隨機Cahn-Hilliard方程解的長時間行為

于 娟，張曉穎

(長春大學 理學院，長春 130022)

研究下述隨機Cahn-Hlilliard方程

du=(-Δ2u+Δf(u))dt+κudWt,t>0.

u(t,x)=0,t≥0,x∈?D,

u(0,x)=g(x),x∈D,

f(u)=γu3-u,

(1)

其中D?是一個有光滑邊界?D的有界域,κ和γ是常數且κ>0,并且{Wt,t≥0}是隨機空間(Ω,F,(Ft)t≥0,P)上的一維標準布朗運動。 隨機Cahn-Hilliard方程[5,10,12]描述二元合金受熱干擾下相位分離的過程。 在這個模型中，u表示二元合金的相位分離率, 隨機項Wt表示熱干擾。

近年來，很多文獻研究了確定性的Cahn-Hiliand 方程[2,7,9,13]，該模型描述材料科學中二元合金相位分離的過程(調幅分解); 即二元合金的溫度從T0淬火到臨界溫度Tc以下后二元合金分離成單質的過程。關于確定性Cahm-Hilliard方程在滿足一定的初邊值條件下解的性質的研究, ELLIOTT等[9]得到了如下結果: 考慮齊次多項式為f(u)=γ2u3+γ1u2-u, 當首項系數γ2>0初值g(x)∈H2時確定性Cahn-Hillinnd方程存在唯一的全局解: 當首項系數γ2<0取大初值時, 確定性Cahn-Hillinrd方程的解在有限時間內爆破。

DA TATO等[6]首次將Cahn-Hilliad方程高斯隨機化，研究了隨機Cahn-Hilliard方程的存在唯一性。CARDON-WEBBER[3,4]研究了該方程溫和解的存在唯一性, 并且利用Malliavin微積分研究了解的密度雨數的絕對連續性和正密度雨數的存在性。

近年來, 一些學者研究了隨機偏微分方程滿足一定的初邊值條件下解的性質:BANDLE等[1]研究了隨機反應擴散方程解的爆破行為;DOZZI等[8]研究了半線性隨機偏微分方程, 給出了正解在有限時間內爆破的率, 并且得到了非平凡正全局解的存在性的概率。

我們將研究隨機Cahn-Hiliard方程解的性質，即解的有限時間爆破和全局存在性。系統(1)解的性質依賴于非線性項f的主項系數γ的符號。 首先運用It公式將系統(1)轉化為具有隨機參數的Cahn-Hilliard方程。

(2)

當γ<0時，研究系統(2)解的爆破行為: 考系統(2)的弱解，并且解一個Bernoull方程。 該Bernoulli方程的解可以表示為一個帶漂移項的指數布朗運動的積分形式、利用Marc Yor[14]的結果(或Dozzi和López-Mimbela[8])，可以得到u和v有限時間內爆破的概率。v可能在一定的概率爆破并且還能得到爆破概率的下界。當γ>0時，由于很容易通過皮卡迭代系列得到局部解的存在唯一性，本文中只需要通過對v進行先驗估計得到u和v的全局解的存在唯一性。

主要結果如下:

其中

定理2.如果γ>0，則對于任意初值g(x)∈H2(D)和T>0，方程(1)存在唯一的全局解，解的存在空間為H4,1(D×[0.T]).

1 主要結果的證明

定理1的證明：首先考察方程(1)，由于φ為拉普拉斯算子在區間D的特征函數所對應的第一個特征值，則

可以得到

利用Jessen不等式

(3)

解上述方程可以得到

且

(4)

接下來，給出v在有限時間內爆破概率的估計. 該估計的方法可參考[8]. 從上式(4)可以得到

(5)

可以得到

(6)

利用[14]中的下述事實

可以得到

其中

證畢.

定理2的證明.在方程(1)兩邊乘以v后，再在區間D內關于x積分后得

(7)

由于γ>0,f(u)=γu3-u,可以得到

e-κWtf′(eκWtv)=3γe2κWtv2-1≥-1

(8)

因此，從(7)，(8)中，有

(9)

運用Gronwall不等式，從(9)中選擇一個合適的以得到ζ<1能夠得到

(10)

(11)

其中Ci(T),i=1,2只依賴于時間常數T。

定義下述Lyapunov泛函

(12)

對(12)運用It公式和分部積分后可以得到

(13)

從(10)中，可以得到

H(t)≤C3(T).

(14)

因此，從(14)中得到

(15)

運用Sobolev嵌入定理，從(10)和(15)中得到

(16)

下一步，在(1)兩邊乘以Δ2v，再在區間D內關于x積分后得到

(17)

首先考慮(17)中的最后一項

(18)

其中運用Nirenberg不等式

從(17)和(18)中得到

(19)

并且運用Gronwall不等式，

(20)

(21)

從上述先驗估計(10)，(11)，(16)和(21)，可以得到一個全局解v∈H4,1(D×[0,T])證畢.