蜂窩夾芯結構振動特性研究

許笛楓

(中國飛行試驗研究院飛機所，陜西 西安 710000)

0 引言

蜂窩夾芯結構在航空航天領域廣泛應用[1]，其面臨苛刻的振動環境。研究復合材料蜂窩夾芯結構的振動特性對蜂窩夾芯結構在飛行器上的成功運用，避免結構因振動產生破壞，保證飛行器安全具有重要意義。

蜂窩夾芯結構是一種具有特殊芯子形式的夾芯結構，其動力學分析模型主要基于三種理論：經典層合板理論、一階剪切變形理論和高階剪切變形理論。基于一階剪切變形理論Ressiner理論與Hoff理論，中國科學院北京力學研究所給出了結構的振動控制方程和固有頻率解析解[2]；王勝春基于一階剪切變形理論建立了蜂窩夾芯結構橫向振動方程，通過引入位移函數和偏微分算子對方程進行簡化并給出解析解[3]；郝家瓊對一階剪切變形和高階剪切變形理論進行了對比研究，給出了各理論使用范圍[4]。另有一些研究采用有限元軟件建立結構等效模型或幾何特征模型對蜂窩夾芯結構振動特性進行了分析[5-7]。

本文對蜂窩夾芯結構的振動特性進行了研究，在一階剪切變形假設上，推導了將材料參數等效后的正交各項異性蜂窩夾芯結構橫向振動控制方程，計算具體尺寸結構的固有頻率，與其試驗值、有限元計算值進行比較分析，同時研究結構參數變化對結構振動特性的影響，研究結構固有頻率隨面板、芯子等參數變化的一般規律。

1 橫向振動控制方程

蜂窩夾芯結構由上下兩層面板與蜂窩芯子組成。考慮芯子上的剪應力影響，基于一階剪切變形假設建立蜂窩夾芯結構的振動控制方程。

1.1 一階剪切變形基本假設

采用等效法[8]將芯子等效為厚度、體積不變的實心結構，對等效后的實心夾芯板進行分析。在圖1所示的坐標系中，根據一階剪切變形基本假設，結構中的位移場函數可假設為式(1)的形式：

(1)

式中，u0、v0、w0為結構中面位移，ψx、ψy為結構中面法線轉角：

(2)

圖1 蜂窩夾芯結構單元坐標示意圖

1.2 位移-應變-應力關系

由式(1)假設的位移場函數，根據位移-應變關系，結構中的應變分量可表示為：

(3)

對于面板為復合材料層合板的蜂窩夾芯結構，等效后可將結構整體視為厚度較大的層合板結構，對該結構，其各層的應力-應變關系可表示為式(4)的形式：

[σ]k=[Q]k[ε]

(4)

其中，[σ]k、[Q]k、[ε]分別表示各層復合材料單層板及等效后芯子的應力矩陣、剛度矩陣和應變矩陣。

1.3 合力、合力矩與平衡方程

根據復合材料層合板理論，對圖1所示的厚度為h+2t蜂窩夾芯結構單元體進行分析，應力合力與合力矩可以表示為：

(5)

由于等效后芯子具有弱各向異性，以及復合材料面板由正交各項異性單層板堆疊而成，因此對于合力和合力矩的計算需要根據結構進行分層積分。

1.4 橫向自由振動控制方程

根據哈密爾頓原理[8]，蜂窩夾芯結構的動力學平衡方程可表示為：

(6)

忽略體力影響，蜂窩夾芯結構的橫向振動控制方程可用式(6)的后三項表示：

(7)

式(7)可以表示為如下形式：

(8)

由式(1)-式(5)其合力與合力矩即可表示為式(9)的形式，式中Dij為結構的抗彎剛度，Cij為結構的剪切剛度，通過經典層合板理論在夾芯結構厚度方向上積分得出。

(9)

蜂窩夾芯結構的上下面板一般具有對稱性，結構整體為正交各項異性，對正交各項異性蜂窩夾芯結構有：

(10)

且根據式(1)與式(2)假設的一階剪切變形位移場函數，有：

(11)

式中，Gcxz與Gcyz為蜂窩芯子等效剪切模量。

綜合上述推導，將式(9)代入式(7)，結合上兩式可得一階剪切變形假設下的蜂窩夾芯結構橫向自由振動控制方程：

(12)

2 結構固有頻率

求解式(12)所示的結構橫向自由振動控制方程即可得出結構的固有頻率。式(12)中含有w、ψx和ψy三個廣義位移，求解較難，對于此種方程的求解一般可采用Navier法[9]和Levy法[10]。本節選用一種引入偏微分算子和位移函數的方法，給出了方程求解和結構固有頻率的計算方法。

2.1 橫向振動控制方程求解

通過引入偏微分算子和廣義位移函數，可將式(12)給出的蜂窩夾芯結構橫向振動控制方程表示為如下形式：

(13)

式中：

U1=

U2=-(D12+D66)·

(14)

化簡式(14)并代入式(13)，可得出僅含有位移函數χ的正交各向異性蜂窩夾芯結構的自由振動控制方程：

=0

(15)

式中：

(16)

2.2 固有頻率求解

在四邊簡支邊界條件下，求解長為a(L向)、寬為b(W向)、高為h+2t(h為芯子高度，t為面板厚度)蜂窩夾芯結構的固有頻率。此時位移函數w可用式(17)表示：

(17)

用廣義位移函數χ可表示為如下形式：

(18)

廣義位移函數χ的解有如下形式：

χ=Asinkm1xsinkm2yejωmt

(19)

式中，ωm為結構第m階固有頻率，km1=m1π/a，km2=m2π/b，(m1，m2)為模態序數。

將廣義位移函數式(19)代入橫向自由振動控制方程式(15)中可得：

=0

(20)

