基于極限平衡理論的鋼與混凝土組合框架結構抗震分析

王玉良，趙 敏，郝際平，薛 強，姜維山

(1. 天津城建大學天津市土木建筑結構防護與加固重點實驗室，天津 300384；2. 西安建筑科技大學土木工程學院，西安 710055)

鋼與混凝土組合框架結構是指含有鋼與混凝土組合構件的框架結構，通過鋼與混凝土的組合，充分發揮兩種材料的優良特性，具有顯著經濟效益，已成為結構體系的重要發展方向之一[1]。但同時，由于其由不同材料的構件組成，致使其抗震性能較為復雜，因此，有必要對其進行詳盡的抗震性能研究并建立適宜的抗震分析方法。目前，國內外學者已進行了一系列組合構件、組合節點、局部組合框架抗震性能試驗研究及數值模擬分析[2?11]，但建立適用于組合框架的抗震分析方法尚需進一步研究和探索。

《建筑抗震設計規范》(GB 50011?2010)提出了三水準設防目標，即“小震不壞、中震可修、大震不倒”，與此相應結構抗震分析分為2部分：除規范特別規定外，建筑結構應進行多遇地震下的內力和變形分析，該部分基于線彈性理論，發展已較為成熟；對不規則且具有薄弱部位的建筑結構應進行彈塑性變形分析，該部分規范建議了2種分析方法，即推覆分析和彈塑性時程分析。其中，彈塑性時程分析計算量大，成本相對較高，需要較好的計算機軟件和很好的工程經驗；推覆分析實施相對簡單，成本較低，是目前較為有效的分析方法，但仍有其局限性并需要工程經驗判斷[12]。鑒于此，本文應用極限平衡理論，研究鋼與混凝土組合框架結構在罕遇地震作用下達到喪失工作能力時，通過外界條件與內在因素的相互關系，尋找各種極值以及結構各部分內力和變形分布規律，建立一種組合框架結構罕遇地震作用時簡化分析方法。

1 極限平衡理論概述

根據文獻[13]，應用極限平衡理論進行鋼-混凝土組合框架結構抗震分析，即依據組合框架在極限狀態下內力與變形的分布規律，并結合能量法用以預期組合框架的抗震強度。此處，抗震強度是指結構達到極限狀態時所能承擔的地震作用。以下為極限平衡理論的2個基本原理和3個基本假定。

基本原理一：極限平衡理論基本規律。結構達到承載能力極限狀態時，僅在所形成的塑性域內材料應力達到計算強度，被塑性域分割的各塊體于外荷載作用下處于平衡狀態，并在滿足極限變形的條件下形成一個機動體制。

基本原理二：結構破壞唯一性規律。結構在一定外界條件作用下而喪失工作能力時，在滿足極限變形條件下，相應于位能最小的塑性域所形成的圖形為結構唯一破壞圖形。

第一假定：剛塑體假定。結構達到極限狀態時，被塑性域分割的各塊體，其變形認為集中在塑性域內，而各個塊體視為剛體。

第二假定：應力假定。結構達到極限狀態時，在所形成的塑性域內，材料均達到計算強度。

第三假定：變形假定。尋求極限狀態下各種極值時，可略去結構變形后幾何尺寸的改變。

2 組合框架抗震強度分析

2.1 抗震強度分析過程

在水平地震作用下，達到極限平衡狀態時，結構內部產生足夠多的塑性鉸形成破壞機構，并仍然滿足平衡的條件：當結構產生一個可能的無限小的位移時，外力和內力虛功增量的總和應等于0，即可應用能量法計算得到組合框架抗震強度。根據破壞唯一性規律，可以預先決定出結構極限狀態時的破壞機構，再依次進行計算。

結構破壞機構可以通過2種方法判別，其一是通過試驗確定；其二是通過理論分析得到結構在給定外力分布下的破壞規律。兩種方法應相輔相成，找到滿足極限平衡第一基本原理(平衡、屈服、機動、變形條件)的真實破壞機構。

匯總分析國內外十九榀組合框架試驗，破壞時基本都形成了較為理想的梁鉸破壞機制。對如圖1所示多層多跨梁側移破壞機制框架進行抗震強度分析，用施加在框架上的倒三角形水平側力模擬水平地震作用，將重力荷載簡化為施加在框架柱頂的軸向力。

