從高考命題看統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)中的能力培養(yǎng)

?安徽省阜陽市紅旗中學(xué) 趙新玉 田 甜

1 引言

概率與統(tǒng)計(jì)，是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，由于其與現(xiàn)實(shí)生活有著密切的聯(lián)系，因而，也是高考的必考內(nèi)容.從近幾年高考數(shù)學(xué)的命題看，對概率與統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容的考查變化中有創(chuàng)新，試題難度從中檔題向壓軸題轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步體現(xiàn)了學(xué)以致用的教育理念.從高考命題角度看，統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)中應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的哪幾種能力呢？

2 讀圖與識圖能力

大數(shù)據(jù)時代，統(tǒng)計(jì)圖表隨處可見.統(tǒng)計(jì)學(xué)用數(shù)據(jù)和圖表說話，會看圖能讀懂圖表中的有關(guān)信息，并用其解決問題是學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的最終目的.在高考解答題中，題面中往往會出現(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖表，如頻率分布直方圖、莖葉圖等，要求考生從這些圖表中獲取解題信息.因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)重視統(tǒng)計(jì)圖表的分析，教會學(xué)生如何合理地利用數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并作出科學(xué)的決策.

例1為調(diào)查小白鼠體內(nèi)甲、乙兩種離子的殘留情況，進(jìn)行如下試驗(yàn)：把200只小鼠隨機(jī)分成A組和B組，每組都是100只，甲離子溶液給A組小鼠服用，乙離子溶液給B組小鼠服用.每只小鼠所服溶液的體積和摩爾濃度全部相同.經(jīng)過一段時間后，再用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.由試驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別得到如圖1的直方圖：

甲離子殘留百分比直方圖 乙離子殘留百分比直方圖

把事件“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”記為C，由上面的直方圖可得到P(C)的估計(jì)值是0.70.

(1)試求出乙離子殘留百分比直方圖中a與b的值；

(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).

本題難度不大，容易求得答案：(1)a=0.35，b=0.10；(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值是4.05，乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為6.00.作為高考題，本題屬于中檔題，而有些考生卻對圖表中的數(shù)據(jù)無從下手，主要表現(xiàn)在對數(shù)據(jù)和圖表直觀感覺差，不會運(yùn)用學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識來處理問題；沒有形成“用數(shù)據(jù)說話”的統(tǒng)計(jì)觀念；對統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征理解不到位.因此，在統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)中，教師一定要加強(qiáng)學(xué)生讀圖與識圖能力的培養(yǎng).

3 數(shù)據(jù)的處理與運(yùn)算能力

統(tǒng)計(jì)與概率，就是讓數(shù)據(jù)說話，根據(jù)數(shù)據(jù)作出決策.而數(shù)據(jù)何來？通過實(shí)驗(yàn)得到，通過運(yùn)算獲得.數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.統(tǒng)計(jì)與概率運(yùn)算求解能力，主要是指能根據(jù)實(shí)際問題，設(shè)計(jì)一條合理簡捷而又切實(shí)可行的運(yùn)算路徑，能按照實(shí)際問題提出的要求處理統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并依據(jù)有關(guān)公式進(jìn)行運(yùn)算.而學(xué)生的薄弱點(diǎn)就是對統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)不知所措，不知道如何找到既合理又簡捷的運(yùn)算方法，不能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算.這一點(diǎn)在教學(xué)中應(yīng)該加強(qiáng).

例2設(shè)0

X0a1P131313

則當(dāng)a在(0，1)內(nèi)增大時( ).

A.D(X)變大B.D(X)變小

C.D(X)先變大后變小D.D(X)先變小后變大

本題只需研究方差隨a變化的增大或減小規(guī)律，將方差表示為a的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)就可獲解.

故選：D.

故選：D.

對于本題，考生容易出現(xiàn)兩個錯誤：一是因?yàn)閷?shù)學(xué)期望、方差以及二者之間的關(guān)系不熟悉而無從著手；二是計(jì)算能力差，不能正確得到二次函數(shù)表達(dá)式.無論是哪個錯誤都說明運(yùn)算能力不到位.因此，在統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)中，大量數(shù)據(jù)和煩瑣的計(jì)算正是培養(yǎng)與提高學(xué)生運(yùn)算能力的好時機(jī).加強(qiáng)學(xué)生統(tǒng)計(jì)與概率的運(yùn)算能力，是高考的要求，是素養(yǎng)教育的要求，更是學(xué)生終身發(fā)展的要求，因此，作為教師不可掉以輕心.教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過對公式的理解和數(shù)據(jù)的煩瑣運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的細(xì)心、耐心，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)處理與運(yùn)算能力.

4 概率模型的識別與應(yīng)用能力

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的在于應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，為人類的生活服務(wù).因此，在統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)中，教師要特別加強(qiáng)概率模型的識別與應(yīng)用能力的培養(yǎng).在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中，一定要提醒學(xué)生弄清題意，善于尋找題目中的關(guān)鍵詞語，正確判斷題目是哪種概率模型，尤其要提醒學(xué)生注意超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系，這兩個概率模型學(xué)生經(jīng)常混淆.其實(shí)它們的區(qū)別很明顯，二項(xiàng)分布是可放回的，各次試驗(yàn)的結(jié)果都是獨(dú)立的，事件發(fā)生的概率都一樣；超幾何分布是不放回的抽樣，每做一次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的概率是不相同的.合理建模，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求.

(1)“甲同學(xué)連續(xù)三天上學(xué)，其中在7：30之前進(jìn)班的天數(shù)”用隨機(jī)變量X表示，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)設(shè)M是事件“上學(xué)三天中，規(guī)定學(xué)生必須在在7：30之前進(jìn)班，甲同學(xué)守紀(jì)的天數(shù)比乙同學(xué)守紀(jì)的天數(shù)恰好多2天”，求M發(fā)生的概率P(M).

故隨機(jī)變量X的分布列為：

X0123P1272949827

P(M)=P({X=3，Y=1}∪{X=2，Y=0})

=P(X=3，Y=1)+P(X=2，Y=0)

=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)

對于本題，雖然難度不大，但考生必須弄明白，此題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，以及有關(guān)概率的計(jì)算公式，如互斥事件、獨(dú)立事件的概率計(jì)算.然后選擇合理的概率模型，運(yùn)用二項(xiàng)分布的有關(guān)公式和相關(guān)的概率知識加以解決.

5 結(jié)語

當(dāng)然，統(tǒng)計(jì)與概率作為高中數(shù)學(xué)最貼近生活的內(nèi)容，要培養(yǎng)的學(xué)生的能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止以上提及的三個，本文中只是從高考命題角度加以分析.其實(shí)從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個方面看，這些內(nèi)容都能體現(xiàn).因此，從大處講，通過統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)，不僅僅是培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)試能力，更重要的是讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)了解社會，科學(xué)地認(rèn)識社會，改造世界，這才是教學(xué)的真正落腳點(diǎn).