考慮滯回效應的鋰離子電池二階電熱耦合模型?

史永勝符 政劉博親左玉潔王 凡

(陜西科技大學電氣與控制工程學院，陜西 西安 710021)

鋰離子電池是混合動力汽車(HEV)和全電動汽車(EV)中最常用的清潔無污染儲能能源。它具有高能量密度、無記憶效應、長循環壽命等相對于其他電池的優良特性[1]。在研究和開發鋰離子電池時，由于鋰電池的非線性特性，使用穩定、精確的電池模型在應用層面顯得至關重要[2]。

目前主要有三種電池模型:數據驅動模型、物理模型[3－4]以及等效電路模型，由于等效電路模型它的參數化復雜度較低，計算速度快，而被廣泛使用。這種模型由基于充放電狀態的開路電壓(Open Circuit Voltage，OCV)、RC 對，以及歐姆電阻組成[5]，但這種電池模型沒有充分考慮滯回效應以及溫度環境對電池的作用。Zhang Ruifeng 等人[6]發現，電池工作溫度對OCV 荷電狀態特性有顯著影響，因此，為了提高模型的精度，提高電池狀態估計的精度，需要考慮溫度因素。Roscher Michael A[7]在研究中指出，鋰電池會表現出OCV 滯回特性，由于充放電調整后OCV 值的差異，所以會對電池建模以及電池狀態估計問題造成影響。文獻[8]描述了一種考慮溫度因素的二階RC 電池等效模型，但模型未考慮電池的極化效應，導致模型仍存在不小誤差。而文獻[9]對鋰離子電池的遲滯行為進行了研究和建模，但模型未考慮不同溫度下電池狀態，模型也具有一定的局限性。

目前，鋰離子電池主要用作電動汽車的中央動力部件，為了有效使用鋰離子電池，通常需要精確的電池單元建模[10]。針對以上提出模型存在的局限性，文章在寬溫度范圍內，選擇依賴于溫度的電池建模方法，通過將滯回效應由單態滯回模型進行模擬，用于更精確地估計系統電壓的參數，將二階阻容等效電路模型與單態滯回模型結合，再與二態集總參數熱模型進行耦合，利用不同溫度下城市道路循環工況(Urban Dynamometer Driving Schedule，UDDS)工況實驗，以及MATLAB 參數擬合工具箱模擬，對電池模型參數進行辨識。最后將不同溫度下的模型輸出端電壓與真實值比較，最終得出所提出帶滯回效應的電熱耦合模型的高精確性。

1 鋰電池電熱耦合模型

1.1 等效電路模型

本文選擇的等效電路模型為二階RC 網絡模型，用以捕捉鋰離子電池的電氣動態特性[11]。一般來說，該電路的階數越高，即RC 對越多，模型的精確度越高，但其模擬實際電池工況時，軟硬件計算的速率將大大降低。這種建模方法依賴于經驗系統識別技術和實驗數據。圖1 為所提出的等效模型:

圖1 二階等效電路模型

圖中，UOCV(SOC，T)表示開路電壓OCV，它的值取決于電池荷電狀態(SOC)和溫度T。I和u(t)分別表示輸入電流和端電壓。該等效電路模型包括2個RC 對，每個RC 對由并聯的Ri(電阻i)和Ci(電容i)組成(i＝1，2)，它們的值也隨著SOC 與溫度的波動而不定，其中R1、C1分別指代了電化學的極化R和極化C，R2、C2分別指代了濃差極化R和濃差極化C。在圖1 中，R0代表電池的歐姆內阻。對于這個鋰離子電池的模型，使用輸入電流I和端電壓u(t)的實驗數據對圖1 的等效電路進行建模。

我們定義電池完全充電時，SOC ＝z(t)＝1，當電池完全放電時，SOC 定義為z(t)＝0，將電池從z(t)＝1 放電至z(t)＝0 時消耗的電荷總量定義為總容量Q(以Ah 為單位)。因此，SOC 定義為:

以采樣周期Δt采樣并包括效率因子η(t)，將式(1)離散化得到:

其中效率因子η(t)稱為“庫侖效率”，充電時為ηk≤1，放電時ηk＝1。由等效電路結合基爾霍夫電壓定律可得:

式中:UOCV代表開路電壓，U1、U2代表兩個RC 對的壓降，IR0代表歐姆內阻壓降。

1.2 滯回效應

如圖2 顯示了在相同電流值，充電和放電的情況下，25 ℃時OCV 的比較。圖中顯示，在相同的SOC 下，充電OCV 曲線一直比放電OCV 曲線高，這說明OCV-SOC 的關系不是一對一的映射。由于電池的靜置，電池的端電壓將收斂到OCV，所以圖中的這種現象即表明，鋰離子電池的端電壓存在滯回效應[12]。

圖2 實驗得25 ℃下OCV 與SOC 關系

對于一些鋰離子電池，如LiFePO4，如果電池模型不包括滯回效應，則SOC 的估計誤差會增大。因此在以往的等效電路模型的基礎上，本文采用滯回電壓來反映滯回效應，從而提升模型的精確度。

表示滯回可以分為兩種不同的模型，一種是:“零狀態滯回模型”，另一種是:“單態滯回模型”。對于零狀態滯回模型，只需要在狀態空間表示的輸出方程中添加一項:

式中:R0表示電池內阻，ik表示第k個時間步長的電流，sgn()是符號函數，用以判斷充放電信號，M表示滯回電壓。但零狀態滯回模型僅僅表示出完全充電和完全放電周期期間捕捉到的充電和放電之間的差異，而在實際的循環中，頻繁的充電和放電會產生微小的環路，由于電流頻繁的符號變化，sgn(ik)M(zk，Tk)也會經歷同樣復雜的變化[13]。但實際上，滯回電壓是逐漸增加或減少的，并不是瞬時改變。單態滯回模型則可以捕捉到滯回電壓逐漸衰減或增加的現象，以及不同荷電狀態下衰減速率的變化[14]。將滯回相關狀態與SOC 關系由式(5)給出:

式中:h(z，t)稱為滯回電壓，M(z，)是SOC 與SOC變化率的函數，它表示滯回效應引起電池的最大極化電壓。方程中的M(z，)－h(z，t)項表示滯回電壓的逐漸增加或衰減，γ是用于調節衰減率的正值常數，它使得方程在充電和放電時都是穩定的。將等式兩側同時乘以dz/dt，使等式從關于SOC，處理為關于時間t的微分方程，再使用鏈式法則變形得:

假定在充電和放電情況下，最大滯回電壓M分別為負常數和正常數[15]。在式(7)中，如果輸入電流i(k)足夠小，最大滯回電壓M即為零。除了隨著SOC 的變化而變化的動態滯回效應之外，還經常看到在電流符號變化時，建立瞬時變化滯回電壓模型可以帶來的模擬優勢。由定義式(8)得到瞬時滯回電壓為M0s[k]，滯回電壓即可表示為等式(9)。從文獻[16]得到的滯回電壓數據可以看出，在5%～95%的電池工作范圍內，滯回電壓值隨SOC 的變化不大，可以將滯回電壓定義為與溫度相關的變量。

將滯回電壓包含在等效電路模型中，等式(4)可擴展成如下:

式中:Uh表示滯回電壓，這樣我們可以得到如圖3改進過的等效電路模型。

圖3 帶滯回效應的等效電路模型

就計算復雜程度而言，所提出的等效電路模型并不復雜，在計算量適當的同時，實現了捕捉模型動態的合理性以及真實性。

1.3 二態熱模型

本文采用了簡化的二態熱模型來捕捉圓柱形電池的核心和表面溫度，此模型假設發熱位于電池核心，中心的熱通量為零，在文獻[17]中，為了評估表面溫度均勻性假設的有效性，對電池側面和末端表面進行了紅外成像，結果表明，不同表面之間的溫差在2 ℃以內，證明了二態熱模型的合理性，所以可以假設熱量傳遞均勻，沿電池高度的溫度變化被忽略。如圖4 所示為所搭建模型原理圖。定義式寫為:

