四足機器人足端復合軌跡運動特性研究*

齊曉宇，王赫瑩，郭忠峰

(1.沈陽工業大學機械工程學院，遼寧 沈陽 110870；2.沈陽工業大學遼寧省智能制造與工業機器人重點實驗室，遼寧 沈陽 110870)

0 引言

與更適應平整地面運動的輪式移動機器人以及履帶式移動機器人相比，腿足式移動機器人運動更靈活，具備能通過復雜崎嶇地形的能力[1]，其中四足機器人已經成為國內外機器人研究領域的熱點，更強的地形適應能力是四足機器人未來的發展大趨勢[2]。合理的足端運動軌跡規劃不僅能保證四足機器人運動效率，還能提高機器人運動平穩性[3]，因此針對四足機器人足端軌跡規劃和運動特性進行研究，具有十分重要意義。

國內外對四足機器人的足端軌跡規劃研究，基于機器人在平地運動平穩性上考慮多選用簡單的擺線函數[4]、多項式函數[5]、橢圓函數[6]等完整統一的曲線規劃足端軌跡。本文將綜合考慮機器人運動平穩性、運動效率、地形適應能力等方面因素，對機器人足端軌跡進行設計，以運動效率較高的對角步態運動方式在Adams和matlab/simulink仿真環境搭建機器人模型和虛擬模型控制系統，研究機器人在該足端軌跡規劃下的運動特性。

1 四足機器人模型介紹

1.1 四足機器人模型結構

本文以前肘后膝式的四足機器人為對象，機器人每條腿具有髖關節前擺、側擺和膝關節前擺3個主動自由度，整體共有12個自由度，機器人的控制方法采用虛擬模型控制方法，研究機器人以運動效率較高的對角步態在平地和崎嶇地形的運動特性。

如圖1所示，機器人大腿長度為l1，小腿長度為l2，機器人前后髖關節距離的一半為A，左右髖關節距離的一半為B，設機器人質心坐標為{O}，以右前腿為例設其髖關節坐標為{A}，右前腿足端坐標系為{Q}，髖關節側擺角度為θ0，前擺角度為θ1，膝關節前擺角度為θ2。足端在髖關節的坐標系{A}下的位置表示為P(x，y，z)，其中x代表前進方向，y代表側向，z代表豎直方向，則方程式如下：

x=-l1cosθ1-l2cos(θ2+θ1)

y=l1cosθ0sinθ1+l2cosθ0sin(θ2+θ1)

z=-l1sinθ1cosθ1-l2sinθ0sin(θ2+θ1)

(1)

圖1 四足機器人模型和單腿模型

通過對式(1)中的髖關節前擺角度和側擺角度以及膝關節的前擺角度進行求導并轉置可得到力雅可比矩陣：

(2)

其中，c0=cosθ0，s0=sinθ0；

c1=cosθ1，s1=sinθ1；

c2=cosθ2，s2=sinθ2；

c12=cos(θ1+θ2)，s12=sin(θ1+θ2)。

1.2 四足機器人控制方法

虛擬模型控制方法(VMC，Virtual model control)是直覺控制方法的一種，其控制原理為在機器人上的作用點與外部期望運動軌跡之間通過虛擬假想的彈簧、阻尼器等構件連接，使其產生好像真實構件存在產生的虛擬力實現類似實際構件驅動的運動狀態[8]。

對于四足機器人的控制來說就是足端和髖關節之間建立虛擬的彈簧元件和阻尼元件，生成機器人各腿部關節所需的力矩驅動機器人腿部運動從而達到跟隨期望速度和位移的目的。

設控制膝關節和髖關節的力矩為：

τ=JTf

(3)

代入(2)式可得：

(4)

其中，τh1、τh2、τh3分別代表髖關節側擺和前擺力矩和膝關節力矩，Fhx、Fhy、Fhz分別代表虛擬的彈簧和阻尼構件牽引機器人足端按照期望的足端軌跡運動的XQ、YQ、ZQ三個方向上的虛擬力[9]，其本構方程為：

(5)

2 四足機器人足端軌跡規劃

2.1 足端軌跡規劃要求

不考慮機器人的視覺處理系統，對四足機器人在崎嶇地形行走設計一種足端軌跡，設計目標主要有：

①機器人能順利越過高度不超過足端最大抬腿高度80%的不規則障礙物。

②機器人能夠適應由地面高度變化引起機身翻轉，即質心處的橫滾角、俯仰角以及偏移角±0.1 rad內的波動，并在完全通過障礙后恢復平衡。

③機器人通過障礙時側向偏移位移不應超過前進位移的7%，以保證機器人的運動效率。

將機器人的足端運動軌跡分為起步、跨步、落地三個階段進行設計，整體的運動軌跡為：機器人足端收腿運動從P0到P1，然后豎直抬腿到P2，再從P2跨步運動經過抬腿最高點P3后到P4完成跨步運動，從P4運動到P6完成豎直落地運動，機器人的足端行走軌跡如圖2所示。

