基于卡爾曼GM(1，1)模型的基坑變形分析研究

王炳新

(遼寧省有色地質一○一隊有限責任公司，遼寧 撫順 113006)

1 引 言

隨著社會經濟的快速發展，現代城市樓房的高度越來越高，高樓層有利于提高空間利用率，減少土地資源的浪費，提升城市形象等優點，但同時也存在樓層過高，高樓層結構變形及樓層基坑變形也更加復雜。為了保證建筑物基坑在施工期間的穩定性，有必要在施工期間對基坑進行變形監測，對基坑變形監測數據進行數據分析，分析基坑形變規律，合理預測基坑變形趨勢，對建筑物安全施工具有重要的意義。在變形監測數據處理和分析方面，國內外已有許多學者針對Kalman濾波和GM(1，1)模型在沉降數據分析和預測進行了研究。孫昌瑜等人研究傳統GM(1，1)模型和改進背景值的GM(1，1)模型，對傳統灰色理論GM(1，1)的背景值進行參數優化，證明了改進背景值的新陳代謝GM(1，1)模型在建筑物結構變形中預測分析的優越性和合理性，有效分析并預測了建筑物特征點的變形規律。姜剛[2]結合變形體變形規律特點，利用Kalman濾波理論消除了變形監測數據中的隨機噪聲的擾動影響，再結合傳統灰色模型理論進行變形規律分析和預測，驗證了其建立的GM(1，1)模型的可靠性。蔣濤[3]針對含有噪聲的數據不能用單一GM(1，1)進行預測估計問題，提出了基于Kalman濾波的GM(1，1)濾波的穩健估計模型，有效解決了大壩觀測數據擾動噪聲大而導致的數據預測不準問題。

2 灰色理論GM(1，1)模型理論

灰色理論GM(1，1)的建模流程可按如下進行，首先假設一組初試數據序列，記為X(0)。

(1)

對初始數據序列X(0)進行一次疊加計算，即可得到一組新數據序列X(1)。

(2)

根據X(1)數據序列，計算其平均值序列Z(1)。計算平均值序列結果如下：

(3)

推導灰色模型微分方程形式如下：

X(0)(k)+aZ(1)(k)=b

(4)

注(4)：α為發展系數，b為灰作用量。

根據(4)推導其白化型微分方程為：

(5)

則(4)推導其差分形式為：

X(0)(ki)+aZ(1)(ki)=b

(6)

對白化微分方程積分，灰色發展參數α和灰作用力b利用最小二乘法求得：

(7)

推導響應函數如下，則灰色理論GM(1，1)模型預測方程為：

(8)

(9)

3 卡爾曼濾波

Kalman濾波是一種針對數據降噪處理的濾波算法，Kalman濾波算法能減少隨機誤差的影響，較為真實地還原數據中包含的有效信息，通過對被提取信號進行濾波處理，獲得被提取信號的過濾方法，達到過濾觀測數據中噪聲信號的作用[4～6]。

離散Kalman的狀態和觀測方程可表示如下。

(10)

式中Xk為k時刻的n×1的系統狀態矩陣，同理Xk-1為上一時刻的系統狀態矩陣，式中所有k代表時刻。Fk/k-1為n×n狀態轉移矩陣，Bk-1為n×r控制輸入增益矩陣，uk-1為r×1的控制輸入矩陣，wk-1為r×1的狀態方程動態誤差(process noise)。Lk為n×1的觀測矩陣，Hk為m×n的觀測矩陣，vk為動態觀測噪聲(measurement noise)。其中，wk-1和vk為高斯白噪聲，協方差分別為Q和R，Q和R均滿足高斯分布條件，即：

p(w)∈N(0，Q)，p(v)∈N(0，R)

(11)

根據最小二乘原理，遞推隨機卡爾曼濾波公式如下：

(12)

卡爾曼濾波一步預測推導方程如下：

(13)

Kalman濾波增益矩陣為：

(14)

Kalman濾波狀態矩陣估計量如下：

(15)

