化繁為簡 注重學生運算能力的培養
——以解析幾何的運算為例

?江蘇省興化市楚水實驗學校高中部 周小生

1 引言

運算能力是指學習者根據運算律與運算法則正確地進行運算的能力.隨著新課改的推行，運算能力越來越受教育界的廣泛關注.而現實生活中，因科技水平的提高與時代發展的加速，上到宇宙飛船等高科技，下到買菜做飯等日常生活，許多精準運算都被智能化機器所取代，從而導致部分學生出現運算意識薄弱的情況.鑒于此，筆者對學生當前運算狀況作一些粗淺地分析，并以解析幾何的運算為例，具體談談強化學生運算能力的得力措施，與君共勉.

2 運算能力的現狀分析

2.1 教學形式陳舊，缺乏運算興趣

現實中，仍有些教師守著陳舊的教學觀念，認為運算能力的形成來自于大量的運算練習.一味地進行題海戰術，希望學生能在不斷的重復中熟能生巧，獲得較好的運算能力.孰不知，運算能力的形成是有一定技巧的，教師應通過各種方式激發學生的探索欲，讓學生能在數學思想方法的引領下，透過現象看到運算的本質，從心理上對運算產生興趣，從而提高運算效率與能力.

2.2 運算方法機械，缺乏運算技巧

一些學生在學習上處于急功近利的狀態，運算方法過于機械，主要表現在以下幾方面：(1)從不考慮運算的算理、算法，認為只要運算結果正確就行；(2)看到題目，提筆就寫，從不優選運算方法；(3)遇到錯題也是就錯論錯，缺乏糾錯過程，從不歸納錯題出現的根源，同樣的錯誤總是重復發生.這些狀況導致學生難以體驗成功的快感，長此以往形成惡性循環，導致運算信心的缺失.

2.3 教材教法脫節，缺乏運算訓練

隨著“減負”旗幟的豎起，教材也出現了較大的更新.小學、初中階段的教材弱化了一些繁雜的運算，學生在心理上也對一些復雜的運算產生了避而不見的想法.但是，到高中階段，隨著教學難度的加大，對學生的運算能力提出了更高的要求，學生面臨復雜、深奧的運算出現了畏難、糾結與反感的心理.因此，運算能力的培養應從小學、初中抓起，以形成良好習慣，提高學生的運算能力.

3 培養運算能力的措施

新課標提出：“數學教學應注重學生符號意識、數感、運算能力、模型思想與推理能力的培養.”解析幾何在高中數學中占有舉足輕重的地位，它具有知識面廣、綜合性強與解題方法靈活等特點.其中，對學生的運算能力也提出了更高的要求.不少學生因缺乏優化運算的能力，使得運算變得冗長繁雜，錯誤百出.因此，化繁為簡，優化解題勢在必行.

3.1 追根溯源，回歸概念

概念或定義反映的是數學事物的本質屬性.試題中，很多性質都由概念衍生而來.想要透過現象看到問題的本質，可從問題所涉及的概念或定義著手，將問題回歸到原始的概念或定義中，問題也就迎刃而解了.

(1)求橢圓C的方程；

(2)求點T的軌跡方程.

(2)設T的坐標是(x，y).當點P，T重合時，點T的坐標為(2，0)或(-2，0).

因此，點T的軌跡方程為x2+y2=4.

本題的條件中提到|F2Q|=2a，將橢圓的定義與此條件聯系在一起考慮，沒有任何懸念.但不少學生在解決第(2)問時，試圖探尋點P與點T的坐標之間的關系，這個思路使得解題變得困難重重.因此，將問題回歸到定義去考慮，使得解題變得簡潔，正確率也自然提升.

3.2 只設不求，簡化過程

只設不求是指為了便于解題，在解題過程中設置一些輔助參數或輔助元作為解題的跳板，學生并不需要求出這個輔助參數或輔助元，只是將它作為橋梁，之后再巧妙地消除.這種方法能簡化繁雜的運算過程，同樣達到解題的目的.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)假設點F是橢圓C的左焦點，點T是直線x=-3上的任意點，過點F作線段FT的垂線，并與橢圓分別相交于點P，Q.求證：OT平分線段QP(O為原點).

(2)根據第(1)問的結論可知F(-2，0)，設點T為(-3，m)，那么kTF=-m.

①

②

當m=0時，顯然可得OT平分線段QP.

綜上可知，OT平分線段QP.

第(2)問使用了點差法，巧妙地運用“只設不求”整體代換的思想，不僅減少了運算量，還有效激發了學生的數學思維，為數學運算能力的提升與核心素養的形成奠定了基礎.

4 運用方程，化繁為簡

人類在自然科學的研究中，為了方便表達或推導事物之間的數量關系，啟用了方程法.隨著時代的進步，方程運用的范圍越來越廣.解析幾何中，有時為了避免分類討論的煩瑣，也可選擇恰當的曲線方程或坐標等形式，以簡化解題過程，提高解題效率.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過焦點F的直線l與拋物線C分別相交于A，B兩點，如果AB的垂直平分線l′與拋物線C分別相交于點M，N，且A，B，M，N在同一個圓上，求直線l的方程.

分析：(1)拋物線的方程是y2=4x.(過程略)

(2)如果設l的直線方程為y=k(x-1)，將它與拋物線C的方程y2=4x聯立求解，運算量非常大，同時還需討論直線斜率不存在的情況，整個解題與運算過程不僅重復，還很煩瑣.

如果將直線方程設成x=my+1，這個方程已經涵蓋了與x軸垂直的直線，因而就少了分類討論的環節，解題變得輕松而又準確.

由此可見，方程思想在解析幾何的解題與運算中具有舉足輕重的作用.因此，教學中應鼓勵學生勇于探索與想象，巧妙運用方程思想突破解題困境，化繁為簡，提高解題的效率.

5 結語

解析幾何中對學生運算能力的考查具有較強的靈活性.因此，我們應鼓勵學生從多個角度與層次去關注運算.只有運用科學、合理、靈活的運算方式，才能從真正意義上達到新課標所倡導的“減負增效”的效果.

根據具體試題，巧妙地采取相應的運算措施，不僅能提高學生的運算能力，還能促使學生形成良好的求簡意識.學生在不斷地訓練與總結中獲得運算技巧，達到以繁馭簡的解題效果，從而有效地促進數學核心素養的提升.