函數背景中的面積問題考查探究

周兒

【摘要】函數背景中的面積問題形式多樣，其考查重點涉及面積模型構建、割補方法、等量轉化、方程思想等.本文結合具體試題深入探究面積問題的構建形式，考查方式，總結突破策略十分必要.

【關鍵詞】函數;面積;拆分法

函數背景中的圖形面積問題十分常見，問題設定即考查方式較為多樣.除了直接求圖形面積，還常見求面積關聯條件等.可從面積關系、面積最值等視角進行考查，下面結合實例具體探究.

考查方式一 直接求圖形面積

直接求圖形面積，即基于函數交點構建幾何圖形，設問求圖形的面積，突破的核心是構建面積模型，結合面積公式求解，解題時要善于運用割補拆分法.

例1 如圖1，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=ax+ba≠0的圖象與反比例函數y=kxk≠0的圖象交于P、Q兩點.點P-4，3，點Q的縱坐標為-2.

（1）求反比例函數與一次函數的表達式;

（2）求△POQ的面積.

解析 本題目以反比例函數與一次函數相交為背景，第（2）問求三角形的面積，合理拆解圖形構建面積模型即可.

（1）簡答，反比例函數的表達式為y=-12x;一次函數的表達式為y=-12x+1.

（2）設一次函數的圖象與y軸的交點為M，如圖2， OM可將△POQ拆分為△POM和△QOM兩部分，則S△POQ=S△POM+S△QOM.點M為一次函數與y軸的交點，可求得M（0，1），則底邊OM=1.點P（-4，3），Q（6，-2），則點P和Q分別到底邊OM的距離為4和6，所以S△POQ=S△POM+S△QOM=12×1×4+12×1×6=5，即△POQ的面積為5.

考查方式二 設定面積求關聯條件

設定面積求關聯條件，即問題中給定圖形面積，求與其相關的條件，如點坐標、參數值，函數方程系數等.該類問題是基于面積的逆向設問，解題核心是基于方程思想，圍繞圖形面積構建關于參數的方程.

例2 如圖3，一次函數y=kx+2k≠0的圖象與反比例函數y=mx m≠0，x>0的圖象交于點A2，n，與y軸交于點B，與x軸交于點C-4，0.

（1）求k與m的值;

（2）Pa，0為x軸上的一動點，當△APB的面積為72時，求a的值.

解析 本題目同樣以反比例函數與一次函數相交為背景，第（2）問中設定三角形面積求a的值，而a為三角形頂點P的橫坐標值，故實則為已知圖形面積求頂點坐標問題.

（1）簡答，k=12，m=6.

（2）直接構建△APB的面積模型較為困難，可采用割補法拆分轉化，建立與點P相關的面積關系，則S△CAP=S△ABP+S△CBP.

點B位于y軸上，可得B（0，2），點P為x軸上的一個動點，則PC=a+4，由面積公式可知S△CBP=12PC·OB=12×a+4×2=a+4，S△CAP=12PC·yA=12×a+4×3=32a+4.

由S△CAP=S△ABP+S△CBP，

可得32a+4=72+a+4，

可解得a=3或a=-11.

考查方式三 設定面積關系求關聯條件

設定面積關系求關聯條件，即問題中給出兩圖形的面積關系，求與之相關的條件.其中的面積關系，可為等面積關系，面積之積關系，面積和差關系等，解析時需關注兩圖形的關聯特征，將其轉化為線段條件，進而推導求解.

例3 如圖4，二次函數y1=x2+mx+1的圖象與y軸相交于點A，與反比例函數y2=kx（x>0）的圖象相交于點B（3，1）.

（1）求這兩個函數的表達式;

（2）當y1隨x的增大而增大且y1

（3）平行于x軸的直線l與函數y1的圖象相交于點C、D（點C在點D的左邊），與函數y2的圖象相交于點E.若△ACE與△BDE的面積相等，求點E的坐標.

解析 本題目以反比例函數與拋物線相交為背景，第（3）問設定△ACE與△BDE的面積相等，求頂點E的坐標，解析的關鍵是轉化面積關系條件，推導頂點坐標.

（1）簡答，二次函數的解析式為y1=x2-3x+1，反比例函數的解析式為y2=3xx>0.

（2）根據圖象直接分析，可得當y1隨x的增大而增大且y1

（3）根據題意作圖，直線l平行于x軸，與二次函數的交點分別為C和D，與反比例函數的交點為E，連接AE和BE，如圖5.

可推得點A（0，1），而點B（3，1），則點A和B的縱坐標值相等，即點A和B到直線l的距離相等，所以△ACE的CE邊上的高與△BDE的DE邊上的高相等.

已知△ACE與△BDE的面積相等，可推得CE=DE，即點E為二次函數對稱軸與反比例函數的交點，當x=32時，y2=2，所以點E的坐標為E32，2.

總之，上述充分呈現了函數背景中的面積問題的構建方式，涉及直接求面積、推導關聯條件、轉化面積關系等，其中的面積模型、割補方法、方程思想、轉化思想是探究學習的重點.學習時應立足圖形特征，結合面積公式探究總結，生成類型問題的解析策略.