圖1 梁側移型破壞機構Fig. 1 Beam sideway mechanism

該破壞機制僅在梁端與底層柱下端出現塑性鉸，極限狀態下假定塑性變形集中在塑性鉸區域內，忽略彈性變形。以柱底塑性轉角表示結構側向位移：

式中：ui為第i層層間側向位移；Δi為第i層相對于結構底部的側向位移；θpc為柱底塑性轉角；lci為第i層柱計算層高。

圖2表示梁與柱的變形幾何細節，忽略結構變形對幾何尺寸影響。其中，d = ljsinθpc≈ ljθpc≈lbjθpb，從而有：

圖2 變形幾何關系Fig. 2 Geometric relationship of deformation

式中：θpb為梁端塑性轉角；lj和lbj分別為第j跨梁計算跨長和梁中正負彎矩塑性鉸之間距離(梁端塑性鉸長度可取1倍～1.5倍的梁高)。

同樣，忽略柱的伸縮變形而僅產生傾斜，結構豎向位移可用柱底塑性轉角表示為：

式中：δi為第i層層間豎向位移；δ*和Δ*分別為結構頂部相對與結構底部的豎向位移和側向位移。

經過以上分析得到結構在給定破壞機制下各變形之間的的幾何關系，由虛功原理可得：

式中：Pi為施加在框架第i層的等效側力；Nr為施加在第r根柱子上的軸向力；Muk為第k個塑性鉸處的極限彎矩。

將式(1)～式(5)帶入式(6)中，分別取Δ*等于H/50、H/40、極限荷載對應側移，通過計算預估框架抗震強度。

2.2 真實破壞機構理論分析

結構達到極限平衡狀態時，真實破壞機構唯一并滿足平衡、屈服、機動、變形條件，可根據上限定理判斷結構真實破壞機構[14]。

假定作用在結構上的外荷載以同樣比例因子增長，當增加到給定荷載的s倍時，結構達到極限平衡狀態，比例因子s稱為極限荷載乘子。

具體可應用機構疊加法確定結構真實破壞機構。通過疊加基本機構以創建復合機構并同時疊加相應的內、外功等式，求出運動許可乘子sˉ，逐漸減小運動許可乘子，適時停止計算，選擇其中最小運動許可乘子sˉmin對應機構，判斷其內力場靜力容許時，該機構即為結構真實破壞機構。

實際上，組合框架塑性鉸發生方式由結構外界條件和結構幾何特征、材料性能、節點構造等多種因素共同決定，理論分析結果應與試驗方法相互比對。

3 算例及分析

3.1 鋼梁-鋼筋混凝土柱組合框架抗震強度計算

白國良等[15]1993年進行了一榀1/3比例兩跨三層S梁-SC柱組合框架抗震性能試驗。試驗概況如圖3所示，試件截面尺寸及配筋如圖4所示，材料力學性能實測值列于表1。

表1 材料力學性能Table 1 Mechanical properties of materials

圖3 試驗試件構造Fig. 3 Details of test specimen

圖4 試驗尺寸及配筋Fig. 4 Size and reinforcement of specimen

3.1.1 計算構件截面極限彎矩Mu

1) 柱截面極限彎矩Muc

為柱截面極限承載力計算簡圖如圖5所示，計算值時將縱向受力型鋼簡化為等面積鋼筋放置在角鋼形心處。受壓區邊緣混凝土應變達到0.004時，根據應變分布和平衡條件計算截面極限彎矩[16]，計算時材料強度取試驗實測值。

圖5 柱截面受力簡圖Fig. 5 Force diagram of column section

若εsi＞εsyi，則取εsi=εsyi，

施加在框架柱上的軸力N=330 kN，x=79 mm，Muc=6.932×107N?mm 。

2) 梁截面極限彎矩Mub

3.1.2 結構真實破壞機構判別

在框架上施加倒三角形外力分布，結構計算簡圖如圖6所示，其中M0=1.0×107N?mm，L0=1000 mm，P0=M0/L0，圖中虛線側受拉彎矩記為正。結構共有3個側移基本機構和7個節點轉動基本機構。通過疊加基本機構及相應的功能等式，得到最小運動許可乘子smin=2.438，對應的破壞機構如圖7(a)所示。通過繪制彎矩圖判斷其內力分布為靜力容許，即該機構為結構計算真實破壞機構，試驗中得到的結構破壞機構如圖7(b)、圖7(c)所示，同樣形成了理想的梁鉸破壞機制。