圖4 二態等效熱模型

式中:Ts、Tf、Tc分別表示電池表面溫度，環境溫度以及核心溫度，Q代表電池芯中的發熱量，等效熱傳導電阻Rc是一個集總參數，它集合了致密和不均勻材料的導熱和接觸熱阻，并模擬了電池芯和表面之間的熱交換。電池表面和周圍冷卻劑之間的熱交換由等效對流電阻Ru模擬。在一些電動汽車應用中，冷卻劑流速是可調的，用以控制電池的溫度，這使得Ru的值隨著冷卻劑流量的變化而變化，但在本文實驗里，冷卻劑流量，即環境空氣保持恒定，以使Ru不變。Cc是電池極組的熱容，模擬電池核心的溫度變化率，Cs是電池外殼的熱容，模擬電池表面溫度的變化率。設采樣時間為Δt，將式(11)離散化得:

1.4 電熱耦合模型

所建立的電模型和熱模型之間的電熱耦合是通過式(11)中的發熱項Q來實現的，鋰離子電池的發熱表達式如下:

式中:I是電池電流，u是電池電壓，T是溫度，ΔHi表示化學反應i的焓變，ri表示i的反應速率，表示樣品j的偏摩爾焓，cj表示濃度，t代表反應時間，v代表反應量，上標avg 表示在體積平均濃度下的評估性能，?UOCV/?T表示溫熵系數，即開路電壓溫度系數。第一項模擬不可逆的發熱，即焦耳加熱和電極上的能量耗散。第二項模擬熵熱，第三項是所有化學反應產生或消耗的熱量，最后一項表示電池內濃度梯度和滯回過程中產生的混合熱。因第三、四項對電池產熱影響很小，可忽略。

電氣子模型和熱子模型通過雙向耦合相互作用，如圖5 所示。

圖5 電模型與熱模型耦合過程

首先，等效電路模型基于輸入電流I，和電參數R0，R1，R2，C1，C2計算電池的SOC，OCV 以及端電壓，利用電模型得出的參數和輸入電流確定發熱量Q，然后熱子模型基于Q和環境溫度Tf計算核心溫度Tc和表面溫度Ts，Tc代表電池集總電極組件的溫度，用于確定電模型的溫度相關參數。

2 模型參數辨識

2.1 等效電路模型參數辨識

為了辨識出電模型的參數，首先需要確定不同溫度下OCV 與SOC 的關系。本文對鋰電池進行了實驗測試，在測試開始之前，將電池充滿電，然后電池非常緩慢地放電至最小工作電壓，同時連續測量電池電壓和累計放電安培小時數，之后電池再非常緩慢地充電至最大工作電壓，同時連續測量電池電壓和累計充電安培小時數。

將收集的數據進行處理，得出OCV 與SOC 的曲線。假設從真實OCV 到放電OCV 和充電OCV曲線的偏差在數量上相等，因此我們將電池的真實OCV 近似為這兩個值的平均值。同時由于使用非常低的電流速率，電池中產生的熱量可以忽略不計，而電池的庫倫效率在不同溫度下并不一致，計算25 ℃的庫倫效率[18]:

不同溫度下的庫倫效率為:

計算各個溫度下的庫倫效率得出如圖6，可見庫倫效率在不同溫度下差距不大，提升計算效率可近似為1。

圖6 不同溫度下庫倫效率

2.1.1 OCV(SOC，T)參數

如圖7 所示，為分析實驗得出35 ℃情況下OCV-SOC 關系圖，計算出不同溫度下每個數據樣本對應的SOC，即可得到圖8 各個溫度下OCV-SOC 的關系曲線。

圖7 35 ℃下OCV-SOC 關系圖

圖8 各個溫度下OCV-SOC 的關系圖

將測量得到的數據，利用MATLAB 中的CFTOOL擬合工具箱進行曲線擬合，擬合函數為:

式中:P1～P8為溫度相關擬合參數，將不同溫度下的OCV-SOC 曲線進行擬合，得到如表1 所示的參數，R-square為確定系數，可以看出系數皆逼近于1，說明曲線擬合程度較好。再將得到的數據通過MATLAB 的surf 函數進行處理，得到OCV(SOC，T)圖，如圖9 所示。

表1 鋰離子電池SOC-OCV 擬合參數

圖9 OCV(SOC，T)三維曲面圖

2.1.2 阻容參數

為了獲取歐姆內阻和RC 對參數，進行了(Hybrid PulsePower Characteristic，HPPC)實驗。實驗得到電池的電壓曲線如圖10 所示。R0的計算是通過歐姆定律實現的，即通過圖10 中的U1～U4以及HPPC 實驗脈沖放電時的放電電流值Id，經式(18)得到:

圖10 HPPC 工況實驗電池電壓曲線圖

將不同溫度下的實驗數據通過計算輸入至MATLAB 中cftool 工具箱進行擬合，將得到的曲線利用節1.1 所述方式進行擬合，得到如圖11 三維曲面圖。

圖11 不同溫度下R0 計算結果

由于電化學極化R1和C1以及濃差極化R2和C2可以由電池放電后靜置區間的測量數據進行計算得到，如圖10，利用U4～U5范圍的數據對電池放電的極化R1、R2和極化C1、C2進行計算，計算方法如式(19):

式中:u(t)，t，I分別表示電池靜置區間內t時刻的端電壓值，時間，電流值。利用cftool 工具進行擬合曲線得到對應b，c，τ1，τ2的值，利用上式計算出電化學極化RC 以及濃差極化RC，最后將不同溫度下的實驗數據進行與R0同樣的數據處理，得到三維曲面圖如圖12 與圖13。

圖12 不同溫度下R1、R2 計算結果

圖13 不同溫度下C1、C2 計算結果

由得到的實驗結果可知，在不同的溫度、SOC下，極化RC 與歐姆內阻R0的數值均會發生不同的改變，可見模型參數對當前時刻電池溫度、SOC 準確度要求較高。對于模型參數將采用MATLAB 中2-D Lookup Table 模塊加以實現。

2.1.3 滯回參數

由于以往的電模型辨識滯回電壓較為困難且計算復雜，本文將采取MATLAB 參數擬合工具箱來得到其滯回參數值。將文章第一章中SOC 定義式(2)，滯回電壓關系式(7)、(8)、(9)以及RC 對關系式(10)結合，利用MATLAB 的Simulink 搭建出等效數學模塊電模型，如圖14。

圖14 Simulink 參數擬合使用模型

通 過 MATLAB/Simulink 中 的 Parameter Estimator 軟件進行仿真迭代，將得到的仿真數據進行擬合，得到圖15 中M、M0與溫度T的函數關系。

圖15 M、M0 與溫度的關系曲線

2.2 熱模型參數辨識

由第一部分的2.1 節可知，所建立的二態熱模型需要辨識的參數等效熱傳導電阻Rc，等效對流電阻Ru，電池極組的熱容Cc以及電池外殼的熱容Cs。假定表面熱容量Cs是已知的，因為它可以根據外殼的比熱容和尺寸很容易地計算出來[19]。Cs的值近似等于4.5 JK－1[20]。為了識別熱模型的集總參數，需要根據以下離散時間參數模型重新排列模型方程:

