增強全局搜索和自適應蜉蝣算法

王 義，張達敏，鄒誠誠

(貴州大學 大數據與信息工程學院，貴陽 550025)

近年來，大量基于元啟發的仿生優化算法用來解決科學領域的各種優化難題并有較好的優化效果，如工程難題、商業最優問題、經濟學和復雜多目標優化問題。元啟發算法因其靈活、結構簡單、無梯度機制等優點受到研究者的關注[1]。近年來出現各種基于仿生優化算法和基于物理模型的算法，如基于模仿自然界中的鳥群和魚群的覓食行為提出了粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)[2]、受麻雀的覓食行為和反捕食行為的啟發提出麻雀搜索算法(sparrow search algorithm,SSA)[3]、受狼群的等級領導行為和守獵過程的啟發提出了灰狼算法(grey wolf optimization,GWO)[4]、基于裸鼴鼠和繁育者的繁殖行為，培育精英后代提出裸鼴鼠算法(naked mole-rat algorithm,NMRA)[5]、模擬自然界中成蟲發光螢火蟲聚集行為提出螢火蟲算法(firefly algorithm,FA)[6]、模擬生物在自然環境的遺傳和進化過程提出遺傳算法(genetic algorithm,GA)、受領導者引導和跟隨者跟進共同在海洋中和尋食啟發提出樽海鞘群算法(salp swarm algorithm,SSA)[1]以及2021年根據變色龍群體在搜索食物、360°眼睛轉動和捕獵行為提出變色龍群算法(chameleon swarm algorithm，CSA)[7]等。

2020年，文獻[8]根據雌雄蜉蝣群體的聚集、婚配行為和交配繁殖行為提出一種基于群體仿生優化算法——蜉蝣算法(mayflies algorithm，MA)[8], 其靈感來自蜉蝣群體的社會行為，尤其是它們的交配過程，雄雌性蜉蝣成熟后婚配及求偶和繁殖而啟發。從MA的結構表達形式上看，是由PSO、GA和FA算法的結合改進，由此MA也符合優勝劣汰規律的種群進化算法，具有較好的局部搜索性能和良好的種群多樣性。遺憾的是，MA雖具備上述良好的性能和優勢，但前期的全局搜索能力不理想導致后期即使具備較好的開發能力也達不到理想求解精度和算法穩定性，且易陷入局部最優[8]。但提出至今，在工程優化設計、車間調度和動力系統中的應用已有相關報道，說明MA在實際應用和求解上具備不同優越性能。MA和其他群體智能算法一樣，依然存在局部最優、搜索和開發之間得不到平衡和尋優精度低下，在實際求解問題時導致精度低下，求解結果不穩定等缺點。

近年，針對其他形式的群體智能算法的缺點，有不少研究者提出不同策略進行優化改進，改善其全局尋優性能和求解的穩定性;文獻[9]利用Circle映射初始化鯨魚優化算法的種群，使種群初始化過程中有更好的遍歷性和降低群體的盲目性，且引入反向學習策略對鯨魚的位置求出反向解，提高了鯨魚優化算法的搜索能力和求解的穩定性;文獻[10]將樽海鞘鏈按照不同的適應度劃分成3個子群，引入敏感性分析、共生策略和非均勻高斯變異對樽海鞘鏈的3個子群針對性改進，結果表明改進的樽海鞘群體有更好的引導作用和較強的多樣性，提升了算法的性能;文獻[11]引入黃金正弦機制和自適應慣性權重，改善蝴蝶優化算法的全局搜索能力和搜索的自適應能力;文獻[12]將速度邊界和能量邊界的方法引入粒子群算法，證明出粒子群的慣性部分和社會部分間建立了良好的平衡，結果表明它能跳出局部最優，具有更好的搜索能力。