圖6 結構計算簡圖Fig. 6 Structural calculation diagram

3.1.3 組合框架抗震強度計算及對比分析

依據組合框架真實破壞機構(圖7(a))，用虛功等式(6)計算抗震強度并與試驗實測承載力進行對比，列入表2中。由表2可得：當框架頂部側移達到H/50、H/40時計算值與試驗值吻合很好(0.51%、?2.10%)，取框架頂部側移等于極限荷載對應側移時計算得到框架抗震強度略大于試驗值(7.40%)，可能由于計算時未考慮往復加載后期結構損傷產生的影響；同時計算中也忽略了鋼材強化及其他可能影響框架抗震強度因素，但從計算結果可看出，簡化分析得到的抗震強度與試驗值差距不大(±10%以內)。

表2 計算結果及對比Table 2 Calculation results and comparison

同時觀察試驗得到的滯回曲線，如圖8所示。滯回環飽滿無捏縮，整體呈現理想的梭形，彈塑性變形后期承載力下降較為平緩，說明該簡化分析用于鋼梁-型鋼混凝土柱組合結構，可以便捷有效的得到一個較為保守的抗震強度。

圖8 頂層層間剪力-位移滯回曲線Fig. 8 Story shear-drift hysteresis loops of RF

3.2 試驗匯總及對比

基于極限平衡對組合框架進行簡化分析，討論范圍為以第一振型為主的單、多層組合框架，并期望框架達到理想的梁側移機制。為了更好地說明該簡化分析方法的有效性，收集了國內外十九榀單、多層鋼與混凝土組合框架低周反復荷載試驗[15,17?22]，分別取柱頂側移等于H/50、H/40、極限荷載對應側移計算抗震強度并與試驗結果對比。考慮到不同試驗對試件極限狀態定義不同對結果對比帶來影響，此處，極限狀態統一定義為荷載下降至峰值荷載的85%時，對應的荷載取為極限荷載，若試驗中荷載未下降至峰值荷載的85%，則取破壞時荷載為極限荷載，試驗值與計算值的統計及比值列于表3。當框架層間位移角限值為1/50時，極限強度試驗值與計算值比值的平均值為1.0058、方差為0.0054、標準差為0.0735、變異系數為0.0731，二者吻合較好；當彈塑性層間位移角限值為1/40時得相近數值。同時，以上十九榀組合框架試驗得到的滯回曲線大多呈現較為飽滿的滯回環，說明組合框架結構具有良好的變形和耗能能力。鋼與混凝土組合結構框架可應用本文簡化分析方法預期抗震強度，并可以放寬其位移角限值為1/40。

表3 計算結果及對比Table 3 Calculation results and comparison

4 “大震不倒”控制方法

4.1 簡化控制方法

將多質點結構體系視為等質量、等周期的單質點體系，假定其完全彈性時，分別計算罕遇地震作用和多遇地震作用(基底剪力)，記作Ve1和Ve2；考慮其彈塑性反應時，以多遇地震作用控制框架屈服，框架達到極限變形時地震作用記作Vu′′(基底剪力)；根據能量相等的概念，即最大變位時彈性體系儲存的位能與最大變位時彈塑性體系儲存位能相等，假定結構彈性和彈塑性的反應如圖9所示。

圖9 結構地震反應Fig. 9 Seismic response of structures

將Ve2與Ve1的比值記作系數R1，將與Ve1的比值記作系數R2，Δu與Δy的比值為結構位移延性μ，根據位能相等，即圖中面積OBD等于面積OACE，可建立R1、R2、μ之間的關系等式：

按照《建筑抗震設計規范》(GB 50011?2010)，參考混凝土框架及多高層鋼結構取組合結構位移角限值取結構位移角限值1/50，此時可通過式(19)計算相應彈塑性地震作用(基底剪力)；基于極限平衡計算框架抗震強度(基底剪力)并通過抗震調整系數γRE對結構抗震強度進行調整；調整后的抗震強度與地震作用對比，兩者關系如圖10所示。

