基于構造完好曲率模態曲線的損傷識別方法

吳憬 王子超 曾靜 龍超然

[摘? 要]：曲率模態是一種理想的損傷識別參數，他不僅能夠反映并放大結構局部特征變化，還能對損傷位置進行準確的指示。但使用曲率模態作為損傷識別指標必須要提前得知結構初始狀態下的曲率模態數據，這對實際工程中已損壞的結構來說是十分困難的。為解決這個實際工程難題，文章在原有的曲率模態方法基礎上進行了改進，提出了結構完好曲率模態曲線的概念，并采用最小二乘法成功擬合該曲線，進一步利用擬合曲線與曲率模態曲線突變區域圍合的損傷定義面積來判斷結構損傷程度。最后使用ANSYS有限元軟件模擬簡支梁進行數值分析，驗證了該方法的可行性。

[關鍵詞]：曲率模態; 損傷識別; 梁結構; 完好曲率模態曲線; 損傷定義面積

TU313A

結構健康監測是當代橋梁工程學術界和工程界的研究熱點和重點[1-2]，其主要目的是對結構的運營狀態進行評估，有效避免事故的發生，為結構的運維管理決策提供支撐依據。損傷識別是評估結構安全的重要環節，是結構健康監測系統中核心組成部分，因此對損傷識別方法進行研究和分析具有重要的社會價值和經濟價值。若結構發生損傷，必然會致使損傷部位的剛度折減。在外力的作用下，結構的曲率會隨著結構剛度折減而發生變化，所以可以選取振型曲率用于反映結構的損傷狀況[3]。

曲率模態作為結構的中面變形模態，是振型的導出量，能夠反映并放大結構局部特征變化反映結構局部特征的變化，從而實現對結構的損傷識別。本文基于解決曲率模態指標獲得結構初始數據不易的實際工程痛點，提出了一種基于構造完好曲率模態曲線的梁結構損傷識別方法，用于進行梁結構的損傷定位和損傷程度估計，并且無需結構初始狀態下模態參數。

1 曲率模態曲線損傷識別指標

以常見的梁結構為討論對象進行曲率模態的相關理論研究和分析[4]，梁的任意截面x處曲率函數表達式為式（1）：

Q（x，t）=1ρ（x，t）=2u（x，t）x2=∑SymboleB@i=1φ″i（x）qi（t）=MEI（x）（1）

式中：Q（x，t）為曲率函數;ρ（x，t）為曲率半徑;u（x，t）為振動位移;φ″i（x）為第i階曲率模態;qi（t）為模態坐標;M為截面彎矩;EI（x）為抗彎剛度。

根據式（1）得知，當結構發生損傷時，對應損傷位置剛度EI（x）會折減，隨著剛度的減小，曲率會對應增加，從而引起結構曲率模態值的變化。結構的曲率模態曲線在完好未受損時是一條光滑無突變的曲線。曲率模態曲線可以反映出結構局部特征的變化，從而體現結構的損傷情況，在結構損傷位置，曲率模態曲線會出現突變，曲線突變峰值則對應著損傷程度，損傷程度越嚴重，那么曲線的突變程度越明顯。在此基礎上，便可以采用曲率模態作為對結構進行損傷診斷的參數指標。

在應用過程中，結構通常被當成離散的多個單元進行計算，因此使用中心差分法求曲率模態值，其計算表達式為式（2）。

φ″i（j）=φi（j-1）-2φi（j）+φi（j+1）（lj-1lj）2（2）

式中：φi（j）為結構第i階模態在j節點處的振型值;l為相鄰節點的距離。

為了便于結果的比較，對求出的曲率模態值均按照結構完好情況下曲率模態峰值進行歸一化處理。

2 構造完好曲率模態曲線理論基礎

由上一節提及的曲率模態指標應用理論表明，在損傷位置處，曲率模態曲線會出現明顯突變，而其他未損傷位置則是光滑的。依據曲率模態曲線這一特性，可以使用損傷影響區域外的曲率模態曲線剩余點，通過最小二乘法擬合來構造一條光滑曲線，即完好曲率模態曲線，用來取代結構完好情況下的初始模態曲線。

2.1 最小二乘法擬合理論

依據最小二乘法理論[5]，事先預設多項式次數為t，擬合數據的個數為T。如果T=t+1，則擬合的曲線能夠符合全部數據點，但通常情況下為T>t+1。

此t次多項式表達式為式（3）。

y=a0+a1x+a2x2+…+atxt（3）

由擬合最小二乘法可知[6]，在求解該方程組的過程中，舍入誤差會使所求解出現較大誤差。而且方程組的誤差程度會隨著t的增加而越發嚴重，所以多項式次數t不能取值太大，一般取4次。