根據Kalman濾波的狀態矩陣方差矩陣為

Pk=(I-KgkHk)Pk/k-1

(16)

4 工程案例

根據沈陽市某工程施工期間基坑監測數據展開分析，基坑周圍共布設有15個監測點(圖1中用藍色三角形表示基坑監測點)，選取5#基坑監測點的第50-60期監測數據展開數據分析。

圖1 基坑位移監測點平面布置圖

4.1 Kalman濾波模型

首先通過MATLAB 2016a軟件編程實現Kalman濾波原理，通過Kalman濾波處理原始監測數據，減小由觀測噪聲引起的數值波動，得到相對平滑且更真實變形規律的過濾值[9]。

根據Kalman推導理論，基于MATLAB建立Kalman濾波數學模型，對選取的原始數據進行濾波降噪處理。選取5#號點沉降變形方向進行Kalman濾波處理，選5#號點第50期-59期沉降監測數據進行分析，5#監測點經過長時間推移，變形趨勢基本趨于穩定，理論上認為其監測點沉降速率是均值恒定不變的，并將其位置變化和位移速度作為系統中的狀態參數，設置狀態轉移矩陣Fk/k-1=1，代表前后期次的沉降速率大致相同，第50期觀測值作為Kalman濾波程序的初始值，初始系統狀態矩陣為X0=[E，△λ]T，E為首期的觀測數據，△λ是首期觀測的沉降速率(變形速率=(下一期觀測值-上一期觀測值)/觀測周期間隔天數)，t代表間隔天數。本次建立的Kalman濾波系統沒有控制輸入源，故uk-1=0。初始方差陣P0根據第1期實測觀測量所對應的方差陣確定，其位置的每期實際沉降變化率視為過程噪聲wk。

根據上述描述的參數，系統狀態方程為：

Xk=Xk-1+wk-1

式中：w為狀態方程的過程誤差，因為根據假設情況，5#監測點經過長時間推移，變形趨勢基本趨于穩定，理論上認為其監測點沉降速率是均值恒定不變的，但實際我們的假設可能與實際的沉降速率有差異，故差異用wk-1來表示，實際狀態過程誤差根據每2期沉降量之間的差值，再除以2期的間隔天數，求得2期之間的沉降速率，本次數據共選取了10期沉降量數據，第50期和第51期的沉降速率計算結果w0=0.044 mm/5天。

系統的觀測方程為：

Lk=HkXk+vk

過程噪聲協方差Q=4e-4；反映連續2期沉降量的差值，設測量協方差R=1，反映測量水準儀的測量精度，上述協方差對應的高斯白噪聲p(w)∈N(0，Q)，p(v)∈N(0，R)高斯分布條件。

QR調參時，首先，Q作為過程噪聲協方差，Q數值越小，說明卡爾曼濾波系統對模型預測值信任程度更高，故可將Q從小往大調整，反之則模型預測可靠性越差；R是測量噪聲協方差，測量噪聲的擾動體現出實際測量的精確程度，R設置如果過大，則說明測量的精度不夠或者測量值的可靠性不高，過大的R值會導致卡爾曼濾波系統計算迭代速度會變慢，這說明系統對于新測量值的信任程度不夠，需要多此迭代來減小R過大的影響，R設置過小，R越小系統收斂速度越快，但R過小容易出現數值震蕩，無法收斂的情況。實際對基坑5#監測點的建模調參過程中，Rk和Qk根據經驗值設置其初始值Qk=4e-4和Rk=1。QR具體調整時，先固定一個參數值去調整另外一個值，看實際系統的收斂速度和輸出波形情況，若出現問題，按照上述QR調整方式調整Kalman濾波系統。

完成上述后，接著對Kalman系統對應的協方差(corariance)進行更新：Pk/k-1=FPk-1/k-1FT+Q

由于前面假設前后2期的變形速率恒定，那么F=1，那么協方差的更新公式為：Pk/k-1=Pk-1/k-1+Q，按照此公式完成現在狀態的預測。再根第K期沉降量的測量值，結合第K期的先驗估計值和實際的測量沉降值，我們可以計算出第K期沉降量的最優結果，如下：