式中:z為觀測值，θ為參數值，ψ為回歸量，由實測信號組成。參數模型可以將方程(12)和(13)結合起來導出。利用實驗得到測量信號I，u，Ts和Tf代替未測量堆芯溫度Tc，假定Tf被調節為常數，Tf，k＋1等于Tf，k，所以可得到式(21):

設α，β，γ，δ分別為式(21)各項系數，可得z，θ，ψ的表達式，基于參數模型，將最小二乘法用于估計集總參數，可得式(22):

為了使用這里提出的方法確定熱模型參數，進行了實驗室實驗。將電池放在溫度調節至25 ℃的熱室內，表面安裝熱敏電阻進行測量。在實驗裝置中，室內的空氣溫度被認為是熱模型中的冷卻劑流動溫度。以這種方式，第二個熱敏電阻被放置在電池旁邊的熱室內，以捕獲周圍的溫度。使用功率放大器向電池施加頻率為0.05 Hz、幅值為20 A 的對稱周期性電流脈沖，以提高電池的溫度，脈沖是對稱的，以便隨著時間的推移保持電池處于平均充電狀態(50%)。之所以選擇此SOC 值，是因為它是許多應用中使用的平均值(這是針對電池表現出最大充電/放電功率的SOC 周圍的工作條件)。圖16 描述了用于提高電池溫度的輸入電流脈沖，電流施加一小時三十分鐘，然后關閉以允許溫度松弛。使用數字示波器記錄兩個熱電偶的輸出電壓并進一步轉換為溫度。

圖16 用于熱模型參數識別的輸入電流

最后基于實驗得出熱模型參數，如表2 所示。

表2 二態熱模型辨識參數值

對于電熱耦合關鍵的溫熵系數?UOCV/?T，利用熱循環中SOC ＝0.5 時的OCV 變化曲線，溫熵系數通過將曲線擬合成U(T)＝A＋BT＋CT2，其中A、B、C是常數，B對應溫熵系數?UOCV/?T，如圖17。

圖17 溫熵系數?UOCV/?T

基于以上的參數辨識，可將考慮滯回效應的等效電路模型與二態熱子模型進行耦合。

3 仿真及實驗結果分析

文章以A123 26650 型號的ANR26650m1-b 電池為實驗對象，對搭建好的電熱耦合模型進行實驗驗證。實驗分為恒流條件和動態電流條件。

3.1 恒流條件下驗證實驗

對于恒定電流條件，選擇0.5 C，1 C，2 C 恒定電流對電池進行放電實驗，將實驗環境溫度設置為25 ℃，記錄電池在放電實驗中的電壓、溫度變化過程，得到變化曲線，將所得數據和搭建的帶滯回效應的電熱耦合模型，以及未考慮滯回效應的二階RC模型進行數據對比。圖18 所示表示電池在環境溫度為25 ℃時，不同放電恒定電流的電壓變化和溫度變化，其中實線為實驗曲線，虛線為所模型預測曲線，點線為二階RC 模型模擬曲線。

圖18 25 ℃時不同放電恒定電流的溫度與電壓變化

圖18 表明，模型預測溫度與實驗溫度跟隨性較好，隨著放電時間而增加，模型預測的放電電壓也與實驗電壓保持較高的跟隨性。對于電池溫度曲線，可以看出，在1 C 與2 C 放電電流的情況下，放電開始時，電池溫度上升速度較為迅速，在0.5 C 放電情況下，溫度上升較為緩慢，而0.5 C 的誤差也較高于1 C 與2 C。隨著電池溫度的升高，電池與空氣的溫差會增大，熱對流效果會增強，而溫度上升速率則會降低，所以在中期，0.5 C 和1 C 溫度會有一個平緩的上升，但當電池放電速率增加到2 C 時，由于電池內部產生的熱量過大，這種平緩的溫度上升并不存在。而放電結束時，極化電阻令電池大量發熱，導致電池溫度快速升高。對于電池電壓變化，從圖18(b)可看出，所搭建的模型相對于傳統二階RC 模型電壓值更加貼近，擬合精度更高。綜上所述，所建立的帶滯回效應的電熱耦合模型能夠準確描述電池恒流條件下的情況。