圖2 足端行走軌跡

2.2 足端軌跡規劃起步階段

足端軌跡在擺動相起步時，模仿生物狗的足端運動軌跡，先向后收腿再豎直抬起然后進行跨步，可在起步階段繞過未知突出障礙物；向后收腿并豎直抬起一定高度后再進行跨步向前，可防止機器人足端在起步階段就碰到障礙，導致機器人足端運動突變引起機器人傾覆，如圖3所示。

圖3 起步階段繞過凸出障礙的足端軌跡示意圖

因此添加以下約束：

(6)

足端起步階段的軌跡采用五次多項式曲線擬合，設起步軌跡方程為：

x=ft5+et4+dt3+ct2+bt+a

(7)

z=lt5+kt4+jt3+it2+ht+g

(8)

其中，a、b、c、d、e、f為前進方向軌跡方程的系數，g、h、i、j、k、l為豎直方向軌跡方程系數，帶入以上約束(6)，解得起步階段足端軌跡方程：

(9)

(10)

2.3 足端軌跡規劃跨步階段

選擇復合擺線曲線規劃作為跨步階段足端軌跡，其主要優勢有以下兩點：

①復合擺線曲線平滑流暢，可避免機器人在跨步運動時由于規劃的足端軌跡突變引起運動不穩定。

②復合擺線曲線規劃的足端運動到最大抬腿高度時曲線變化較平緩，與其他帶尖頂的足端軌跡相比，可以在障礙物不高于規劃的最大抬腿高度的情況下，盡可能的跨越障礙物，如圖4所示。

圖4 跨步階段越過障礙的足端軌跡對比示意圖

(11)

設跨步階段的復合擺線軌跡曲線前進加速度方程為：

(12)

通過積分得出速度方程：

(13)

再次積分得到位移方程：

(14)

分別代入以上約束(11)，可得跨步階段前進方向足端軌跡方程為：

(15)

同理，可得跨步階段豎直方向足端軌跡方程：

(16)

2.4 足端軌跡整體規劃

最后落地部分，規劃足端以一定高度跨步到要求位置后豎直下落，使其能夠適應足端提前落地或者滯后落地的情況，可盡量避免機器人落地打滑的發生。從跨步運動結束后，機器人足端的前進方向的位移、速度和加速度均為零，豎直方向采用同起步階段對稱的五次多項式曲線軌跡規劃。

綜上所述，四足機器人擺動相足端軌跡規劃前進方向和豎直方向的數學方程式為：

(17)

(18)

令足端軌跡的步長L為0.08 m，抬腿高度為0.045 m，擺動相運動周期為1 s，前進方向起始位置在距離跨步起點的0.0025 m處，將軌跡方程相關程序在matlab軟件中運行得到前進方向和豎直方向位移曲線和速度曲線如圖5(a)、(b)、(c)、(d)所示，位移曲線和速度曲線均平滑流暢無較大突變。

圖5 足端軌跡主要數據曲線

由于機器人在支撐相時，足端不離開地面，只有一個足端相對髖關節向后方向的運動，因此無需對足端豎直方向軌跡規劃，前進方向的軌跡與擺動相的前進方向相反，則有：

(19)

zf(t)=0

(20)

其中Th為支撐相周期。

3 四足機器人仿真試驗驗證

3.1 四足機器人仿真環境介紹

為檢驗機器人以設計的足端軌跡規劃運動特性，搭建機器人分別在平地上和崎嶇地形的以目前使用較多的五次多項式曲線規劃足端軌跡與設計的足端軌跡進行運動仿真實驗。

圖6 機器人模型圖

在Adams軟件完成機器人的運動模型搭建，如圖6所示，機器人的控制系統在matlab/simulink下搭建，并進行聯合仿真。機器人結構參數如表1所示，軀干重量分布于四個髖關節位置和軀干幾何中心位置，運動模式為對角小跑步態。

