基于有限元法的正交直齒面齒輪分扭傳動系統嚙合剛度計算

張 濤 朱 楚 熊劍鋒

（中國航發湖南動力機械研究所，湖南 株洲 412002）

面齒輪傳動（Face Gear Drive）是一種面齒輪和圓柱齒輪相嚙合的傳動結構，相比于錐齒輪傳動，由于面齒輪傳動不受軸向力作用，其軸承支撐系統可以設計得比較簡單，系統結構重量上有明顯優勢，已在新一代阿帕奇直升機傳動系統中成功應用。

Litvin F.L[1-5]等人基于切削蝸桿的生成方法建立了與漸開線小直齒輪嚙合的面齒輪傳動形式，提出了一種分析方法，確定了切削蝸桿的參數和修整方法，并開發了小齒輪和面齒輪嚙合接觸應力計算程序，對面齒輪傳動副進行了接觸分析。

唐進元在面齒輪傳動的基本理論、嚙合特性、接觸特性、強度、誤差檢測、動力學以及粗精加工等方面開展了較為全面的研究[6-9]。

1 正交直齒面齒輪分扭傳動系統有限元建模

本文的面齒輪分扭傳動系統結構為上、下兩個面齒輪分別與中間的五個直齒輪同時嚙合，上、下兩個面齒輪同軸布置，中間五個直齒輪與面齒輪軸線垂直，左、右輸入齒輪和左、右惰輪以面齒輪軸線與尾傳惰輪軸線組成的中間平面為基準對稱布置，其結構如圖1 所示。面齒輪分扭傳動系統各輪齒參數如表1 所示。

圖1 面齒輪分扭傳動系統結構

表1 面齒輪分扭傳動系統齒輪參數

一般地，有限元建模分為模型導入、裝配、網格劃分、定義材料屬性、定義載荷與邊界條件、提交計算與提取結果等幾個步驟。將面齒輪分扭傳動系統中的圓柱齒輪和面齒輪導入Hypermesh 中進行網格劃分，并將劃分好的面齒輪分扭傳動系統網格模型導入ABAQUS 中，進行以下前處理操作。

1.1 設置材料參數

齒輪采用9310 鋼材料，彈性模量為200GPa，泊松比為0.316。

1.2 定義接觸對

建立接觸對按以下原則：

1.2.1 一對齒輪副中常有幾個輪齒同時接觸的情況，一定從旋轉方向最后一個接觸的輪齒開始，建立接觸對。

1.2.2 盡量控制接觸的兩個輪齒網格密度一致。

1.2.3 在不能判斷接觸對上哪個面為受力面時，把輪齒的正面和背面都選中為一個曲面，仿真過程自動輸出作用力，并可根據應力云圖判斷實際的受力情況。

1.3 設置分析步

按四個步驟進行仿真：第一步建立接觸；第二步從動輪釋放約束，并施加一個小載荷；第三步施加實際載荷；第四步施加轉角。

1.4 邊界條件

采用靜態隱式計算方法，模擬系統在靜態（無轉速）的受力情況（不考慮各輪齒重力）。系統有限元仿真模型中，根據實際工況（輸入轉速和額定負載等）設邊界條件如圖2，上、下面齒輪采用全局坐標系，五個直齒輪采用各自旋轉中心為原點建立的局部坐標系；負載扭矩分別加載到尾傳齒輪和上面齒輪。載荷工況為：上面齒輪負載扭矩21000N·m，尾傳負載扭矩1000N·m。本文所述計算方法不考慮輸入到輸出的效率損失。建立好的面齒輪分扭傳動系統有限元分析模型如圖3 所示。

圖2 坐標系與邊界條件

圖3 面齒輪分扭傳動系統有限元整體模型

2 面齒輪副齒輪嚙合剛度計算方法

在上述有限元計算結果中可直接提取全局坐標系下，各齒輪副的接觸力和接觸點坐標以及各輪齒嚙合過程中的實際轉角等參數。這些參數是剛度解析計算中的中間變量。在直齒輪剛度計算中，力臂往往看成恒定值，用基圓半徑代替。然而，本面齒輪分扭傳動系統多用于重載工況，輪齒模數相對較大，相應的輪體尺寸較大。因此，在計算嚙合剛度過程中，為減少理論誤差，有必要計算精確的時變力臂。

如圖4 所示，單齒嚙合周期內，假設面齒輪齒面嚙合軌跡上一系列點的坐標為Pi（xi，yi，zi），Pi點受到的接觸力為Fi，且該接觸力的各軸分力分別是fx，fy，fz。面齒輪軸線為L。Qi是接觸力Fi所在的延長線上另一點。點Qi和Si為軸線L 和接觸力Fi延長線的公垂線上兩點。面齒輪約束在它軸線上的M 點。

圖4 齒輪副接觸時變力臂

根據空間幾何原理，全局坐標系[O；x，y，z]中，軸線L的方向向量為

接觸點Pi 的接觸力所在的延長線方向向量為

軸線和受力線的公垂向量可用這兩個向量的矢積表示為

又因為O 是軸線上一點，Pi是受力延長線上一點，這兩點可構建向量

公式（4）向量在公式（3）公垂向量方向上的投影即為空間垂直距離，該垂直距離即為精確的力臂，即

帶入各向量坐標值，時變力臂的計算公式可簡化為：

根據時變力臂和傳遞誤差即可計算輪齒所對應的變形量：

在實際工況下，對于同軸面齒輪分扭傳動系統中的任何一個齒輪副，都有可能有多個輪齒同時進行嚙合，從而會出現單齒嚙合和多齒嚙合的交替情況。研究單齒嚙合區的動力關系時，輪齒對可簡化為彈簧系統。故單齒對的嚙合剛度可計算為

多齒嚙合區時，齒輪副等效于多個彈簧系統同時發生作用，假設同時嚙合的單齒對數為i。根據變形關系，多個輪齒同時接觸時，齒輪副整體變形時所消耗的能量是各個接觸的單齒變形時消耗的能量的總和。所以，多齒嚙合的綜合嚙合剛度，等效于多個彈簧的并聯剛度，即齒輪副的嚙合剛度為

3 正交直齒面齒輪分扭傳動系統嚙合剛度計算

根據本文建立的面齒輪分扭傳動系統有限元分析模型和嚙合剛度計算方法，采用表2 中的工況參數，計算得到了圖5 中面齒輪分扭傳動系統結構各齒輪嚙合副的時變嚙合剛度，如圖5 所示。

表2 工況參數

由圖5 可知在同軸直齒面齒輪分扭傳動系統中，所有齒輪副的嚙合剛度是有差異的，本質原因是不同的齒輪副受力大小不一致。總體來說，惰輪構成的齒輪副的嚙合剛度最小，這是因為惰輪本身受力較小。由于結構的對稱性（相對于尾傳軸線），當與同一個面齒輪構成齒輪副時，左、右輸入輪的嚙合剛度基本是一致的，左、右惰輪的嚙合剛度也基本是一致的。

圖5 面齒輪分扭傳動系統嚙合剛度

4 結論

建立了面齒輪分扭傳動系統有限元仿真分析模型，推導得出了面齒輪副嚙合剛度的解析計算方法，并計算得到了面齒輪分扭傳動系統結構各齒輪嚙合副的時變嚙合剛度曲線，為后續的系統動力學分析提供了準確的剛度激勵。