測量值進行等效變換，同時將PMU測量數據的極坐標形式變換為直角坐標形式，從而得到混合測量變量。

另一方面，已有研究者提出采用非二次目標函數來增強估計模型本身的抗差性[14 - 15]。文獻[16]提出一種基于變量代換內點法的WLAV抗差狀態估計方法，能夠抑制壞數據的影響，提高狀態估計精度，但該方法模型復雜，計算繁瑣。現有文獻采用的M估計是通過等價權與常規最小二乘估計進行有機結合，計算簡便且易于實現，具有一定的魯棒性[17 - 18]。在文獻[18]中由Mili L等提出了使用SCADA測量的廣義極大似然(generalized maximum-likelihood, GM)估計，首次將映射統計(projection statistics, PS)運用到電力系統狀態估計中，對不良數據具有較強的魯棒性且有很高的計算效率。為了更好地適應狀態估計中生成的雅可比矩陣的維數變化，本文在傳統PS基礎上提出自適應映射統計(adaptive project statistics, APS)，同時對GM估計目標函數中的權函數進行分析和改進，將改進的GM估計方法運用到配電網狀態估計中。

現有文獻對于混合量測數據的處理手段大多是采取集中式SE，即將SCADA與PMU系統的量測數據進行等效變換，以擴大量測冗余，并設計出能夠同時處理混合量測的狀態估計器。然而，這種方法需要對現有的狀態估計軟件進行重大更改，來更好地適應不同量測數據的特點。此外，由于量測系統使用的測量通道不同，儀表的采樣速率不同，采集的數據成分、精度、刷新頻率等不同，在進行量測變換時也會產生相應誤差[19]。基于此，本文提出了一種新的估計融合體系，該體系結構利用多傳感器數據融合(multi-sensor data fusion, MDF)理論[20]，旨在組合由不同類別傳感器生成的數據。在該體系結構中，將SCADA量測系統與PMU相量量測系統視為不同類別的數據傳輸通道，分別執行各自估計模塊，既允許基于SCADA的狀態估計器保持不變，也可利用高精度的PMU量測來獲得較高質量的估計。進一步地利用估計融合體系，分別與改進GM估計、加權最小二乘(weighted least squares, WLS)方法相結合運用到配電網狀態估計中，用以估計系統節點電壓幅值與相角。改進的IEEE 14與IEEE 33節點配電網算例的仿真分析，驗證本文所提方法的可靠性與有效性。

1 基于自適應映射統計的改進GM估計

在給定電網中的量測信息、線路參數和網絡結線的條件下，狀態估計的非線性量測方程為：

z=h(x)+e

(1)

采用加權最小二乘估計準則進行狀態估計的目標函數為：

minJ(x)=[z-h(x)]TW[z-h(x)]

(2)

式中：z為m維量測量向量；x為n維狀態變量向量；h(x)為系統的非線性量測函數；e為m維量測誤差向量；W代表權重，W=R-1，R為量測誤差矩陣。利用高斯-牛頓法迭代求解，得到式(3)。

G(xk)Δxk=HT(xk)W[z-h(xk)]

(3)

式中：H(xk)為第k次迭代時的雅可比矩陣；Δxk為第k次迭代狀態量的修正量；信息矩陣G(x)=HT(x)WH(x)； 相應誤差協方差矩陣表示為P=G-1(x)=(HT(x)WH(x))-1。

1.1 改進廣義極大似然估計

在WLS法基礎上發展而來的極大似然型估計是最基本的魯棒估計方法[21 - 22]。由其估計原理可得廣義極大似然狀態估計模型的目標函數為：

(4)

式中：rsi為標準化殘差；ρ(·)為反映抗差能力的權函數；m為量測總數；wi為權重系數，其表達式為：

(5)

