基于分位數(shù)回歸的交通流速度-密度關(guān)系隨機(jī)基本圖模型

潘義勇，管星宇

(南京林業(yè)大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，江蘇 南京 210037)

0 引 言

速度-密度關(guān)系基本圖模型是交通流理論的基礎(chǔ)，挖掘兩者之間的關(guān)系有利于在交通狀態(tài)識(shí)別、交通擁堵分析等領(lǐng)域發(fā)揮重要的作用[1-2]。現(xiàn)有的研究主要集中在速度-密度關(guān)系確定基本圖模型，由于交通流具有固有的隨機(jī)特性和異質(zhì)特性，確定性的速度-密度關(guān)系限制了其表征實(shí)際交通流的能力，導(dǎo)致在交通控制策略建模中產(chǎn)生誤差[3]。因此需對(duì)交通流速度-密度關(guān)系隨機(jī)基本圖模型問(wèn)題進(jìn)行研究。

針對(duì)速度-密度關(guān)系確定基本圖模型研究很多，自從Greenshields模型首次提出以來(lái)，其缺點(diǎn)是密度值較大或較小時(shí)，模型擬合效果較差，在此基礎(chǔ)上改進(jìn)的模型有：Greenberg模型，Underwood模型，Northwestern模型，Newell模型，這些模型都是單階段確定性模型[4]，多階段模型這里不再闡述。在對(duì)速度-密度確定關(guān)系模型參數(shù)進(jìn)行擬合過(guò)程中，主要存在兩個(gè)問(wèn)題：數(shù)據(jù)點(diǎn)低密度狀態(tài)下的分布較為密集，導(dǎo)致均值回歸受異常點(diǎn)影響較大；實(shí)測(cè)的速度、密度值具有隨機(jī)性，在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行均值回歸時(shí)，難以滿足方差齊性和正態(tài)性的假設(shè)要求[5]。

針對(duì)速度-密度關(guān)系隨機(jī)基本圖模型的研究非常少，S.E.JABARI等[6]、S.FAN[7]分別針對(duì)特定的交通流模型推導(dǎo)了速度概率分布函數(shù)和密度的關(guān)系模型，但是該方法不能推廣到其他交通流模型；X.QU 等[8]提出基于不同百分位的交通流速度-密度關(guān)系基本圖模型，根據(jù)不同的百分位點(diǎn)采用加權(quán)最小二乘法對(duì)不同的百分位點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)擬合獲得關(guān)系模型，但是該方法從根本上還是采用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)擬合，異常值對(duì)擬合效果影響較大。

針對(duì)以上問(wèn)題，引入分位數(shù)回歸獲得速度-密度關(guān)系隨機(jī)基本圖模型[9]，分位數(shù)回歸在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中已經(jīng)獲得了廣泛的應(yīng)用，分位數(shù)回歸采用最小一乘法進(jìn)行參數(shù)擬合，對(duì)異常值具有更好的魯棒性，更能反映數(shù)據(jù)整體的分布狀況,更全面的反映數(shù)據(jù)信息,適用性更廣，有利于對(duì)交通流數(shù)據(jù)的深度挖掘，這是筆者研究的出發(fā)點(diǎn)。首先，基于分位數(shù)回歸建立交通流速度-密度關(guān)系隨機(jī)基本圖模型；其次，利用分位數(shù)回歸對(duì)實(shí)際交通流數(shù)據(jù)進(jìn)行速度-密度曲線參數(shù)擬合，獲得不同分位數(shù)水平的速度-密度曲線簇；第三，對(duì)參數(shù)值進(jìn)行了假設(shè)檢驗(yàn)和置信區(qū)間的計(jì)算，并對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行數(shù)值分析；最后，總結(jié)了筆者的研究成果以及進(jìn)一步研究的方向。

1 隨機(jī)交通流基本圖模型

1.1 分位數(shù)回歸

分位數(shù)回歸在高級(jí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中已經(jīng)獲得了廣泛的應(yīng)用，根據(jù)不同的分位點(diǎn)得到對(duì)應(yīng)的回歸方程，可以直觀的描述自變量對(duì)因變量分布的變化[10]。式(1)表示在第τ分位點(diǎn)下得到的回歸方程，即分位數(shù)回歸模型的基本定義為：

(1)

(2)

1.2 速度-密度關(guān)系隨機(jī)模型

基于分位數(shù)回歸構(gòu)建交通流速度-密度關(guān)系隨機(jī)基本圖模型，充分挖掘數(shù)據(jù)中隱含的信息。以Greenshields模型為例，基于分位數(shù)回歸模型改進(jìn)的Greenshields模型可以表示為：

(3)

表1 基于分位數(shù)回歸的速度-密度關(guān)系隨機(jī)基本圖模型

2 數(shù)據(jù)來(lái)源

文中的數(shù)據(jù)來(lái)源于美國(guó)德克薩斯州圣安東尼奧市的高級(jí)交通管理系統(tǒng)TransGuide，從中選取了2條公路進(jìn)行分析：東行單向三車道的I-10公路(中間車道，傳感器編號(hào)：L2-0010E-562.581)以及西行單向二車道的Loop-1604公路(第2條左車道，傳感器編號(hào)：L2-1604W-034.326)，數(shù)據(jù)點(diǎn)在24 h內(nèi)每隔20 s統(tǒng)計(jì)一次。在非線性模型的擬合中，為了避免數(shù)據(jù)在對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化中出現(xiàn)無(wú)窮大值，保證數(shù)據(jù)分析的可靠性，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理，刪去數(shù)據(jù)集中密度值為0的點(diǎn)(I-10公路第22和第628個(gè)觀測(cè)值)，共獲取I-10公路3 526對(duì)樣本值、Loop-1604公路3 258對(duì)樣本值。整理后的數(shù)據(jù)情況如表2，表2中分位差偏態(tài)測(cè)量(QSK)用于分析數(shù)據(jù)的偏態(tài)特征，QSK>0表示右偏，QSK<0表示左偏，QSK=0表示正態(tài)分布。其公式為：