2.2 損傷定義面積

存在損傷的曲率模態曲線會在損傷部位附近發生曲線突變。損傷定義面積的設定為擬合完好曲率模態曲線與損傷部位突變線所圍合的面積（ABCD），使用損傷定義面積進行結構損傷程度判斷。如圖1所示。

如圖1所示，曲率模態曲線的突變區域能分解成3個部分AB、BC和CD，其突變線方程分別用q1（x）、q2（x）、q3（x）代表。其損傷定義面積公式：

S=∫h2h1（q1（x）-p（x））dx+∫h3h2（q2（x）-

p（x））dx+∫h4h3（q3（x）-p（x））dx（4）

式中：S為損傷定義面積;h為曲線積分界限;p（x）為完好曲率模態曲線方程。

3 結構損傷識別數值分析

3.1 使用曲率模態法進行損傷定位

本節采ANSYS軟件對簡支矩形梁進行損傷識別模擬分析，梁長L=20 m，0.5 m為單元進行有限元網格劃分，將該梁等分成為40個單元，存在41個節點。如圖2所示，截面尺寸為b×h=250 mm×300 mm，材料彈性模量為E=3.25×104 MPa，泊松比為ν=0.2，密度為ρ=2500 kg/m3。預設工況：對簡支梁的11#單元分別進行10%、20%、30%、40%、50%的剛度折減用來模擬損傷。

圖3為使用曲率模態法對有限元簡支梁模型進行損傷識別的結果，從圖中可以反映出曲率模態曲線法對識別損傷位置具有很好的指示效果。

3.2 結構損傷分析

3.2.1 選擇完好曲率模態曲線的待擬合點

如圖3所示，損傷程度越大，曲率模態曲線的突變程度就越明顯，因此損傷程度越低的曲率模態曲線與結構完好曲率模態曲線就越接近，所以這里選擇損傷10%工況下的模態曲線中損傷區域外的點進行擬合，使擬合效果更好。

3.2.2 選擇構造曲線的擬合多項式次數t

前文對擬合多項式次數t的限制展開了討論，因此曲線的擬合取多項式擬合次數t=4，保證擬合出來的曲線更接近結構初始的模態曲線。

3.2.3 計算損傷定義面積

按照式（4）能夠求得梁結構在損傷情況下，發生不同損傷程度的梁結構單元對應的損傷定義面積，結果見表1。

3.2.4 擬合損傷程度函數曲線

根據表1中的數據，將損傷程度與梁結構的損傷定義面積進行多項式擬合，能夠得到結構在不同損傷程度下損傷單元對應的損傷程度函數表達式：

y=7.1548x3-6.6811x2+2.9518x-0.0081

從表達式可以發現，梁結構的假定損傷單元的損傷定義面積會隨著結構損傷程度的增加而呈非線性增加，損傷定義面積的增長率也隨結構損傷程度增加而增大。

4 結論

本文詳細介紹了運用構造完好曲率模態曲線的方法進行梁結構損傷識別的理論依據，再利用損傷區域外的待擬合點進行最小二乘法擬合來構造一條完好曲率模態曲線，并計算出損傷定義面積，將損傷程度與損傷定義面積相關聯進行多項式擬合，能夠求得損傷程度函數表達式，以判斷結構在該處相應的損傷程度。主要結論：

（1）采用有限元模擬的方法驗證了基于構造完好曲率模態曲線的損傷識別方法能夠準確定位梁結構的損傷位置，并對結構的損傷程度作出定性分析。

（2）通過擬合損傷定義面積與損傷程度的函數表達式和關系曲線來判斷結構損傷程度，損傷面積越大，代表損傷程度越高。

（3）使用最小二乘法進行曲線擬合，并結合數值模擬驗證了通過此方法構造出梁結構的完好曲率模態曲線是可行的，且不需要完好狀態下模態參數，解決了結構在損傷后初始模態參數難以測得的工程難題。

參考文獻

[1] 歐陽歆泓，徐一超.橋梁檢測與監測技術的發展趨勢[J].工程技術研究，2020，5（24）：236-237.

[2] 吳憬.基于曲率模態的梁結構損傷識別方法研究[D].重慶：重慶大學，2019.

[3] 徐飛鴻，朱檢，張婷婷.基于曲率模態曲線的結構損傷識別方法[J].世界地震工程，2015，31（4）：36-42.

[4] 李德葆，陸秋海，秦權.承彎結構的曲率模態分析[J].清華大學學報： 自然科學版，2002（2）：224-227.

[5] 杰拉爾德，惠特萊.應用數值分析[M].北京：機械工業出版社，2006.

[6] 徐典，楊佑發.基于柔度曲率曲線的結構損傷識別方法[J].建筑結構學報，2012，33（12）：147-152.