1.1.1 自適應映射統計

在狀態估計模型中，當量測值偏離周圍的群值時則稱該點為異常點，為了降低異常值對估計精度的影響，對異常值辨識和降權具有重要意義。經典的離群點檢測方法主要是馬氏距離檢測法，在此基礎上改進的映射統計法[18]是一種更加穩定的檢測方法。

通過對多維系數空間中異常向量的位置和協方差的多變量進行估計，利用映射統計PS來辨識空間中的不良數據，并得到相應的映射統計值：

(6)

1.1.2 權函數的分析與改進

式(4)中權函數的選擇將會影響估計的性能，常用的權函數有Huber函數、Ramsay函數、丹麥法等。在M估計中常常選用Huber函數，其計算精度受顯著誤差影響不大，具有一定的魯棒性，也不受初值的影響，具有一致收斂的優點，同時也可以保持很高的統計效率，由Huber最早提出[23]，表達式如式(7)所示。

(7)

式中：μ為標準化殘差；a為調和常數。通過定義函數ψ(μ)=?ρ(μ)/?μ， 以及w(μ)=ψ(μ)/μ可以得到權重函數：

(8)

大量試驗證明當調和常數a取1.345時能夠達到魯棒性與估計效率的最優平衡點[24]。對殘差極小的數據予以保留，給予足夠的權重；對殘差相對較大的數據，其權重收斂速度應較快，但也應賦予該數據一定的權重。由此在Huber函數的基礎上，設定b點，采用收斂速度較快的指數函數進行改進。綜上對改進的權函數進行分段處理：

(9)

通過對不同權函數的分析及測試，選取調和常數b、c的值分別為4.685和0.3。因此改進的權函數采取三段式，在殘差較小時屬于正常波動范圍，采取Huber權函數方案，權重賦予1；當殘差極大時收斂速度加快，但不為0，使得每組數據都賦予一定的權重。

1.2 迭代求解

當式(4)中目標函數J(x)取極值時，有：

(10)

在式(10)兩邊乘上R-1， 矩陣化得到：

HT[z-h(x)]R-1Q=0

(11)

(12)

式中：xl、xl+1分別為第l次和第l+1次迭代得到的狀態量；Δxl為第l次迭代狀態量的修正量。當滿足收斂判據max|Δxl|≤0.001時，該算法收斂。綜上,其具體計算步驟如下，流程圖如圖1所示。

圖1 計算步驟流程圖Fig.1 Flow chart of calculation steps

1)輸入系統參數，計算節點導納、電阻和電抗矩陣；

2)根據系統數據進行潮流計算，在潮流計算的結果上疊加相應誤差后作為狀態估計量測量的值；

3)對參數進行初始化，設置最大迭代次數tmax以及當前迭代次數t=0；

4)計算量測量h和雅可比矩陣H， 并計算相應權重wi；

6)檢驗是否達到最大迭代次數，若沒有，則檢驗收斂判據max|Δxl|≤0.001， 看其是否收斂，若收斂，轉至步驟7)，若不收斂，t=t+1， 轉至步驟4)；

7)輸出計算結果，將估計值與潮流計算出的電壓幅值、相角值作對比。

2 融合狀態估計體系

全球定位系統(global positioning system, GPS)技術的進步帶動著同步相量測量系統的快速發展，在系統中裝設PMU后，引入較高精度的測量數據，這些測量數據與SCADA測量相結合，將改善狀態估計的性能。本文采用的估計融合體系是將其看成兩個獨立的估計模塊，保持原有SCADA估計系統不變，對于PMU量測數據的處理如下所述。

2.1 PMU相量量測

兩個獨立模塊分別處理SCADA量測zs和相量量測zp以及相應的測量誤差協方差Rs和Rp。 由于部署在網絡上的PMU數量有限，因此在處理這類測量的估計模塊時必須具有處理先驗狀態信息的能力。本文使用來自SCADA魯棒估計的結果xs來增加PMU量測值，得到以下形式：

Z=Hx+ε

(13)

y=Ax+ξ

(14)

