PME視角下的“函數的零點”概念教學設計

?西華師范大學 王 雪 李中平

1 研究背景及問題的提出

1.1 研究背景

數學概念是構成數學知識的基礎，是基礎知識和基本技能的核心與靈魂.理解概念是一切數學活動的出發點.如果教師過分偏重解題技巧而忽視概念的教學，那么會導致解題時學生只知解題套路卻不懂原理.“數學教育心理學(psychology of mathematics education，簡記為PME)是研究學生學習數學的心理規律以及教師如何根據學生學習數學的心理規律進行有效教學設計的學科”[1].PME理論對學生的學與老師的教都有很強的指導意義，在進行概念教學時從PME視角透視教學內容，設計出符合學生學習心理規律的教學設計.

1.2 問題的提出

著名數學家高斯曾經指出:“在數學中重要的不是符號，而是概念.”[2]數學概念教學一直都是教學重點，然而學生仍然會混淆某些數學概念.“函數的零點”是函數的進一步應用；函數的零點概念作為函數概念的延伸，學習函數的零點概念也可加深對函數概念認識和理解；但函數的零點也是易混淆的概念，如果不能合理地融入到已有的認知結構中，那么就很難從大腦中提取出來進行靈活運用.

“其實概念的形成與轉變是一個連續動態的心理歷程”[3].因此在“函數的零點”概念教學時，考慮從PME視角透視教學，在學生學習函數零點概念的心理活動基礎上，去把握知識的傳授過程，幫助學生建立良好的認知結構.函數的零點概念教學的關鍵在于結合學生學習函數的零點概念的心理活動和學生現有的認知發展水平，引領學生對概念探究、理解，經歷概念的形成過程，準確把握住函數零點的外延與內涵，多元化表征概念，同時能運用到具體情境中.

那么教師如何從PME視角實施函數的零點概念教學？學生如何明晰概念的外延和內涵？是否能多種形式表征函數的零點概念？

2 理論基礎

2.1 現代認知心理學下的知識

現代認知心理學根據知識的不同狀態和表述形式將知識廣義地劃分為陳述性知識和程序性知識，其中陳述性知識是指“是什么”，程序性知識則是指“怎么做”.數學概念是人們對客觀現實世界中的數量關系和空間形式本質屬性的思考在頭腦中的映射.因此數學概念屬于較為復雜的陳述性知識，概念的應用對應的技能則屬于程序性知識.當數學概念被學習者“隱性”獲得納入知識結構后，在應用數學概念時會轉換成相應技能“顯性”表現成概念的形成情況.

2.2 數學概念特征下的多元表征

從概念學習的心理角度來說，數學概念的表征具有多元性特征.若學生沒有理解概念就不能用另一種表征方式去表達概念，所以在教學過程中必須注重概念形式的轉換.2000年美國NCTM在《學校數學課程標準與原則》中指出的“不同的表征將導致不同的思維方式”，意味著在多角度理解概念的同時也在發展學生的邏輯思維.

2.3 概念同化

概念的學習有概念形成、概念同化兩種方式.而高中階段的學生對函數已經具備了一定的認知，因此從PME視角下選擇概念同化是最好的教學方式.概念同化即利用已掌握的概念去學習新概念，主動與認知結構中原有的相關概念相互作用，由此獲得新概念的過程.概念同化的心理過程包括辨別、同化、強化.

2.4 信息加工學習理論下的學習過程

加涅(R.Gagne)認為學習的過程就是一個信息加工的過程.信息加工學習理論將學習活動及主要的心理活動進一步拆分，把學習過程劃分為八個階段，且各自發揮不同的功能.第一階段是“動機”，激發學習動機，產生學習期望.第二階段是“了解”，把注意力集中在與學習目標有關的刺激上.第三階段是“獲得”，學生對新獲得的刺激進行編碼、貯存.第四、五、六階段分別是“保持”“回憶”“概括”，將獲得的信息都貯存在長時記憶中.“保持”階段注意信息的貯存，避免新舊刺激的干擾.“回憶”階段，把信息合理地從大腦中提取.“概括”階段，將學習的知識遷移到不同情境中.第七階段是“操作”，通過作業反映出學生的學習效果.第八階段是“反饋”，在強化的同時促進信息的有效加工.