圖10 結構能量關系Fig. 10 Relationship of structural energy

當組合框架位移角達到1/50時，即梁側移破壞機制框架的頂部側移為H/50，此時若結構實際位能S2大于地震輸入能量S1，則結構滿足抗震安全。為方便抗震驗算取地震作用與計算抗震強度V1/50進行比較，即為保證罕遇地震抗震安全，需滿足如下等式：

4.2 算例及分析

假定設防烈度8度(0.2 g)，設防分組第二組，場地類別II類，以前述兩跨三層S梁-SC柱框架[15]為例，詳細分析說明罕遇地震抗震強度驗算步驟。試驗實測框架位移延性為4.95，計算多遇地震作用時阻尼比取0.05，計算罕遇地震作用時阻尼比取0.185[23]。

第一步：底部剪力法計算彈性地震作用

Geq=0.85ΣNr=841.50 kN

T=0.025H=0.126 s

多遇地震作用：

αmax=0.16，Tg=0.40 s

0.1＜T1＜Tg，α=αmax=0.16

底部剪力：FEK=αGeq=134.64 kN

即，Ve2=134.64 kN

罕遇地震作用：

αmax=0.9；Tg=0.45 s

0.1＜T1＜Tg，η2=0.6，α=η2αmax=0.54

底部剪力：FEK=αGeq=454.41 kN

即，Ve1=454.41 kN

第二步：彈塑性地震作用計算

第三步：抗震強度對比驗算

基于極限平衡理論，可計算得到組合框架抗震強度(Δ=H/50)，抗震調整系數取0.75，調整結構計算抗震強度并與地震作用對比。

結構抗震強：V1/50=164.84 kN

V1/50/γRE=219.79 kN

V′′u

V1/50/γRE＞

該榀組合框架抗震強度滿足8度設防時罕遇地震抗震強度要求。

4.3 試驗匯總分析

取結構位移角限值1/50、1/40，阻尼比取為0.185，計算前面匯總試驗中前五榀多層多跨組合框架的地震作用，并與基于極限平衡計算得到的抗震強(Δ=H/50、Δ=H/40)進行對比，評估各榀框架罕遇地震抗震情況，計算結果及對比見表4。編號μV′′u/kNV1/50/γRE/kNV1/40/γRE/kN 1[15]4.95213.57219.78215.38 2[17]8.00376.652058.012040.08 3[18]4.43388.56515.65510.61 4[19]6.10569.21744.08732.08 5[20]5.42272.141501.461497.16

五榀框架均可滿足8度設防時罕遇地震抗震強度要求，其中框架2延性很好(μ=8)，觀察其試驗滯回曲線，發現即使到了塑性變形階段后期(θ＞1/25)承載力仍無下降趨勢，實際強度遠遠滿足要求。

通過前面基于極限平衡的抗震強度簡化分析，同時觀察試驗滯回曲線可看出框架位移角達到1/50后承載力并沒有發生急劇下降，最終極限位移角達到了1/39～1/25，建議組合框架位移角限值為1/40，并可采上述步驟進行罕遇地震抗震驗算，評估組合框架罕遇地震抗震情況，進行設計調整，以達到“大震不倒”設防目標。

5 結論

本文基于極限平衡原理，計算組合框架抗震強度，并提出一種罕遇地震下確保結構安全的簡化控制方法，主要得到以下結論及建議：

(1) 基于極限平衡理論的簡化分析所得計算抗震強度與試驗值吻合較好，可簡便有效地預期鋼與混凝土組合框架結構抗震強度，用以“大震不倒”為性能目標的抗震設計，確保抗震安全；

(2) 鋼與混凝土組合框架具有良好的變形和耗能能力，建議放寬位移角限值為1/40，同時可采用本文簡化控制方法進行罕遇地震抗震驗算，進行設計調整；

(3) 計算真實破壞機構與試驗破壞機構有所差異時，基于真實破壞機構唯一、位能最小，同時為了得到較為保守的預估抗震強度，計算時暫時取使極限荷載最小的破壞機構。