采樣方式對改進縮減基法在框架靜力計算中的影響研究

李永紅，梁 振

（中南林業科技大學土木工程學院，湖南 長沙 410004）

優化設計的時候，每次迭代設計參數發生變化，需要對模型重新分析。大規模問題，單次采用有限元法計算需花費較長的時間，影響優化設計的效率。近年來，縮減基法（reduced basis method，記作RBM）作為實時算法被用于各個領域。Milani R等[1]用縮減基法求解多參數線彈性問題。劉玉秋等[2]將縮減基法引入船舶制造結構。李永紅等[3]將縮減基法用于蜂窩梁結構。馬營利等[4]將縮減基法用于礦用車架。熊景林[5]將縮減基法用于沖壓模具結構。縮減基法需要預先知道設計參數與線彈性算子的關系，李永紅等[6]結合ANSYS，對縮減基法改進，得出單元線彈性算子與設計參數相關的表達式。

不同采樣方式選取樣本參數，構造減基矩陣，對改進縮減基法的結果有影響。本文按照三種分布方式選取樣本參數，以平面框架結構為例比較不同樣本參數計算結果的精度。

1 縮減基法理論及改進

1.1 縮減基法基本理論

結構進行求解時，設計參數發生變化，用有限元法計算得到的各點位移組成高維解空間。結構的靜力平衡方程為：

式中 μ——設計參數；

K（μ）——結構剛度矩陣；

u（μ）——結構的結點位移向量；

F——結構荷載向量；

X——真實的高維解空間；結構總自由度為n。

選取N組樣本參數，用有限元法求出對應結構的位移u（μ）。這N組位移構成減基矩陣Z，寫成如下形式：Z=[u（μ1），u（μ2），…，u（μN）]。u（μi）（i=1，2，…，N）是線性無關的。當取新的設計參數μnew時，對應結構的位移可以看作是減基矩陣Z中各項的線性組合，即：

式中 a（μnew）——系數向量。

由能量最小原理并結合式（2），可得到：

其中KN（μnew）=ZTK（μnew）Z，FN=ZTF。

線彈性結構的剛度矩陣K（μ）可按照是否與設計參數相關分為兩個部分，表示為下列形式：

式中 σq（μ）——與設計參數相關的函數關系；

Kq——與設計參數無關的矩陣；

Q——剛度矩陣中設計參數能夠分離的項數。

基于這種分解，縮減基法可以進行快速有效的實時計算。把式（4）代入式（3），令KqN=ZTKqZ（q=1，2，…，Q），可寫成：

縮減基法將整個計算過程分為離線階段和在線階段。在離線階段，將設計參數從剛度矩陣分離出來，選取樣本參數，用有限元法計算得到的位移組成減基矩陣Z，預先算好KqN。在線階段，取新設計參數時，算出σq（μnew），由式（5）求得a（μnew）。代入式（2），可得到縮減基法的位移解。式（5）的方程是N×N的，遠小于式（1）的維度n×n。

1.2 改進縮減基法

各項都算出可組成KqN。取新設計參數時，結合縮減基法求解出位移解uGRBM（μnew）。

KqN計算過程如下：

1）分析所求結構的單元類型，用ANSYS建立該單元類型的簡單模型。不斷改變設計參數，找出線彈性算子與設計參數的聯系。

2）選取多組設計參數，在ANSYS中提取對應結構的整體剛度矩陣。

3）用式（6）計算出與設計參數無關部分，集合得到KqN。

1.3 采樣方式

結構選取何種采樣方式構建樣本空間，對改進縮減基法的計算結果有一定影響。分別用對數函數、均勻函數、切比雪夫函數采樣構成樣本空間來研究。對數函數采樣：

均勻分布函數采樣：

切比雪夫函數采樣

式中 μi——結構的樣本參數；

μmax——結構設計參數允許變化的最大值；

λ——設計參數下限μmin在函數中使用具有意義的比例系數。

2 數值算例

以多層框架結構為例，取其中的一榀平面框架結構進行分析。如圖1所示，該模型有540個單元，521個節點，共有1 563個自由度。結構所受荷載如圖2所示。

圖1 平面框架結構的有限元模型

圖2 結構荷載情況

本框架結構選取彈性模量E，梁單元的截面面積A兩個設計參數。對這兩個參數分別采取對數函數、均勻分布、切比雪夫函數采樣，得到這三種分布方式對應的樣本參數，構建成樣本空間WN，用ANSYS軟件計算對應結構位移，組成減基矩陣。選取新設計參數時，分別用有限元法和改進縮減基法計算輸出，以有限元結果為精確解，如下式計算改進縮減基法的相對誤差：

式中 S=FuFEM；S'=FuGRBM。

選取新設計參數時，采用改進縮減基法對結構進行計算。圖3、圖4對三種采樣方式計算結果的誤差進行比較，隨著E、A樣本數的增多，誤差越來越小。

圖3 E不同采樣方式結果的相對誤差

圖4 A不同采樣方式結果的相對誤差

3 結論

本文采用三種函數采樣方式構成樣本空間，比較改進縮減基法結果的相對誤差。分析同類型單元組成的簡單結構，結合ANSYS提取剛度矩陣，得到分離關系。對縮減基法進行改進，計算出與設計參數無關的矩陣。以平面框架結構為例采用對數函數、均勻分布、切比雪夫函數方式選取樣本參數，樣本數較少時，均勻分布采樣結果精度較高；隨著樣本數增多，對數分布與均勻分布采樣結果精度趨于接近。