基于PME視角研究的需要，綜合數學概念表征的多元性、概念同化的心理過程與信息加工學習理論下的學習過程，因此將函數的零點概念教學過程概括為四個環節：概念探究、概念表征、概念同化、概念應用.

3 函數的零點概念教學過程

3.1 概念探究——激發動機引起注意以揭示本質屬性

教師：大家回憶從初中到現在都學習了哪些函數？又學到了函數的哪些知識呢？

學生1：一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數，學了圖象和性質.

教師：那同學們能不能畫出一次函數y=2x+1的圖象，接著觀察函數圖象與x軸、y軸相交的點.我們把圖象與x軸交點的橫坐標稱為函數的零點，在這個圖象(如圖1)中與x軸交點的橫坐標-0.5稱為一次函數y=2x+1的零點，那么思考一下零點的本質是點還是數？如果是數，是有理數還是實數？

圖1

學生2：是實數.

教師：很好，那么是不是只有一次函數有零點呢？接著試著描點畫出二次函數y=x2-2x-3的圖象，與x軸交點的橫坐標是多少？那么該函數的零點是多少？有幾個零點？

學生3：函數圖象(如圖2)與x軸交點的橫坐標是-1,3，因為函數與x軸交點的橫坐標是函數的零點，所以該函數的零點是-1,3，有兩個零點.

圖2

設計意圖：回顧簡單舊知，激發學生的學習興趣，使之產生學習動機.引導學生從函數圖象上感受零點的存在，計算函數的零點并且得出零點的本質是實數.層層誘導，逐步喚起舊知的同時還可以增強學生學習數學的信心.

3.2 概念表征——獲得概念保持記憶以轉換多種形式

教師：根據上面我們畫出的函數圖象中有零點的存在，思考所有的函數都有零點嗎？請舉例.

學生4：不一定，因為函數與x軸交點的橫坐標是函數的零點，如果所給函數與x軸無交點，那么該函數就無零點，比如反比例函數.

教師：在畫函數y=2x+1，y=x2-2x-3圖象時，如何求函數圖象與x軸交點的橫坐標？

學生5：使2x+1=0，x2-2x-3=0，算出x，就是函數圖象與x軸交點的橫坐標.

教師：對，很不錯.對于一般函數y=f(x)，試著類比得出函數零點的概念.

學生6：對于函數y=f(x)，使f(x)=0的實數x就叫做函數y=f(x)的零點.

教師：非常好，這就是函數零點的概念.接著思考x2-2x-3=0，2x+1=0是方程還是函數？零點是方程的零點還是函數的零點？兩者之間有什么關系，結合圖象來看呢？

學生7：2x+1=0，x2-2x-3=0是方程，零點是函數的零點，函數所對應的方程f(x)=0的實數根就是函數的零點，也即函數y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標.

教師：試著先算出y=2x+3的零點，再在x軸上表示出零點.

設計意圖：根據圖象及零點的存在位置，逐步追問得到零點的外延與內涵：外延——圖象與x軸交點的橫坐標，內涵——對于函數y=f(x)，使f(x)=0的實數x.誘導學生得出零點的概念，使其明晰外延和內涵.學生7的回答切實體現出學生對函數零點與方程根之間的關系的理解，從數、形上表示零點，轉換不同形式進行多種表征以促進思維的發展.

3.3 概念同化——提取概念情境概括以促進知識理解

教師：根據前面可得出y=x2-2x-3有零點，y=x2-2x-3是二次函數，回憶并動手畫圖象，思考二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)都有零點嗎？有幾個零點？請給出理由.

學生8：二次函數y=ax2+bx+c不是都有零點，有零點的話，就使ax2+bx+c=0，算出方程的實數根，方程實數根的個數就是函數零點的個數.那么就考慮ax2+bx+c=0中x的情況.