式中：y、A和ξ分別為計算得到的量測向量、量測矩陣以及量測誤差向量，E[ξξT]=I。 按照改進的GM估計器的類似步驟，可以得到：

ATR-1Q(y-Ax)=0

(15)

使用IRLS算法進行迭代求解，第j次迭代修正方程為：

(16)

式中：xj、xj+1分別為第j次和第j+1次迭代得到的狀態量；Δxj為第j次迭代狀態量的修正量。

2.2 狀態融合背景及其結構

(17)

(18)

式中：Ψ1,…,ΨNs為加權矩陣，通過求解以下優化問題來獲得，該優化問題旨在最小化估計誤差方差。

(19)

在實際應用中若只考慮兩類傳感器，即取Ns=2， 可以得到：

(20)

對于只有兩類傳感器的特殊情況，此時的最佳估計結果為：

(21)

2.3 SCADA/PMU估計融合

(22)

式(22)被稱為狀態融合估計，由公式可知每個估計分量的權重矩陣是與彼此的誤差協方差矩陣相關聯的。由于不準確的估計使得協方差矩陣數值較大，所以對于狀態估計而言，質量更好的協方差估計應該得到更好的權重。為了進一步簡化計算，由信息矩陣與誤差協方差矩陣之間的關系可得：

(23)

進一步轉化為：

(24)

式中：Gs和Gp分別為相應的增益矩陣，上述方程可以通過稀疏三角分解以及替換而求解。

在一定的條件下，基于估計融合得到的估計值與集中式狀態估計得到的估計值基本相同。具體而言，集中式狀態估計與融合狀態估計表現出相同性能的條件是：1)各傳感器集的測量誤差是不相關的；2)量測矩陣列滿秩。而對于SCADA與PMU量測數據的狀態估計，假設SCADA與PMU的測量通道是獨立的，則可以允許測量誤差是不相關的；而觀測矩陣對應于量測雅可比矩陣，這要求SCADA與PMU是可觀的。

3 仿真部分

3.1 改進IEEE 14節點仿真分析

改進IEEE 14節點配電系統拓撲結構如圖2所示，在節點3、14接入光伏電池，節點7、9接入風電機組。風電機組和光伏電池的參數見表1和表2。

圖2 改進IEEE 14節點配電網絡Fig.2 Improved IEEE 14 node distribution network

光伏電池組采用文獻[26]模型，風電機組采用文獻[27]模型。在潮流真值的基礎上添加服從高斯分布的誤差得到量測量，其中SCADA量測疊加誤差均值為0，標準差為0.02；基于可觀性采用0-1整數規劃，得出在節點2、9、13處配置PMU裝置，其電壓幅值和相角疊加誤差均值為0，標準差為0.005/0.002。采用改進GM估計法分別對SCADA量測與含PMU量測的狀態估計結果進行仿真分析。同時為了驗證本文估計融合體系的有效性，將基于WLS的集中式狀態估計與融合狀態估計結果相比較，進而分析相關估計指標。最后，在估計融合體系上進行WLS方法與改進GM估計方法的仿真測試，進一步驗證改進GM估計與估計融合體系相結合方法的有效性與可靠性。

表1 風電機組參數設置Tab.1 Wind turbine parameters settings

表2 光伏電池參數設置Tab.2 PV cell parameters settings

對表1和表2的參數設置進行說明：Pr為風電機組的額定功率；vin、vr、vout分別為切入、額定、切出風速；K和C表示風速的分布特征與平均風速，設定風機恒功率因數運行。A為光伏陣列面積；η為光伏電池光電轉化效率；r為光照強度；α、β為Beta分布的形狀參數。設定光伏電池組恒功率因數運行，并對配電網只提供有功功率。