為改善MA的全局尋優能力、算法的穩定性能和探索搜索的自適應性，提出增強全局搜索和自適應的蜉蝣算法(MIWMA)，補償算法的劣勢保留已有優勢結合，提高搜索能力和穩定性能，更好建立MA存在的搜索和開發之間得不到平衡的問題。為增強蜉蝣種群的多樣性，引入非均勻變異和全局最優位置更新策略，同時不放棄適應度差的個體，并指引其向全局最優位置靠近，增強了蜉蝣群體搜索的多樣性，提升算法跳出局部最優的能力；引入不完全伽馬函數和Beta累加分布慣性權重，使其在已提出的慣性權重基礎上能自適應動態調節慣性系數，增強全局搜索和開發之間的平衡，同時其自適應動態搜索能力得到提升，進一步提高了算法的搜索精度；引入局部停滯策略調節原有的搜索特性，在慣性部分和社會部分間進行調節，使蜉蝣群體間進行信息交流共享和合作，增強算法搜索能力。

1 蜉蝣算法

蜉蝣算法受雄性蜉蝣與雌性蜉蝣婚配的社會吸引行為啟發的優化算法。其尋優過程為：雄性蜉蝣個體的尋優、雌性蜉蝣個體的尋優和優異個體的雄雌交配。設蜉蝣在d維空間的位置表示為X=(x1,x2,…,xd),其d維空間的速度表示為V=(v1,v2,…,vd)。

1.1 雄性蜉蝣的運動

(1)

由上，rp和rg是最優位置與當前位置的距離，其距離的計算用歐氏距離表示，歐氏距離計算公式如下：

(2)

式中:xij為蜉蝣i的j維，Xi為pi或gi的位置。

雄性蜉蝣的位置更新為

(3)

1.2 雌性蜉蝣的運動

雌性蜉蝣與雄性蜉蝣相比的顯著特點是雄性蜉蝣投放在固定區域內會發現聚集行為而雌性蜉蝣則不會，雌性蜉蝣會與雄性蜉蝣靠近完成繁殖。雌性蜉蝣的位置更新如下：

(4)

雌性蜉蝣的速度更新表達如下：

(5)

1.3 雌雌蜉蝣的交配

蜉蝣的交配過程可用交叉算子表示，從雄性蜉蝣中選擇一個父本，雌性蜉蝣選取母本。父本選擇的方式與雄雌吸引的方式一致。優勝劣汰機制，將最優個體的雄性和雌性蜉蝣進行繁殖得到最優個體，依次類推，得到的兩個子代表達式為

Soffspring1=L·Smale+(1-L)·Sfemale

(6)

Soffspring2=(1-L)·Smale+L·Sfemale

(7)

式中:L為服從高斯分布的隨機數，取值范圍為L∈[0,1];Smale是父本，Sfemale是母本。

2 增強全局搜索和自適應權重的蜉蝣算法

2.1 非均勻變異下的位置更新策略

2.1.1 引入上一次位置更新指引策略

蜉蝣群體每經一次迭代更新，都會保留歷史的最好位置。歷史最優位置可為后續搜索提供新方向，新位置既受歷史最優位置的指引又受上一次迭代位置的影響，可有效避免算法易陷入局部最優的缺陷，提高算法的搜索能力。引入歷史位置和上一次指引的位置更新表達式為

(8)

2.1.2 非均勻的高斯變異

由式(8)可看出，歷史迭代的最優位置有可能不是目標優化中的最優位置，完全按照歷史最優位置去搜索，將會導致陷入局部最優達不到搜索效果，多樣性得不到保證。針對這一缺陷，對全局最優位置g變異，增強搜索多樣性，使全局搜索能力得到進一步增強，利用一種非均勻隨機高斯變異策略。非均勻隨機高斯變異策略的表達式如下：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

2.2 不完全伽馬函數和Beta累加分布權重

2.2.1 非線性慣性權重指引策略

慣性權重因子對算法的搜索能力和開發能力具有一定的指導作用，體現出雄性蜉蝣和雌性蜉蝣能夠借鑒一定先驗行為的能力。文獻[13]指出，較大的慣性權重具有良好的全局搜索能力；較小的慣性權重具有較好的開發能力，使其能得到更好局部搜索能力。引入一種非線性遞減的自適應慣性權重，慣性權重因子的表達式如下：

(14)