(4)

式中：QSK(τ)為第τ分位點(diǎn)的分位差偏態(tài)測(cè)量值；Q(τ)、Q(1-τ)分別為數(shù)據(jù)第τ和(1-τ)分位點(diǎn)處的分位值。

表2中數(shù)據(jù)顯示，I-10公路在[0.3,0.7]分位點(diǎn)區(qū)間的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)近似正態(tài)分布的特點(diǎn)(QSK=0)，整個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布則呈現(xiàn)左偏分布(QSK<0)，說(shuō)明收集到的低速數(shù)據(jù)較少。與I-10公路相比，Loop-1604公路的數(shù)據(jù)分布呈現(xiàn)出更為復(fù)雜的關(guān)系，但是2條公路從整體總體上都為左偏分布，圖1為2條公路速度觀測(cè)值的概率密度曲線，可以直觀地看出2個(gè)數(shù)據(jù)集的左偏特性。圖2、圖3表示基于馬氏距離的二維變量異常值檢測(cè)分布圖，考慮變量之間的相關(guān)性和數(shù)據(jù)之間的馬氏距離，根據(jù)圖形展示的信息，I-10公路的異常值為402個(gè)(占觀測(cè)值12.3%)，主要集中于密度為[40,100]的區(qū)域；Loop-1604公路的異常值為125個(gè)(占觀測(cè)值3.8%)，主要集中于密度為[60,120]的區(qū)域。結(jié)果顯示：2條公路在高密度區(qū)間產(chǎn)生了較多的異常值，在真實(shí)的交通狀況下，需要考慮這些異常值對(duì)速度變量的影響。結(jié)合分位數(shù)回歸模型以及均值回歸模型對(duì)異常值的魯棒性，采用分位數(shù)回歸模型更能反映速度與密度之間的關(guān)系。

表2 數(shù)據(jù)基本信息

圖1 概率密度分布

圖2 異常值分布(I-10)

圖3 異常值分布(Loop-1604)

3 數(shù)值試驗(yàn)

結(jié)合R語(yǔ)言中quanterg包中的rq函數(shù)進(jìn)行線性擬合以及nlrq函數(shù)進(jìn)行非線性的擬合[11]，對(duì)數(shù)據(jù)的0.05、0.1、…、0.95共計(jì)19個(gè)分位點(diǎn)進(jìn)行回歸分析，并對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行T檢驗(yàn)得到P值，P值表示回歸系數(shù)無(wú)效的概率值，用于驗(yàn)證回歸系數(shù)是否顯著(P<0.05，系數(shù)顯著)。

3.1 線性模型

表3 Greenshields模型的擬合參數(shù)值(I-10公路)

圖4 Greenshields模型擬合(I-10)

圖5 Greenshields系數(shù)比較(I-10)

3.2 非線性模型

圖6 Northwestern模型擬合(I-10)

圖7 Northwestern系數(shù)比較(I-10)

圖8 Northwestern模型擬合(Loop-1604)

圖9 Northwestern系數(shù)比較(Loop-1604)

圖10 Newell模型擬合(I-10)

表5 Newell模型的擬合參數(shù)值(I-10公路)

3.3 結(jié)果分析

擬合結(jié)果如圖11～圖14，對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行分析，得出：

圖11 Greenshields模型對(duì)比(0.5分位點(diǎn))

圖12 Greenshields模型誤差值(I-10)

圖13 Northwestern模型誤差值(I-10)

圖14 Newell模型誤差值(I-10)

表4 Northwestern模型的擬合參數(shù)值

4 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)交通流速度-密度關(guān)系基本圖問(wèn)題，首次引入分位數(shù)回歸獲得交通流速度-密度關(guān)系隨機(jī)基本圖模型，利用分位數(shù)回歸對(duì)速度-密度曲線進(jìn)行參數(shù)擬合，獲得不同分位數(shù)水平的速度-密度曲線簇，對(duì)參數(shù)值進(jìn)行了假設(shè)檢驗(yàn)和置信區(qū)間的計(jì)算，并對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行數(shù)值分析。數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果表明：相比于已有模型，筆者提出的模型可以反映不同分位數(shù)水平下交通流速度和密度的關(guān)系，更能反映數(shù)據(jù)整體的分布狀況,更全面的反映數(shù)據(jù)信息，其中Northwestern分位數(shù)回歸模型的誤差值最小，擬合效果在上述模型中效果最好；提出的方法能夠反映不同數(shù)據(jù)集的特點(diǎn)，適用性更廣，有利于對(duì)交通流數(shù)據(jù)的深度挖掘；該模型可以應(yīng)用于對(duì)交通流的建模和仿真中，不同密度值在不同的分位點(diǎn)對(duì)應(yīng)不同的速度和加速度值，有利于提高仿真的維度和靈活性；所提出的方法為交通流基本圖隨機(jī)模型構(gòu)建提供了一個(gè)方法論，可以推廣到其他未來(lái)交通流模型。本研究只考慮了單一交通流狀態(tài)下模型參數(shù)的擬合，而不同交通流狀態(tài)對(duì)參數(shù)擬合結(jié)果存在很大影響，需要進(jìn)一步進(jìn)行研究。