有理數(shù)運算： 從“程序算法”到“相機簡化”

劉東升

有理數(shù)運算是初中數(shù)學的重點內容，我們學習這一章時，首先要理解并掌握運算規(guī)則，然后再學習如何簡化運算。嚴守法則能確保運算不出錯，但往往比較機械和程序化，對于有些算式來說，我們還需要相機運用一些運算律以達到簡化運算的目的。

一、嚴守規(guī)則，按程序運算

有理數(shù)加法、乘法、除法的運算法則可歸納為下表：

下面我們看一看，如何運用這些運算法則來解決問題。

例如，計算：（-81）÷[214]×[49]÷（-16）。

對于連除或乘除混合運算問題，我們可以先確定符號，然后將除法轉化為乘法，再按從左到右的順序依次計算。

原式=81×[49]×[49]×[116]=1。

值得說明的是，遇到帶分數(shù)，應及時將帶分數(shù)化為假分數(shù)。

再如，計算：[-13][-34]×（[-23]）2[-112]×（-4）2。

有理數(shù)混合運算的順序是：先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的一般先算括號內的。本題含有乘方運算、乘法運算和減法運算，同學們在計算時應注意運算順序，先進行乘方運算，再進行乘法運算，最后進行減法運算。在混合運算中，除了要注意運算順序，還應注意運算中符號的確定，以及乘方的意義，如（[-23]）2=[49]，（-4）2=16。

二、相機使用運算律簡化運算

有理數(shù)的運算定律有五條（加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律、分配律），它們主要有兩個作用：1.簡化有理數(shù)的運算；2.推導其他運算法則。運用這些運算律時要注意兩點：1.運用加法交換律交換加數(shù)的位置時，要連同其前面的符號一起交換，如a+b-c=a-c+b；2.對分配律既要重視順向運用，又要重視逆向運用，如計算87×[34][+12]×87-87×[14]，注意到[34][+12][-14]=1，從而逆用分配律可獲巧解，即原式=87×（[34][+12][-14]）=87×1=87。

下面我們來算一算。同學們也可以自己嘗試動手算一算，看誰算得既簡便又準確。

例如，計算：[-3213]+5.75+（[-323]）+（[+514]）

+（[-1247]）+（[-37]）。

在這個分數(shù)的加減運算式子中，我們觀察到，分母分別是3、4、7。那么，我們可以將同分母的結合在一起，結合后還會發(fā)現(xiàn)分子的和剛好又與相應的分母相同，這就大大地降低了運算的難度，又能提高準確率。

原式=［[-3213]+（[-323]）］+［[+534]+（[+514]）］+

［（[-1247]）+（[-37]）］=（-36）+（+11）+（-13）=-38。

再如，計算：（[134][-78][-712]）÷（[-78]）+（[-83]）。

一般算法是先算括號內的，然后再進行除法運算，有些麻煩。注意到第一個括號內的分數(shù)分子相同（帶分數(shù)化成假分數(shù)），并可與括號外的分數(shù)約分，運用分配律更快捷一些。

所以，原式=（[74][-78][-712]）×（[-87]）+（[-83]）=[-74]×[87]+[78]×[87]+[712]×[87][-83]=-2+1[+23][-83]=-3。

在有理數(shù)混合運算中，同學們應注意乘法分配律的靈活應用。雖然除法運算沒有分配律，但根據(jù)乘法與除法之間的內在聯(lián)系，可將除法轉化為乘法，然后再利用乘法分配律進行計算。四則運算中，運算律或運算技巧的使用，可以讓我們充分領略到“條條大路通羅馬”。

（作者單位：江蘇省南通市教育科學研究院）