式中:t為當前的迭代次數，Tmax為最大迭代次數，α為慣性權重的控制參數。即不同的α值對MA的搜索具有一定的影響，圖1為α=1.0、1.5、2.0、2.5、3.0、3.5，迭代500次的ω權重變化。

圖1 不同參數的慣性權重Fig.1 Inertial weights of different parameters

2.2.2 融合不完全伽馬函數和Beta累加分布函數

上述ω(t)具有確定性的數學表達，即整個搜索和開發過程會按照ω(t)的關系執行，容易按照一定規律搜索，算法同樣會進行局部最優的可能，做不到真正的自適應機制。為使ω能進行自適應動態調整，引入不完全伽馬函數[14]和Beta分布累加函數[15]，其新的數學表達式如下：

(15)

(16)

(17)

式中：Γ(λ，u)為不完全的伽馬函數，λ>0的隨機變量，取值為λ=0.1;ν為偏移調整因子，調整ω的偏移程度，取ν=0.1;B(σ;b1,b2)為服從Beta分布的累加分布函數的逆函數,經大量實驗結果取b1=1,b2=2，σ取值與式(11)一致。

引入不完全伽馬函數和Beta累加分布函數的自適應慣性權重，雄性蜉蝣與雌性的位置更新表達式為

(18)

(19)

為了選取一個合適的α值并探究引入不完全伽馬函數和Beta累加分布的慣性權重優勢，利用經典測試函數f1對不同參數和不同權重獨立運行30次，實驗迭代500次，維度為30,運行的結果見表1。

表1 不同α值和適應權重的搜索結果Tab.1 Search results with different α values and adaptive weights

由表1結果可知，參數α的選取直接影響算法尋優能力。當α=1時，MA具有較好的搜索能力，因此本文取α=1。同樣，表1是ω和ω′在不同參數和同一參數下的對比結果，在同樣的α的取值下，ω′具有更好的收斂精度，目標求解的性能更好。說明引入的不完全伽馬函數和Beta累加分布的慣性權重優勢較ω更明顯，與ω相比具有更好的自適應動態調整能力。

2.3 局部停滯對抗策略

在基本MA表達式中，社會部分中雄性蜉蝣和雌性蜉蝣的速度更新總會滿足以下關系：

vi=aie-βr2(pj-pi)

(20)

式中若pj和pi相鄰很近，其歐氏距離r就很小,由于式(20)中含有指數關系式,呈現指數衰減慢，但后面的距離非常小；同理，pj和pi相鄰較遠，指數衰減嚴重，因此社會部分難以達到平衡。針對這一缺陷，對蜉蝣的速度更新機制進行改進。

首先，引入監測搜索停滯系數[12]，用于控制是否出現局部迭代收斂的情況，停滯系數為

(21)

η=η-Ct+η+(1-Ct)

(22)

式中：η為平衡調節算子，調節蜉蝣的速度更新，根據Ct選擇出合適的調節值調整慣性部分和社會認知部分，加強群體間的信息交流協作。取η+=1和η-=0.1。引入調節算子，雄性蜉蝣的速度表達式為

(23)

雄性蜉蝣的速度表達式為

(24)

式中ω′為式(15)自適應慣性權重。 在式(20)的監測搜索停滯系數，判斷是否存在搜索停滯，利用式(21)得出停滯的步長值。由式(22)和式(23)知，蜉蝣的速度更新具有慣性部分和社會部分。慣性部分用于調節蜉蝣自身的狀態，遵循前期較強的全局搜索能力及后期的開發能力，使其隨迭代的增加保持平衡；社會部分則是蜉蝣群體的信息交流和吸引。當蜉蝣搜索狀態陷入局部最優時，按照調節算子平衡慣性部分和社會部分，使其調節自身狀態和吸引、信息交流間合作，快速跳出局部最優，增強算法的搜索能力。