3.1.1 仿真分析

基于改進GM估計法分別對SCADA量測與含PMU量測的狀態估計進行仿真分析，以潮流結果為真值，節點電壓幅值與相角絕對誤差為對比指標，得到圖3和圖4。

由圖3可知，基于SCADA量測與含PMU量測得到的電壓幅值誤差曲線都較平穩，但SCADA量測數據得到的結果誤差較大些，而PMU量測數據得到的電壓幅值絕對誤差的最大值為0.010 8%，平均值為0.004 0%。由圖4可知，SCADA量測估計得到的電壓相角絕對誤差波動范圍比較大，PMU量測結果中電壓相角絕對誤差的最大值達到0.112 1，平均值為0.051 0。

圖3 節點電壓幅值狀態估計值誤差分布Fig.3 State estimation value error distribution of node voltage amplitude

圖4 節點電壓相角狀態估計值誤差分布Fig.4 State estimation value error distribution of node voltage phase angle

本文所提估計融合體系，主要是將量測系統看成不同的傳感器，對其采集的數據進行估計結果的融合。為了驗證本文所提估計融合體系與集中式狀態估計具有相同效果，基于廣泛應用的WLS方法，對兩種方式的狀態估計進行仿真測試，得到圖5和圖6。

圖5 節點電壓幅值狀態估計值誤差分布Fig.5 State estimation value error distribution of node voltage amplitude

圖6 節點電壓相角狀態估計值誤差分布Fig.6 State estimation value errors distribution of node voltage phase angle

由圖5和圖6可以看出，采用集中式狀態估計的結果與本文估計融合體系進行狀態估計結果基本相同，具體指標分析如表3所示(表中數據均為標幺值，后同)。其中，ev.max為最大電壓估計誤差，eangle.max為最大相角估計誤差，ev.min為最小電壓估計誤差，eangle.min為最小相角估計誤差，ev.mean為平均電壓估計誤差，eangle.mean為平均相角估計誤差，同時對計算時間進行測試。由表3中的電壓幅值和相角數據指標以及兩種估計方式所需時間的對比，可以驗證采用本文估計融合體系進行狀態估計的有效性。

表3 仿真結果誤差評價Tab.3 Error evaluation of simulation results

進一步地，本文將改進的GM估計算法與估計融合體系相結合，對SCADA與PMU量測系統分別進行狀態估計計算，將所得估計值進行融合。以潮流結果為真值，與WLS方法進行對比，得到節點電壓幅值與相角分布，結果如圖7和圖8所示。

圖7結果表明本文方法在節點電壓幅值上較WLS法更精確些。而由圖7和圖8可知，采用本文方法進行狀態估計，能較精確地得到節點電壓幅值與相角結果。在拓撲結構較為簡單的網絡，基于估計融合體系，兩種方法都能滿足快速響應特性要求，進一步驗證了本文方法的可靠性。

圖7 電壓幅值狀態估計值分布Fig.7 State estimation values distribution of voltage amplitude

圖8 電壓相角狀態估計值分布Fig.8 State estimation values distribution of voltage phase angle

考慮到不同PMU配置情景對所提估計融合體系結合改進GM估計算法的影響。采用0-1整數規劃算法，在滿足可觀性條件下多次運行選取3種配置方案進行分析，評價結果如表4所示。

表4 PMU配置對狀態估計算法性能評價Tab.4 Performance evaluation of PMU configuration on state estimation algorithm

由表4可知，不同PMU配置方案下電壓幅值與相角絕對誤差的平均誤差與最大誤差都較為接近，結果表明在拓撲結構較為簡單的網絡，PMU配置情景不同對本文所提方法影響較小。

3.2 改進IEEE 33節點仿真分析

為了進一步驗證本文所提改進GM估計與估計融合體系相結合方法在拓撲結構較為復雜的網絡中的性能表現，采用圖9所示的改進IEEE 33節點配電網絡進行仿真分析，其中節點5采用W1參數設置，23和32采用W2參數設置；節點3、14采用PV1參數設置，節點10、18采用PV2參數設置。在節點3、6、14、19、29、32配置PMU。仿真情境、量測量及相應誤差設置沿用前文設置。