其中，Kg是卡爾曼濾波增益，即Kalman系統整體對于估計沉降量和實際沉降測量值的可信度，根據中誤差計算出水準測量誤差的首期均方差為 0.4 mm，而我們對于系統穩定性的預測均方差為 0.044 mm，故最優結果更加偏向于實際測量值，即實際測量的結果可信度更高。

每一次迭代的Kalman濾波增益矩陣按如下公式計算。

最后，更新第K期沉降量狀態下的協方差，Pk= (I-KgkHk)Pk/k-1，上述過程完成一次Kalman系統的濾波迭代過程[10，11]。直到完成所有的卡爾曼系統迭代過程，系統結束。

核心Kalman濾波MATLAB程序如下過程所下。

%Kalman濾波程序

Xkf=zeros(2，N)；

Xkf(：，1)=X(：，1)；%卡爾曼濾波狀態初始化

M(1，：)=Xkf(：，1)；

for i=2：N

Xn=phi*Xkf(：，i-1)；%預測

M(i，：)=Xn；

P1=phi*P0*phi'+Q；%預測誤差協方差K=P1*H'*inv(H*P1*H'+R)%Kalman增益

Xkf(：，i)=Xn+K*(Z(：，i)-H*Xn)；%狀態更新

P0=(eye(4)-K*H)*P1；%濾波誤差協方差更新

end

建立該點MATLAB數據模型，經過第50～59期迭代處理后，基坑5#監測點處數據分析對比情況如表1所示。

5#監測點Kalman濾波模型數據分析表 表1

由表1分析可知，Kalman模型殘差值最小殘差值為 -0.69 mm，最大殘差值為 -1.90 mm，總體Kalman模型殘差較小，說明建立的Kalman模型精度相對較高，經過Kalman濾波的降噪處理后，Kalman濾波有效減弱了測量誤差的影響[12]。

4.2 多種預測模型對比分析

基于灰色模型GM(1，1)理論建立數學模型，基于前50-59監測數據[13]，預測第60期監測數據，此為實驗1。建立Kalman模型，經過濾波校正后的Kalman模型，預測第60期Kalman最優估值，此為實驗2。將前50～59期經過Kalman濾波降噪處理后的數據，結合灰色數學模型GM(1，1)，預測第60期監測數據，此為實驗3。將原始觀測數據和實驗1-3進行數據對比如表2、圖2所示。

模型實驗數據擬合和預測表 表2

圖2 5#基坑監測點累計監測值與預測沉降量分析圖

4.3 數據分析結果

將5#處原始監測數據和擬合預測實驗1-3進行數據對比分析如圖2所示。根據表2分析可知，實驗3最大殘差為 0.28 mm，最小殘差為 0.57 mm，實驗3模型殘差最大和最小值均小于實驗1和實驗2，說明實驗三模型精度相對較好，在本基坑監測項目中，實驗3擬合預測的情況優于實驗1-2的分析方法[14]。圖2分析可知，實驗1-3的總體擬合趨勢和原監測數據一致，實驗三與原始數據擬合程度最高，說明實驗3的模型精度較優，能更真實地反映基坑變形情況[15]。

5 結 語

本文詳細介紹了基于Kalman濾波的GM(1，1)模型在建筑物基坑變形分析和預測中的應用研究，首先研究灰色理論模型和Kalman濾波模型的理論，通過3種實驗方法，分別是基于GM(1，1)和Kalman濾波預測分析，以及基于Kalman濾波的GM(1，1)預測分析模型，通過不同類型的擬合模型預測和原始監測數據對比分析，得出以下結論：

(1)驗證了基于Kalman濾波模型的GM(1，1)的殘差優于單種Kalman和GM(1，1)模型擬合分析手段。

(2)驗證了本文方法精度能夠適用于建筑物基坑變形監測數據分析，對建筑物基坑變形數據監測分析和變形預報工作具有一定的實際應用價值。