2.4 MIWMA算法流程圖及復雜度分析

2.4.1 MIWMA算法流程圖

綜合上述引入的3種策略，文中提出的MIWMA算法的流程圖和步驟見圖2。

圖2 MIWMA算法執行流程圖Fig.2 MIWMA algorithm execution flow chart

2.4.2 MIWMA時間復雜度分析

3 實驗分析與性能評估

為證實MIWMA的有效性和優異性，對不同策略進行實驗測試，文中引入兩個實驗測試。其中，引入非均勻變異下的位置更新記為MMA；引入不完全伽馬函數和Beta累加分布權重記為WMA；引入停滯對抗措施策略記為IMA;組合優化策略記為MIWMA。另外，引入最近的其他優異的改進的智能算法對比,如自適應慣性權重的樽海鞘群算法(AIWSSA)[16]、共生非均勻高斯變異的樽海鞘群算法(MSNSSA)[10]以及穩定邊界和收斂增強的改進粒子群算法(IPSO)[12]進行復現比較。

3.1 參數設置

實驗選取種群規模為40(雄性20，雌性20)，種群交叉個數為20。為了公平比較，設置MSNSSA、AIWSSA 以及IPSO的種群大小均為40，實驗結果均獨立運行50次，各算法具體參數設置見表2。

表2 不同算法的參數設置Tab.2 Parameter setting of different algorithms

3.2 實驗記錄與分析

實驗1：為驗證改進的算法與其他算法的數據有效性比較，實驗1利用12個經典基準測試函數測試，包括5個單峰(unimodal)函數，4個多峰(multi-modal)函數及3個維度固定(fix-dimension)的測試函數。函數類型有可分(separable)和不可分(non-separable)。測試函數的具體信息見表3。

表3 基準測試函數Tab.3 Benchmark function

實驗1記錄算法的最優值、平均值、標準差、每次獨立運行的平均耗時(T/s)，見表4。表4中，從最優值上看，除函數f8以外，整體而言MIWMA與MA相比具有顯著性優勢。對于函數f8，整體而言,引入非均勻變異的位置更新策略和不完全函數與Beta累加分布慣性權重最能凸顯出算法的優化性能。另外，不同策略(MMA、WMA、IMA)與MA對比，都優于原始MA, 且函數f7和f9在多峰函數測試下能夠達到理論值0，f7的維度取值為100維，同樣具有顯著性優勢。另外，由表中可看出,對MSNSSA和AIWSSA以及IPSO復現算法而言，性能介于MA與MIWMA之間，即對復現的算法較原始MA有效，但不及MIWMA。對于函數(f10～f12)而言，由于維度是固定的，維度的大小不高，雖然測試函數中含有參數，但求解相對容易，所以引入的策略和原始MA和其他復現算法能夠達到較好最優值。通過表7的秩和檢驗效果看，引入的策略與其他算法也有更好的效果。由此，MIWMA的優勢較為明顯。

平均值能夠呈現獨立運行50次后的平均效果。從單峰和多峰測試看，平均值整體都要比MA、MSNSSA、AIWSSA以及IPSO的效果更好。對于函數f8，其效果不及MMA策略的MIWMA，體現出非均勻變異的位置更新對優化的敏感度非常高，比混合策略還要好。標準差可以反映出獨立運行結果的偏離程度，獨立運行次數越多，標準差就顯得更加精確。 對單峰函數和多峰函數，其融合策略的標準差最小，即平均值的偏離程度較小，進一步體現了MIWMA的穩定性較好。從維度固定的函數可看出，最優值上與其他算法相比性能相當，平均值直接折射出MIWMA的優勢。由此f10～f12的平均值效果最好，且達到理論值，其次是MMA和AIWSSA。標準差衡量它們的偏離程度，雖然f10和f11的標準差沒有其他好，均值不在最優范圍，整體而言沒有實現最優。

從耗時分析上看，MA、WMA、IMA、MMA和MIWMA的耗時基本持平。因為MA引入的幾個策略從復雜度上看并沒有增加過多的復雜度開銷，MIWMA和MA 處于同一量級，只是增加了少量語句的執行。與其他算法比較而言，MA時間復雜度略高于IPSO、MSNSSA和AIWSSA，因為運行MA涉及到雄性和雌性蜉蝣的更新和交配，且后續的變異等增加了運算時間，耗時多數都在0.5～2.5 s之間，單次運行時間也不會太長。但從表4中看出，部分函數下MA的時間比改進策略還長，主要原因就是受到運行環境的影響，但都不會相差太多，耗時差處于可接受范圍內。