教師：那么回到了ax2+bx+c=0中求實數根的情況？會用到什么？

學生9：對，會用到判別式.

(PPT展示表1，引導學生觀看表格內容并驗證)

表1

注：a≠0.

教師：當函數y=f(x)=g(x)-h(x)時，如何求函數f(x)的零點？提示：從零點的概念出發.

學生10：要求函數的零點就是使f(x)=0，即g(x)-h(x)=0,即g(x)=h(x)，就是求使等式成立的實數x.

教師：很不錯，回到y=x2-2x-3，根據式子的轉換，用畫圖象的方式求函數的零點.

學生11：首先y=x2-2x-3轉換成y=x2-(2x+3)，其中把x2看作是g(x)，把2x+3看作是h(x)，那么就是求使x2=2x+3成立的x.分別畫出y=x2，y=2x+3的圖象，會發現有兩個交點.

教師：這兩個交點與之前所求出來的零點有相同點嗎？說出盡可能多的發現.

學生12：交點的橫坐標就是零點的值，交點的個數是零點的個數.

設計意圖：通過二次函數判別式，得出二次函數不同情境下零點存在情況.表格讓學生直觀感受到二次函數中方程的根、圖象與x軸的交點、函數的零點之間的聯系，讓學生主動接納知識，加深對零點的理解.考慮y=f(x)=g(x)-h(x)的情況，給予學生思路去探究，鼓勵學生發現求函數的零點是求兩個函數的交點的橫坐標，拓寬學生思維.

3.4 概念應用——操作作業強化概念，實現知識遷移

教師：總結函數的零點概念，完成下面的練習題：

(1)求一次函數y=kx+b(k≠0)的零點；

(2)y=x2-2x-1是否有零點？

(3)y=x3+2x+1有幾個零點？

(4)y=lnx+2x-6是否有零點？

學生可以根據以上所學完成習題：通過求方程的實數根、函數圖象與x軸交點的橫坐標、拆分為兩個函數的交點，去判斷零點的值、零點是否存在及零點的個數.

教師：思考函數的零點、方程的根、與x軸交點的橫坐標、兩個函數的交點之間的關系？

學生13：函數y=f(x)的零點對應方程f(x)=0的實數根，也是與x軸交點的橫坐標，實數根的個數=交點數=零點個數；對于y=f(x)=g(x)-h(x)函數形式，兩個函數交點的橫坐標就是y=f(x)的零點，交點數=零點個數.

設計意圖：通過零點概念的應用可以反饋出學生對零點概念的掌握情況.引導學生從數到形，從形到數，從方程到函數圖象，從函數圖象到方程把握零點的外延和內涵，進一步強化函數零點的概念，自然納入認知系統中進行信息加工處理.

4 結論與建議

4.1 PME視角下的“函數的零點”概念教學的必要性

中學階段是學生生理、心理和智力發展較快的時期.這一時期的學生受心理特征和能力基礎的約束，剛進入高一的學生在面臨難度更大、更抽象的數學知識以及初高中教師不同的教學方法時，會遇到一定的學習“障礙”.數學教師的首要教學任務就是掃除這種“障礙”.函數本身就作為抽象的存在，函數的零點概念是教學的重點.從PME視角審視概念教學，打破學生的思維定式，發展其抽象思維.以學生可接受的教學方式把函數的零點概念進行信息加工，同化到知識結構中，促進良好知識結構的形成.

4.2 對函數的零點概念教學的建議

在實際的中學數學教學中，教師總把更多關注點放在學生的解題能力上，“而忽視數學概念在心理層面的發展與形成，極容易造成學生對于概念的理解只是停留在機械的記憶層面”[4].對“函數的零點”教學時要把握學生心理，進行層次訓練促進思維逐步發展，同時滲透數學思想、數學方法并與后面的知識建立聯系；從形的角度理解零點的概念，從數的角度給出解答時要具有嚴密的邏輯性；課堂結尾引導學生總結得出零點的不同表征方式，切實把握概念的內涵與外延.