基于抽象素養培養的變式教學探究
——以2018年高考全國卷Ⅰ理科第16題為例

324022 浙江省衢州第三中學 湯小青 陳 旭

變式教學的教學策略包括概念性變式和過程性變式

.

概念性變式是指構建合適的變異維度，讓學生體驗學習對象的關鍵方面，形成對概念的本質理解

.

過程性變式旨在提供適當的鋪墊，幫助學生形成學習對象與已有知識的內在、合理的聯系

.

兩種變式策略共存互補、相互促進，分別在不同情境、不同階段發揮作用

.

數學抽象素養的形成包含概念、規則的獲得，命題和模型的提出，知識結構和體系的形成

.

通過概念性變式教學，學生能從多角度體驗學習對象的數學本質，更好地獲得概念和規則；通過過程性變式，學生能更合理地構建知識的內部聯系，形成知識結構和體系

.

因此，變式教學的開展更有利于抽象素養在課堂教學中的落地生根

.

筆者以2018年高考全國卷Ⅰ理科第16題為例，從變式教學層面進行抽象素養培養的探究

.

一、 原題再現

原題

(2018全國卷Ⅰ理-16) 已知函數

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

，則

f

(

x

)的最小值為________

.

二、 變式教學設計

為便于不等式的使用，將原題變為以下變式

.

變式

已知函數

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

,則

f

(

x

)的最大值為________

.

(一)單調性開路

變式解法1：

函數

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

周期為2π，故只需求解一個周期內的最大值即可

.

求導可得

f

′(

x

)=2cos

x

+2cos(2

x

)=2cos

x

+4cos

x

-2=2(cos

x

+1)(2cos

x

-1)

.

故當時，

f

′(

x

)≥0；當時，

f

′(

x

)≤0

.

故函數

變式解法2：

由萬能公式可得故

y

=

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

=令則那么則函數

y

=

g

(

t

)在區間上

y

′<0，在區間上

y

′>0

.

所以時，函數的最大值為

變式1

求函數的最大值

.

解法1：

換元，令則后續參見變式解法1

.

解法2：

直接求導進行求解，后續解答過程略

.

變式2

求函數的最大值

.

變式2解法與變式1類似，此處略

.

設計意圖：

利用所學知識尋求普適性的方法是解題教學的首要任務

.

利用導數求解函數單調性，進而解決最值問題，是求解所有可導函數最值問題的通法

.

從最值的層面更好地構建導數在函數問題中的價值

.

(二)應用不等式初探

變式解法3：

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

=2sin

x

·(1+cos

x

)，則

f

(

x

)=4sin

x

，那么結合基本不等式可得當3-3cos

x

=1+cos

x

，即時取等號)，所以當時取得)

.

或者結合那么可以化為

變式3

求函數的最大值

.

解法1：

換元，令則

y

=sin

θ

cos

θ

，利用類似變式解法3的方法處理

.

解法2：

利用基本不等式求解，當時取得最大值)

.

變式4

求函數的最大值

.

解法1：

換元，令則

y

=sin

θ

cos

θ.

解法2：

利用基本不等式求解，當時取得最大值)

.

設計意圖：

從基本不等式的角度，利用四階基本不等式構造和為定值，進而求得乘積的最大值

.

利用三角恒等變換將題中和的形式轉化為乘積形式，再結合不等式進行處理，理順了三角函數中的不等式使用思路

.

(三)應用不等式再探

變式解法4：

f

(

x

)=4

第一個柯西不等式取得等號的條件和第二個二次型函數最值取得等號的條件相同，為

變式解法

當時取得等號)

.

變式5

求函數

y

=

f

(

x

)=sin

x

+sin2

x

+sin3

x

的最值

.

解：

f

(

x

)=sin

x

+sin2

x

+sin3

x

=2(sin

x

cos

x

(柯西不等式等號和二次函數最大值條件一致，即

設計意圖：

從乘積和的結構出發，結合柯西不等式進行系數的構造，使得前后的等號一致；從乘積的形式，分別構造基本不等式，進行系數的構造使得前后的等號一致

.

從結構出發，發現不同的思考角度，多角度揭示問題的本質

.

進一步強化利用不等式解決最值問題的基本思路

.

(四)數形結合顯威

變式解法6：

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

=2sin

x

·(1+cos

x

)，

P

(cos

θ

+1,sin

θ

)為

C

:+

y

=1上的點，只需求

x

·

y

=

c

的最大值

.