算法在整個搜索的平均情況，可以從圖形上直觀看出各算法搜索的優劣，繪制部分函數收斂曲線見圖3，直觀看出迭代500次的平均收斂特性。由圖3可看出，MIWMA的精度最高，且與其他算法相比整個過程具備較好的搜索性能。從曲線上看，MIWMA算法在前期具備很好的搜索效果，說明引入的自適應慣性權重策略發揮著較好的搜索指引作用，動態調整能力較好；另外，算法在后期的搜索中也具備較好的尋優能力，迭代曲線持續降低，則引入非均勻的高斯變異和局部停滯發揮了較好的搜索能力。由此，從收斂曲線分析，3種改進策略的有效性得到進一步驗證。

圖3 部分測試函數平均收斂曲線Fig.3 Average convergence curves of some test functions

實驗2：為了進一步顯現改進的MIWMA的優勢，對比其有效性和穩定性等性能，實驗2利用IEEE CEC2021函數集中基本、轉換和旋轉組合集進行性能測試。選取CEC2021中單峰、多峰、混合(hybrid)和復合(composition)類別的函數進行測試。函數集的具體信息見表5，函數定義見文獻[17]。

表5 CEC2021函數具體信息Tab.5 Detailed information of CEC2021 functions

實驗2驗證每種策略的性能對比，設置最大迭代次數為20 000次，維度為20。同樣引入改進MSNSSA、AIWSSA和IPSO對比，對比結果見表6。

表6 CEC2021優化對比Tab.6 Optimization comparison of CEC2021 functions

由表6，分別記錄CEC01～CEC10在不同算法運行下的平均值和標準差。由于IEEE CEC函數具有復雜的函數特征，難以找到目標函數值。由表中可看出，MIWMA中只有少部分目標值劣于其他算法，總體上看依然具有較好的性能，靠近目標最優值的函數個數最多。可判斷引入策略是有效的，且從標準差來看也具備良好的穩定性。因此，本文從兩個實驗證實了MIWMA的有效性和算法的性能。

3.3 與其他智能算法對比

為更清晰突出算法的先進性，引入近年其他研究者的成果進行對比,包括：麻雀搜索算法(SSA)[2]、差分進化的裸鼴鼠算法(DE-NMRA)[5]、正弦差分進化算法(SinDE)[18]、協方差矩陣適應進化算法(CMA-ES)[18]、記憶指導的正弦余弦算法(MG-CSA)[18]、迭代映射和單純形法的灰狼算法(SMIGWO)[14]、嵌入Circle映射和小孔成像反向學習的鯨魚優化算法(MGWO)[9]以及自適應正態云模型的引力樽海鞘群算法(CGSSA)[19]。對比結果見表7。

表7 與其他智能算法的均值對比Tab.7 Comparison of mean value with other intelligent algorithms

根據表7與其他智能算法的對比，雖然其部分函數與其他算法相比不是最優效果，從總體上看，依然具有較好的尋優優勢。

3.4 統計分析

實驗中對各算法獨立運行50次，8個算法以及12個測試函數進行對比測試，數據量達到統計分析要求。可以從統計學的角度分析MIWMA的優越性，判斷是否存在統計學的顯著差異。首先，利用非參數檢驗的Wilcoxon秩和檢驗[20]方法計算出相應的P值，對經典測試函數進行分析;然后，利用Friedman’s統計檢驗[21]得出經典測試函數與CEC集測試函數的算法排名和綜合性評估。表8為Wilcoxon秩和檢驗在α=5%的顯著性水平下的P值。若P<0.05，則拒絕原假設接受備擇假設，即拒絕兩組數據沒有顯著性的差異,得出兩組數據存在差異的結論。表8中，+/-/=分別表示MIWMA算法與其他算法對比的性能為優于/劣于/性能相當的個數，其中NaN標記性能相當。

表8 經典測試函數下MIWMA與其他算法對比的秩和檢驗P值Tab.8 P values of rank sum test of MIWMA compared with other algoritlms under classic test functions