表1 機器人結構參數表

3.2 四足機器人的平地運動仿真

在Adams軟件中的平地運動環境設置兩種足端軌跡步長均為0.07 m，抬腿高度為0.04 m，運動周期為2 s。以下仿真數據中實線和虛線分別代表設計的足端軌跡和五次多項式曲線足端軌跡的機器人運動數據曲線，如圖7(a)中，兩種足端軌跡規劃的機器人運動在30 s后前進方向的位移幾乎一致；如圖7(b)所示，以五次多項式曲線足端軌跡運動的機身質心俯仰角的波動大致在-0.013～0.015 rad，以設計的足端軌跡運動的機身質心俯仰角的波動大致在-0.015～0.022 rad；如圖7(c)所示，以五次多項式曲線足端軌跡運動的機身質心橫滾角的波動在-0.01～0.003 rad，以設計足端軌跡運動的機身質心橫滾角的波動在-0.012～0.005 rad。

圖7 機器人平地行走的仿真實驗主要數據曲線

以上仿真數據證明，以設計的足端軌跡規劃運動和五次多項式曲線規劃運動的機器人在平地上能保證一定運動平穩性，且采用設計的足端軌跡并沒有因為是分段式函數不如完全使用五次多項式曲線規劃的行走曲線更平滑，而導致運動效率下降，機器人運動平穩性也沒有受到過大影響。

3.3 四足機器人的崎嶇地形仿真

崎嶇地形多是由高低不平的地面和未知的可移動障礙物組成，因此通過Adams軟件設置多個高度不同的凸臺和可移動的球體隨機分布在機器人運動范圍內模擬崎嶇地形，如圖8所示。其中凸臺高度最大的為0.055 m，最小的為0.03 m，可移動球體直徑最高為0.055 m，最小為0.03 m，設置兩種足端軌跡步長為0.07 m，抬腿高度為0.06 m，運動周期為2 s。

圖8 仿真環境下建立的崎嶇地形

圖9為機器人通過崎嶇地形時在0 s、10 s、28 s、44 s時的仿真截圖，機器人總共前進了約3 m，歷時50 s，在44 s左右完全通過了仿真環境中所有障礙物。

圖9 機器人通過崎嶇地形的仿真截圖

圖10(a)為四足機器人在崎嶇地形運動時兩種足端軌跡運動的前進方向位移，兩者差距不大。由于機器人受崎嶇地形中的凸臺影響，不可避免的發生側向運動的偏移，如圖10(b)所示，機器人采用設計的足端軌跡通過障礙時的側向偏移位移約為前進位移的6.7%，隨后便保持穩定不再增大。而五次多項式足端軌跡通過障礙時的側向偏移位移約為前進位移的9.0%。如圖10(e)的數據曲線顯示五次多項式足端軌跡機身質心偏移角，明顯大于設計的足端軌跡的質心偏移角，并在完全通過障礙后仍繼續增大。

如圖10(c)，在機器人完全通過障礙以后，設計的足端軌跡的機器人整體恢復平衡質心俯仰角逐漸穩定在±0.015 rad范圍內，而采用五次多項式曲線的足端軌跡的機器人質心俯仰角在-0.02～0.025 rad范圍內波動。另外觀察圖10(d)的數據曲線波動情況，采用五次多項式曲線的足端軌跡運動的機身質心橫滾角在通過崎嶇地面以后仍逐漸變大，容易導致機器人運動側翻，而采用設計的足端軌跡運動的橫滾角在通過崎嶇地面以后則逐漸穩定在±0.01 rad附近。

圖10 機器人崎嶇地面行走的仿真實驗主要數據曲線

綜上所述，可以證明機器人采用設計的足端軌跡能更好地抵御崎嶇地形對機器人運動的干擾，保證一定的運動平穩性和方向準確性，達到了足端軌跡規劃預期要求。

4 結論

本文提出了一種可適應崎嶇地形的復合足端軌跡規劃方法，對設計的足端軌跡的運動特性進行分析研究，并且在matlab/simulink與Adams聯合仿真環境下采用設計的足端軌跡與五次多項式足端軌跡分別在平地、崎嶇環境下進行運動情況對比，仿真結果顯示采用以五次多項式軌跡運動和以設計的足端軌跡運動的機器人均能順利通過平地和障礙物不超過足端軌跡步長80%的崎嶇地面，在平地上運動時以設計的足端軌跡運動與以五次多項式軌跡運動相比平穩性稍遜，在崎嶇地形上以設計的足端軌跡運動的機器人能夠適應橫滾角、俯仰角以及偏移角±0.1 rad內的波動，并在完全通過障礙后恢復平衡，側向偏移位移為前進位移的6.7%，而以五次多項式軌跡運動在完全通過障礙后并未恢復到平衡狀態，側向偏移位移為前進位移的9.0%，因此可以證明以設計的足端軌跡運動的機器人能更好地抵御崎嶇地形的干擾，具有更好的運動平穩性和地形適應能力。