圖9 改進IEEE 33節點配電網絡Fig.9 Improved IEEE 33-node distribution network

3.2.1 仿真分析

采用改進GM估計法分別對SCADA量測與含PMU量測進行仿真測試，在潮流真值的基礎上對狀態估計結果進行誤差分析，得到表5。從表5中的數據可以看出，含PMU量測的估計結果在平均誤差與最大誤差方面都優于SCADA量測估計結果，證明了高精度的PMU量測數據能帶來更好的狀態估計結果。

表5 仿真結果誤差評價Tab.5 Errors evaluation of simulation results

利用本文所用的估計融合體系與集中式狀態估計在改進IEEE 33節點配電網上進行仿真測試，以驗證估計融合體系的有效性。在潮流真值的基礎上，運用WLS方法估計得到節點電壓幅值與相角絕對誤差分布。表6為兩種方法估計結果精度以及計算時間的對比。由表6中數據可以看出，在拓撲結構較為復雜的網絡中，采用估計融合體系進行狀態估計同樣能夠得到與集中式狀態估計相同的效果，并沒有降低估計器的性能，滿足有效性與可靠性的要求。

同樣地，利用估計融合體系，分別與改進GM估計法、WLS方法相結合，在改進IEEE 33節點上進行仿真測試，得到網絡節點電壓幅值與相角，如圖10和圖11所示。

表6 仿真結果誤差評價Tab.6 Errors evaluation of simulation results

圖10 電壓幅值狀態估計值分布Fig.10 State estimation value distribution of voltage amplitude

圖11 電壓相角狀態估計值分布Fig.11 State estimation value distribution of voltage phase angle

由圖10和圖11可以看出，在拓撲結構較為復雜的IEEE 33節點網絡上進行兩種方法的仿真對比，WLS方法較潮流真值在估計結果上有一定的波動范圍，而本文方法有較好的估計效果。表7列出了兩種方法在不同節點系統下的計算時間。可見隨著網絡結構復雜性的提高，在計算時間上略有增加，但所得估計結果仍具有魯棒性，進一步驗證了本文改進GM估計與估計融合體系相結合方法的有效可行性。在改進IEEE 33節點網絡上考慮不同PMU配置情景對估計結果的影響，選取3種配置方案進行分析，評價結果如表8所示。

表7 兩種算法時間比較Tab.7 Comparison of two algorithms’ times

表8 PMU配置對狀態估計算法性能評價Tab.8 Performance evaluation of PMU configuration on state estimation algorithm

由表8可知，隨著網絡結構復雜性的提高，不同PMU配置方案下狀態估計結果誤差相差不大，進一步也證明了本文所提估計融合體系與改進GM估計方法的有效性與可靠性。

4 結論

本文將改進GM估計與估計融合體系相結合，通過不同估計模塊處理SCADA量測和PMU量測，避免了現有能量管理系統軟件的重大更改，也能充分利用高精度PMU量測。通過對改進IEEE 14與IEEE 33節點配電網絡的仿真分析得出如下結論。

1) 高精度PMU量測對狀態估計具有一定的影響，將其與SCADA量測共同用于配電網狀態估計中可有效改善估計結果的精度。

2) 本文所采用的估計融合體系與集中式狀態估計具有相同的估計性能，進一步證明了所提策略是有效可行的。

3) 基于估計融合體系，分別與改進GM估計、WLS方法相結合在不同的配電網上進行仿真測試，并對不同PMU配置情景進行分析，結果表明本文所提策略的有效性與可靠性。

本文通過案例證明了改進GM估計與估計融合體系相結合方法進行配電網狀態估計的有效性和合理性，而在實際配電網中三相不平衡的場景較為普遍，后續將開展相關研究，并對本文進行補充完善。