由表8可知，大部分的秩和檢驗P值小于0.05，從而說明融合策略算法的性能較其他算法的差異是顯著的，即可認定該算法有優異的收斂性能。

上述是不同測試函數下評估不同算法的性能，但還需要進一步驗證整個算法在統計學上是否有差異。因此，利用Friedman’s的統計檢驗，利用卡方檢驗(χ2)[22]來評估所得臨界值的差異，判斷拒絕或接受原假設得出結論。設顯著水平α=0.05,對8個算法進行性能檢驗，見表9。排名計算公式如下：

表9 經典函數Friedman’s測試下算法的統計排名Tab.9 Statistical ranking of algorithms under Friedman’s test of classic functions

(25)

根據表4中的結果，算法個數為8，其自由度為7，測試函數為12個，卡方值為31.534 4。查表得自由度為7，顯著水平α=0.05下,卡方值為14.067 14，由此計算的卡方值遠大于查表臨界的卡方值，說明所給的數據存在顯著性差異。根據自由度、卡方值與P值的換算，得出P值為4.953 47×10-5。因此，計算P值明顯小于0.05，由此可判定這些算法在精度上存在顯著性差異，所以總體MIWMA存在統計學差異，性能表現最好。

上述只是說明總體的MIWMA存在統計學差異，但具體的組間差異還需進一步比對。因此，需要進行兩兩比較調整α值，根據P值從小到大進行排序，將最小的P值和α/i進行比較，i代表算法個數。引入Holm-Bonferroni進行后續校正[23]。MIWMA的排名和各方面效果都很好，設MIWMA為控制算法。進行后續檢驗來進一步區分算法。表10為控制算法與其他算法的校正結果。

表10 經典函數Holm’s后續檢驗下的結果Tab.10 Results of Holm’s subsequent test of classic function

根據表10中的結果，有MIWMA vs.MMA和MIWMA vs.AIWSSA的判定決策是接受，即0.180 942 1>0.05和0.050 926 3>0.025，即MIWMA與MMA、AIWSSA的組間差異不明顯，與其他性能比較差異明顯，MA的統計分析結果最差。表中雖不能拒絕AIWSSA的假設，但從均值、平均排名等信息也能充分說明與MIWMA存在差異的。從表中可看出，MIWMA與MMA判決結果為接受，這與MIWMA的統計分析不顯著，說明非均勻變異的位置更新策略最有效，較于其他兩個改進策略而言更具有顯著性。統計分析證明該統計方法進行整體算法性能的比較是科學、可靠的。結果反映MIWMA算法的優越性和可靠性。

表11是CEC2021測試函數的統計檢驗對比。由表11，MIWMA的平均排名最低，說明它的性能在比較的幾個算法中是最優的。同樣，根據上述方法，設置MIWMA為后續檢驗的控制算法進一步分析它們之間的差異。

表11 CEC2021的Friedman’s測試下的統計排名Tab.11 Statistical ranking under Friedman’s test of CEC2021

利用CEC2021的算法個數為8，自由度為7，卡方值為22.933，大于臨界卡方值14.067 14，計算出P=0.001 751，小于0.05，由此存在顯著的統計學差異。表12可看出，MIWMA vs. WMA和MIWMA vs.AIWSSA的判決是接受，其他均拒絕。這說明，WMA和AIWSSA在CEC2021性能測試具有較好的性能，從表12中的數據看,相對劣于MIWMA。與其他函數相比，具有統計學上的統計差異，表現最差的為MA。結合經典測試函數與CEC2021測試函數而言，MIWMA在兩種測試函數的基礎上都能夠表現較好的性能，從統計學上分析MIWMA的性能的可靠性。

表12 CEC2021的Holm’s后續檢驗下的結果Tab.12 Results of Holm’s follow-up test for CEC2021

4 工程優化分析

為證實提出的融合策略在實際工程案例中的可行性，引入兩種工程優化案例為測試背景，用于解決工程中的NP難題和目標約束問題.選用三桿桁架設計問題和拉/壓彈簧設計問題進行各算法的優化對比，利用靜態罰函數法[24]對約束條件進行處理，使各種對比方法達到公平的比較。其罰函數定義為

ζ(z)=f(z)?