3.2 動態電流條件下驗證實驗

由于恒流條件下無法模擬電動汽車真實運行情況，基于此，采用UDDS 動態工況實驗獲得電壓電流曲線，利用MATLAB 搭建好的模型，將辨識出來的參數以及工況電流代入，仿真得出對應曲線與實驗值進行對比，從而驗證所建立帶滯回效應的電熱耦合模型能否較為真實反映電池工作情況。為了提升實驗的說服力，再與同工況下二階RC 模型的電壓值與誤差值進行比較。

UDDS 是用于輕型車輛測試的城市駕駛條件下特定測試方案。對于動態實驗，實驗分為以下三步:①將充滿電的電池在試驗溫度下浸泡至少2 小時，以確保整個電池溫度均勻。②使用1 C 的恒定電流對電池進行放電，放電時間足以耗盡大約10%的容量(有助于確保在動態充電部分避免過電壓情況)③在合適的SOC 范圍內執行UDDS 工況方案，合理性上選擇從90%SOC 到10%SOC。最后在不同溫度下重復進行實驗，得到相應的數據。UDDS 工況電流如圖19 所示，圖19(b)為工況電流放大圖。

圖19 UDDS 工況電流(上圖為整體電流，下圖為放大后部分電流)

由于UDDS 工況電流具有變化幅度不固定的特點，在模擬時鋰電池的滯回效應將會更加明顯，更能反映出電動汽車在運行時電池的工作狀態。圖20與圖21 分別為15 ℃和25 ℃時，UDDS 工況下測量的電池電壓以及曲線誤差對比圖，可以看出所搭建的帶滯回效應的電熱耦合模型的電壓值與實際電壓，雖然有一定程度的明顯誤差，但基本貼合，相對于傳統的二階RC 模型而言，精度更高，貼合度更好。從圖20 和圖21 的誤差放大圖可以看出，所搭建模型誤差更小。

圖20 15 ℃，UDDS 工況實驗得出的電壓曲線(上圖為總圖，下圖為誤差圖)

圖21 25 ℃，UDDS 工況實驗得出的電壓曲線(上圖為總圖，下圖為誤差圖)

在UDDS 工況下，由于電池的工作狀態不斷發生改變，所產生的滯回效應也較為明顯，而文章所搭建的帶滯回效應的電熱耦合模型能夠很好地處理這種現象，相較于以往未考慮滯回效應的電池模型，更好地跟隨鋰離子電池在工況過程中的電壓值，提高了對鋰離子電池的模擬精度。綜上所述，考慮滯回效應電熱耦合模型的誤差在10 mV 左右，比傳統二階RC 模型精度提高了約0.013 V，在不同溫度下，所搭模型的誤差仍舊保持較小水平，模型精度很高。

4 結論

由于傳統的電池模型忽略了電池滯回效應以及溫度對模型精確度所帶來的影響，文章提出了一種考慮滯回效應的電熱耦合等效模型，根據實驗得出數據分析了所建立模型的可靠性。通過MATLAB參數優化工具箱得出了滯回電壓，利用查表法簡化了等效電路模型計算復雜度以及仿真速度，將電模型與建立的二態熱模型耦合，得到電熱耦合模型，在此基礎上，通過不同恒流和動態工況實驗，對所建立的模型進行驗證。

相對于以往的電池模型，本文提出的考慮滯回效應的電熱耦合模型更契合鋰離子電池在不同使用情況下的工作特性，能夠更好地反映不同情況下電池的工作狀態，有著較為出色的魯棒性。仿真及實驗結果表明本文所搭模型的誤差在10 mV 左右，比傳統二階RC 模型精度提高了約0.013 V，在不同溫度下，所搭模型的誤差仍舊保持較小水平，模型精度很高。