關注幾何平移，實例解讀探究

王松濤

【摘要】平移問題是初中數學重點問題，常見線段、圖形和曲線平移，前兩個主要為幾何特性分析，后者則注重數形結合推導.問題解析時需從平移中提取幾何特性，結合平移規律建立模型、分析推導.

【關鍵詞】幾何平移;拋物線;數形結合

1 三角形平移的特性分析

例1 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12.在Rt△DEF中，∠F=90°，DF=3，EF=4.用一條始終繃直的彈性染色線連接CF，Rt△DEF從起始位置（點D與點B重合）平移至終止位置（點E與點A重合），且斜邊DE始終在線段AB上，則Rt△ABC的外部被染色的區域面積是?? .

分析 設點D和F平移到終點后的對應點分別為D′和F′，連接FF′，連接CF和CF′，以AB的交點分別設為M和N，再過點C作FF′的垂線，設垂足為I，與AB的交點設為H，如圖2，則梯形FMNF′的面積就為所求區域的面積.

解析 可知四邊形BFF′D′為平行四邊形，則FF′=BD′=AB-AD′=10.在△ABC中使用面積公式求CH的值，即12CH·AB=12AC·BC，可求得CH=365.FF′∥NM，在△AD′F′中使用面積公式求HI的值，即12HI·AD′=12DF′·AF′，可求得HI=125，則CI=CH+HI=485.由于FF′∥NM，則CHCI=MNFF′，可解得MN=152.

則梯形FMNF′的面積為S=12MN+FF′HI=12×152+10×125=21.

2 矩形平移的綜合探索

例2 如圖3①中矩形ABCD與以EF為直徑的半圓O在直線l的上方，線段AB與點E、F都在直線l上，且AB=7，EF=10，BC>5.點B以1個單位/秒的速度從點E處出發，沿射線EF方向運動，矩形ABCD隨之運動，運動時間為t秒.

（1）如圖3②，當t=2.5時，求半圓O在矩形ABCD內的弧的長度;

（2）在點B運動的過程中，當AD、BC都與半圓O相交，設這兩個交點為G、H連接OG，OH.若∠GOH為直角，求此時t的值.

分析 （1）t=2.5時，BE=2.5，設BC與⊙O交于點M，如圖4所示，則半圓O在矩形ABCD內的弧的長度為ME.

解 可知OE=12EF=5，則OB=2.5，即BE=OB.分析可證△MBE≌△MBO（SAS），則ME=EO=MO，即△MOE是等邊三角形，∠EOM=60°，所以ME=60π×5180=5π3.

（2）求平移中∠GOH為直角時t的值，連接GO和HO，如圖5所示，此時∠GOH=90°.分析可推得∠AGO=∠BOH.

在△AGO和△OBH中，有∠AGO=∠BOH∠GAO=∠HBO=90°OG=OH，

則△AGO≌△BOH（AAS），所以AG=OB=BE-EO=t-5.

已知AB=7，AE=BE-AB=t-7，AO=EO-AE=5-（t-7）=12-t，在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2，則（t-5）2+（12-t）2=52，可解得t1=8，t2=9，即t的值為8或9秒.

3 拋物線平移的模型構建

例3? 已知二次函數y=x2+（m-2）x+m-4，其中m>2.

（1）當該函數的圖象經過原點O（0，0），求此時函數圖象的頂點A的坐標;

（2）求證：二次函數y=x2+（m-2）x+m-4的頂點在第三象限;

（3）如圖6，在（1）的條件下，若平移該二次函數的圖象，使其頂點在直線y=-x-2上運動，平移后所得函數的圖象與y軸的負半軸的交點為B，求△AOB面積的最大值.

分析 （1）簡答，函數圖象頂點A的坐標為（-1，-1）.

（2）簡答，設拋物線的頂點坐標為

2-m2，-m2+8m-204，

解 可知-m2+8m-204=-14（m-4）2-1≤-1<0，所以二次函數的頂點在第三象限.

（3）設平移后圖象對應的二次函數表達式為y=x2+bx+c，則其頂點坐標為-b2，4c-b24，可推得點B（0，c），其拋物線頂點在y=-x-2上運動，則滿足其方程，代入后可解得c=b2+2b-84.由于點B在y軸的負半軸上，則c<0，所以OB=-c=-b2+2b-84.

過點A作y軸的垂線，設垂足為H，如圖7所示，由點A（-1，-1）可推知AH=1.在△AOB中，可知S△AOB=12OB·AH=12×-b2+2b-84×1=-18（b+1）2+98，分析可知，當b=-1時，此時c<0，△AOB的面積取得最大值，且最大值為98.

4 結語

總之，平移是幾何三大運動方式之一，我們要把握平移特性，總結平移規律，結合相關知識推導是平移問題常見的破解策略.而與函數相關的曲線平移，要充分數形結合，總結規律，幾何分析特性，代數精準推導.