由圖1,令則

h

(

x

)與圓相切時

c

最大

.P

點切線的斜率為所以解得舍去，此時故

圖1 相切求最值

變式6

求函數

y

=

f

(

x

)=sin(2

x

)+2sin

x

+2cos

x

+2的最大值

.

解：

f

(

x

)=sin(2

x

)+2sin

x

+2cos

x

+2=2(sin

x

+1)·(cos

x

+1)，

P

(cos

θ

+1,sin

θ

+1)為

C

:=1上的點，求

x

·

y

=

c

的最大值

.

令則

h

(

x

)與圓相切時

c

最大，

P

點(cos

θ

+1,sin

θ

+1)切線的斜率為所以解得(cos

θ

=-1舍去)，故

變式解法7：

y

=

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

=2sin

x

·(1+cos

x

)，構造單位圓的內切等腰三角形，如圖2，設∠

BOD

=

x

，則

DO

=cos

x

，

CD

=1+cos

x

，

BD

=sin

x

，

AB

=2sin

x

，所以

S

△=sin

x

(1+cos

x

)，所以要求函數

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

的最大值等價于求

S

△面積的最大值

.

設∠

COB

=

α

,∠

AOB

=

β

,∠

AOC

=

γ

,則由琴生不等式可得當時取等號

圖2

設計意圖：

此題利用“sin

θ

(1+cos

θ

)”構造圓

C

:+

y

=1，利用“2sin

x

(1+cos

x

)”構造單位圓的內切三角形的面積

.

以三角函數的特性為媒介，從圖形角度詮釋三角表達的內涵，利用圖形轉化解題方向

.

數形結合是高中數學的重要思維，通過多角度探究，學生經歷多維度思考，提升數形結合的思維層次

.

(五)高觀點立意

變式解法8：

因為

y

=sin

x

在為上凸函數，由琴生不等式可得

y

=

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

=sin

x

+sin

x

+sin2

x

=sin(π-

x

)+sin(π-

x

)即當時取等號)

.

當時，故函數

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

在區間(0,π)上最大值為函數

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

在區間(0,π)上的最小值必然大于-1，因為函數

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

是奇函數，所以在(-π,0)上的最大值小于由周期性可得函數

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

的最大值為

變式7

求函數的最大值

.

解：

因為

y

=sin

x

在為上凸函數，由琴生不等式可得即當時取等號)

.

變式8

求函數的最大值

.

解：

因為

y

=sin

x

在為上凸函數，由琴生不等式可得即時取等號)

.

設計意圖：

2019年人教版高中數學新教材必修一第三章復習參考題中就有“求證：若

g

(

x

)=

x

+

ax

+

b

，則這一與函數凹凸性緊密結合的題型

.

從函數的凹凸性到琴生不等式，利用琴生不等式解決函數的最值問題，為函數最值的知識結構增加了重要的組成部分，也可將琴生不等式的使用條件一般化為“

y

=

f

(

x

)=

a

sin(

bx

)+

c

sin(

dx

)，其中

ab

=

cd

”

.

三、 反思與總結

(一)通過變式教學設計完善知識結構，形成知識體系

函數最值問題的知識結構和體系較為復雜，結合三角公式、三角函數可以實現形式的多變性，在多種形式的基礎上融合多種方法，進而幫助學生更好地抽象出函數最值問題的知識結構和體系

.

從通法的角度利用導數研究單調性求最值，結合萬能公式，再利用求導求最值；將基本不等式、柯西不等式的形式特點和三角函數的公式變形進行有機結合，讓結構的形式和問題的實質相融合；利用問題的結構特征構造反比例函數和圓的相切、構造單位圓的內切三角形面積，讓抽象的代數與直觀的圖形相融合；從函數的凹凸性觀點，進一步揭示問題的實質

.

(二)通過變式教學設計一題多解，抽象出問題的實質，提升思維品階

數學核心素養水平的提升，思維能力的進階，是一個有序的過程

.

通過合理的變式教學設計、多維度逐層深入的變式，學生經歷由通性通法到多種不等式探究、再到數形結合、最后在高觀點下立意的探究過程，在逐層深入的過程中逐步揭開問題的實質，不斷提升數學核心素養水平，發展高階思維

.

(三)通過變式教學設計多題一解，抽象方法的內涵，形成一般性結論

在變式教學設計中，每一維度都設計多個變式，實現多題一解，使學生多角度認知方法，形成一般性的結論

.