由式(20)即可得出在四邊簡支邊界條件下矩形正交各項異性蜂窩夾芯結構自由振動固有頻率解：

(21)

式(21)即為一階剪切變形假設下正交各項異性蜂窩夾芯結構四邊簡支條件下的固有頻率解，可以看出其形式較為復雜。

3 蜂窩夾芯結構振動特性

根據式(21)，在對蜂窩夾芯結構進行等效后即可得出結構在四邊簡支邊界條件下的自由振動固有頻率。分別對兩個算例進行計算，研究蜂窩夾芯結構的振動特性。

算例一：采用本文固有頻率解法，計算蜂窩夾芯結構振動固有頻率，與試驗值、有限元軟件Abaqus計算值進行比較。尺寸為a×b-1.83 m×1.22 m，芯子高度為6.35 mm，上下面板厚度均為0.4064 mm。材料性能參數見表1[11]。

表1 結構材料屬性

考慮芯子的面內彈性性能，結構前六階固有頻率計算值與試驗值、有限元軟件計算值比較見表2(文獻中未給出結構一階固有頻率試驗值)。

表2 試驗值與計算值比較

由表2可以看出：采用本文方法計算和有限元分析得出的結構二階至六階固有頻率值與試驗值接近；本文的計算方法得出的結構第二階至第六階固有頻率整體小于試驗值，采用Abaqus建立的等效模型固有頻率值要比試驗值偏大。

考慮到與面板的面內性能相比，芯子的面內性能很弱，因此表3給出了忽略芯子的面內彈性的結構前六階固有頻率計算值與試驗值的對比。

對比表2及表3中考慮及忽略芯子面內性能后固有頻率計算值與試驗值可以看出，忽略芯子面內性能對求解結構固有頻率的影響非常小。

表3 忽略芯子面內性能的計算值與試驗值的比較

算例二：結構整體尺寸為a×b=1.5 m×0.3 m，面板及蜂窩芯子材料均為鋁合金，模量E=70 GPa，泊松比μ=0.3，密度ρf=2780 kg/m3，面板厚度t=1 mm，芯子高度h=20 mm，芯子壁厚δc=0.07 mm，芯子等效密度ρc=129.6 kg/m3的蜂窩夾芯結構進行分析，研究不同結構參數變化時結構振動特性的變化。

圖2給出了芯子高度不變，隨面板厚度t變化的結構前三階固有頻率。可以看出，當面板很薄時，結構近似為整體剛度極低芯子，因此結構固有頻率很低。隨著面板厚度的增加，蜂窩夾芯結構的結構特點顯現出來，固有頻率隨結構剛度的增加也顯著增加。隨著面板厚度的進一步增加，結構特征趨于普通夾芯結構，結構剛度增加的同時密度也不斷增加，結構固有頻率減小，最終趨于平穩。

圖2 隨面板厚度變化結構前三階固有頻率

圖3為結構面板厚度不變時，隨芯子高度h的變化的結構前三階固有頻率。可以看出，隨著芯子高度的增加，結構固有頻率隨著剛度的增加而增大，當芯子高度繼續增加時，固有頻率趨于平穩。

圖4為結構整體厚度h+2t不變時，隨面板厚度與結構厚度比t/(h+2t)變化的結構前三階固有頻率。可以看出，當面板與芯子厚度比t/(h+2t)大于0.07時，結構的固有頻率將隨著面板厚度的增加而減小。

圖3 隨芯子高度的變化結構前三階固有頻率

圖4 厚度比t/(h+2t)的變化結構前三階固有頻率

圖5為結構整體尺寸參數不變，結構前三階固有頻率隨芯子密度的變化。隨著芯子密度的增加，結構整體質量增加，結構固有頻率降低。

圖5 不同芯子密度的結構前三階固有頻率

4 結論

本文基于一階剪切變形假設，推導了等效后正交各向異性蜂窩夾芯結構的橫向自由振動控制方程，使用一種基于偏微分算子和位移函數的方程解法計算了結構的固有頻率，對蜂窩夾芯結構振動特性進行了研究。

(1)使用本文方法計算得出的結構固有頻率值比試驗值相差較小，計算值比試驗值偏高，與有限元計算結果結合，可以確定結構振動固有頻率上下限。

(2)芯子的面內性能對結構固有頻率的影響很小，忽略蜂窩芯子的面內性能對結構振動特性的影響。

(3)增加面板厚度與增加芯子高度都能增加結構整體的彎曲剛度。芯子高度增加，結構固有頻率增加。芯子本身面內彈性性能很弱，因此其自身抗彎能力有限，但其結構高度較大，因而當面板與芯子共同組成夾芯結構時，其彎曲剛度較高，固有頻率顯著增加，而隨著面板厚度不斷增加，其作為夾芯結構的特征降低，結構固有頻率降低。

(4)結構整體厚度不變，結構面板厚度相對增加，結構固有頻率先增加后減小。同時對于一般蜂窩夾芯結構，其面板、結構厚度比通常大于0.07，因此對于一般蜂窩夾芯結構，增加面板相對厚度，對結構慣性增加的影響大于對結構剛度增加的影響，結構固有頻率會隨之減小。

5 注釋表

項 目注 釋項 目注 釋U,V,W廣義位移ψx,ψy中面法線轉角Qx,Qy剪應力h芯子高度t面板厚度εij應變[σ]k應力矩陣[Q]k剛度矩陣Nij合力Mij合力矩q體力ρ密度Dij彎曲剛度Cij剪切剛度Gcxz,Gcyz芯子等效剪切剛度ρc芯子等效密度ρf面板密度χ廣義位移函數ωmm階固有頻率(m1,m2)模態序數f固有頻率