數軸與有理數相關概念的聯系

姜國生

數軸是一種重要的工具，盡顯數形結合的魅力。數軸與有理數的相關概念有著廣泛聯系，有的同學可能還不清楚，下面我們來做一些簡單梳理。

聯系之一：任何一個有理數都可以在數軸上找到唯一的一個點與之對應

例1 （1）畫出數軸并標出表示下列各數的點：-1，-3.5，[212]，0.5。

（2）如圖1所示，根據數軸上各點的位置，寫出它們所表示的數。

【解析】（1）依據題意，我們可建立如圖2所示的數軸。在數軸上分別標出表示-3.5，-1，0.5，[212]的點。

（2）從圖1所示的數軸上，我們可以直接讀出點A、B、C、D、E所表示的數分別為：0，-1，[413]，[-212]，-4。

任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示，但是，數軸上的任何一個點則不一定表示一個有理數。這個問題我們以后會接觸到。

聯系之二：利用數軸可以更充分地理解相反數

例2 若A、B兩點表示的數是相反數，且這兩點相距8個單位長度，請在數軸上標出A、B兩點，并指出A、B兩點所表示的數。

【解析】因為A、B兩點表示的數是相反數，且這兩點相距8個單位長度，而表示相反數的兩個數的絕對值相等、符號相反，所以點A和點B到原點的距離相等且距離都等于4個單位長度，由此我們就可以在數軸上標出A、B兩點了。如圖3所示，A、B兩點所表示的數分別是-4和4，或4和-4。

互為相反數的兩個數在數軸上對應的點分別在原點的兩旁，并且這兩個數到原點的距離相等。可見，互為相反數的兩個數總是成對出現的。

聯系之三：利用數軸可以說明絕對值的幾何意義

例3 有兩個點，它們到原點的距離分別是2和3，請問，這兩點之間的距離是多少？并說明理由。

【解析】設點A到原點的距離為2，點B到原點的距離為3。若這兩點在原點同側，如圖4、圖5，則[OA]=2，[OB]=3，所以[AB]=1；若這兩點在原點兩側，如圖6、圖7，則[OA]=2，[OB]=3，所以[AB]=5。

所以，這兩點之間的距離是1或5。

絕對值的幾何意義可以由數軸直接知道：數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離，記作[a]。

聯系之四：借助數軸可以比較有理數的大小

例4 請用“＜”把下列各數連接起來：[-212]，[-4]，[--4]，-（[-212]），0。

【解析】我們先對各數進行化簡。[-4]=4，[--4]=-4，-（[-212]）=[212]，將[-212]，

4，-4，[212]，0在數軸上表示出來，如圖8所示。因為-4＜[-212]＜0＜[212]＜4，所以[--4]＜[-212]＜0＜-（[-212]）＜[-4]。

在數軸上表示兩個數，右邊的數總比左邊的數大。

（作者單位：江蘇省海安市李堡鎮初級中學）