(26)

式中：ζ(z)為目標函數，oj和li為懲罰系數，ti(z)和Uj(z)為約束條件。為了與其他算法對比，取值與文獻[25]和文獻[16]設置的參數值保持一致，取α和φ的值分別為2和1，懲罰因子取1 000。每個算法分別對具體工程優化50次。

4.1 拉/壓彈簧設計問題

拉/壓彈簧設計問題是一種經典的約束優化問題，其目標是減輕拉/壓彈簧設計的重量，見圖4。其主要約束條件有4個，還包括剪應力、踹振頻率和最小擾度。參數主要有導線直徑(d)，平均線圈直徑(D)和有效線圈數(N)等。為方便,將其表示為X=(x1,x2,x3),其中向量X的元素分別對應(d,D,N)。因此，其數學模型為

圖4 拉/壓彈簧設計示意Fig.4 Schematic diagram of tension/pressure spring design

(27)

(28)

式中：0.05≤x1≤2,0.25≤x2≤1.3,2≤x3≤15。對拉/壓彈簧問題，用7種不同算法進行對比。為比較明顯的優勢，引入SSA[1]、PSO[2]、MFO[26]、CSA[7]、SCA分別優化,結果見表13。

表13 不同算法優化拉/壓彈簧設計問題對比Tab.13 Comparison of design problems of tension/pressure springs optimized by different algorithms

由表13，MIWMA算法在拉/壓彈簧問題具有良好的搜索能力；且獨立運行50次后，均值與最優值之間也較為穩定，且優于其他對比算法。不難從表13中看出，f(X)通過MIWMA的算法優化后，最優值也僅在0.000 01的精度上出現差別。算法的搜索都達到最優取值范圍的附近，通過優化也只能進一步得出在更小搜索空間中也有好的搜索能力。

4.2 三桿桁架設計問題

三桿桁架設計是滿足壓力條件下使得結構的重量最小為目標優化問題。三桿桁架的示意見圖5。其中包括3個決策變量，分別為A1、A2和A3。由于A1、A3對稱，因此A1=A3。同理，為方便表示，將變量表示為X=(x1,x2)。其數學模型如下：

圖5 三桿桁架示意Fig.5 Schematic diagram of three-bar truss

(29)

(30)

式中，取l=100 cm,P=2 kN/cm2,σ=2 kN/cm2。不同優化算法的結果見表14。該問題在MIWMA和MA的基礎上，還引入SSA、SMA[27]、MFO以及其他通過改進的算法ATMDE和AIWSSA在相應文獻進行比較，保證對比公平。

表14 不同算法的三桿桁架設計求解對比Tab.14 Comparison of three-bar truss design solutions of different algorithms

由表14，MIWMA對三桿桁架設計的工程問題同樣能保持良好的性能，工程優化問題的局部搜索有更好尋優效果，并優于后面通過改進的算法，適用于解決工程優化中需求精度高的問題。通過引入的工程優化案例可看出，表13和表14體現出在工程應用中也有更好的局部搜索能力。

5 結 論

針對MA算法搜索和開發的不平衡和易陷入局部最優的缺點進行改進，提出一種增強全局搜索和自適應的蜉蝣算法——MIWMA。引入非均勻變異和上一次的位置更新策略指引其向精英位置移動，提高其多樣性和搜索能力;引入不完全伽馬函數與Beta累加函數的分布數克服非線性自適應慣性權重的缺陷，動態調整算法搜索的自適應能力，進一步提高算法的收斂精度；引入停滯策略使其跳出局優，調節群體間信息交流合作，從而增強搜索性能。為證實MIWMA的性能和先進性，分別引入經典測試函數集驗證算法的有效性和可靠性，引入CEC2021函數驗證算法的性能。最后驗證在工程難題中的應用潛能，在工程問題具有一定適用能力。對于大規模復雜問題、通信網絡的資源分配和多約束調度下的最優問題，是下一步的研究重點。