基于損傷曲率模態的簡支梁損傷識別

袁雪松， 劉廷余， 趙麗潔

（1.河北工程大學土木工程學院，河北 邯鄲 056017；2.河北德鵬機械設備有限公司，河北 邯鄲 056017）

0 引言

結構在長期服役過程中會因各種原因出現損傷，結構損傷識別一直是土木工程領域很重要的研究課題［1］。基于動力特性的損傷檢測方法有無損性和不影響結構正常使用的優勢，被廣泛應用于損傷識別研究。基于結構動力響應的損傷識別方法應用較多的有固有頻率、單元模態應變能、柔度矩陣、曲率模態等［2-4］。其中，曲率模態是一個能夠較好反映結構局部特征變化的模態參數，不少學者基于此方法展開研究［5-8］。

在易獲取結構原始數據的情況下，通過對比結構損傷前后的模態參數變化可以很好的識別損傷的部位，而實際工程中很多結構的原始數據是無法獲取的，針對實際工程中難以獲取結構損傷前物理信息的問題，很多學者采用多項式擬合的辦法獲取結構未損傷狀態的響應參數。徐典［9］通過二次多項式擬合未損傷狀態的結構柔度曲率曲線，根據損傷前后曲線包圍的面積定性的分析損傷程度。徐飛鴻［10］利用三次多項式擬合簡支梁損傷前的曲率模態曲線，并通過多項式回歸建立了損傷程度和損傷有效面積的相關函數，該方法能很好的識別跨中單元的損傷，由于曲率模態指標對振型節點的損傷單元標定效果不足，難以利用此方法進行振型節點附近的損傷定量分析。唐盛華等［11］利用二次多項式擬合簡支梁在均布荷載下的撓度曲率曲線，并假定節點曲率為單元曲率平均值的方法近似的計算損傷單元程度。徐宏文等［12］采用多項式擬合模態曲率曲線，對薄板進行多點損傷識別，取得了良好的損傷定位效果。在目前的損傷定量研究方法中，存在計算繁瑣、精度不足等問題，建立適用于工程實際的簡易、高效、精確的損傷識別方法是十分必要的。

文中以簡支梁為研究對象，通過結構位移計算［13］的方法以解析的形式分析了損傷前后節點曲率模態值的變化規律，建立了單元損傷程度與曲率模態值之間的關系式。為了解決工程中無法獲取結構損傷前曲率模態的問題，提出利用matlab中函數擬合構建完好曲率模態曲線的方法，先利用損傷狀態的曲率模態曲線對結構損傷位置進行初步判斷，將曲線上畸變處的節點值剔除，然后利用剩余的點進行正弦函數擬合，并將擬合的正弦曲線視為結構未損傷狀態的振型曲率曲線，以此獲取簡支梁未損傷的曲率模態值，實現僅利用損傷狀態的振型信息即可實現簡支梁的損傷識別。

1 曲率模態損傷識別理論

首先通過結構位移計算分別計算出損傷前后簡支梁在一階振型分布慣性力作用下節點的位移值。

如圖1所示，一等截面簡支梁模型中，存在一處長度為的損傷，損傷單元左端距簡支梁A點距離為d，損傷通過折減該處的抗彎剛度來模擬，令損傷處的剛度為kEI（0＜k＜1）。

圖1 簡支梁模型

如圖2所示，令單位力F=1分別作用在簡支梁h、i、j節點上，以A點為原點建立平面直角坐標系，可分別求出的數學表達式A1-B3為：

圖2 圖Mp及圖

式中，m=1、2、3；L為簡支梁的跨度；d為損傷單元距簡支梁A端的距離；ε為損傷單元的長度。

由歐拉梁的振動理論可知簡支梁的一階振型函數曲線為正弦曲線，故簡支梁的曲率模態曲線也是正弦曲線，根據材料力學彎矩與曲率的關系，可知簡支梁在分布慣性力作用下的彎矩圖曲線也是正弦曲線。假定損傷前后在分布慣性力作用下的彎矩不變，為方便計算不妨令彎矩圖的函數表達式為：

損傷后h、i、j節點的振型位移值為：

曲率模態值可以通過位移模態值通過中心差分法近似計算求出，則損傷前節點處的曲率模態值為：

1.1 損傷定位

觀察式（10）和式（11），當單元發生損傷后，φ″iu≠φ″id，且損傷后節點的曲率值變化與k值即單元損傷程度相關，可以利用曲率模態差指標進行損傷定位：

式中，φ″id表示結構損傷后節點的曲率模態值；φ″iu表示結構損傷前i節點的曲率模態值。

通過繪制曲率模態差指標的圖形，觀察圖形上發生突變的位置來判斷簡支梁發生損傷的部位。

1.2 損傷定量

單元損傷程度可由損傷定位指標中已求出的簡支梁各個節點的損傷前后的曲率值通過式（15）和式（20）計算求得。

2 曲率模態曲線的擬合

2.1 損傷后的曲率模態

為了利用曲率模態差指標進行損傷識別，需要獲取結構損傷前、后的曲率模態值。

實際工程中，損傷狀態梁的曲率模態值可直接利用所測得的位移振型值通過中心差分法計算得出：

式中，φd（i）表示損傷狀態i節點的位移振型值；δl表示節點與節點的間距。

2.2 正弦函數擬合結構完好曲率模態曲線

在無法獲取結構初始參數時，損傷前的曲率模態曲線可以利用損傷后的曲率模態值利用matlab軟件中的函數擬合構造得出。

由結構動力學［14］理論可知，等截面細長簡支梁自由振動的一階位移振型函數為：

式中，A1為常數；L為簡支梁的跨度。

對位移振型函數求二階導數求出振型曲率函數為：

由式（23），簡支梁未損傷狀態的曲率模態曲線為正弦函數曲線。因此，可通過matlab軟件中的三角函數擬合構造出簡支梁未損傷狀態的曲率模態曲線，獲取損傷前的曲率模態值。

損傷后的曲率模態曲線在損傷單元處產生畸變，將損傷后曲率模態曲線畸變處的點去除后，利用剩下的點進行正弦函數擬合，并將擬合曲線視為簡支梁未損傷狀態的曲率模態曲線。對于簡支梁結構，令擬合函數為：

式中，A為待定常數；L為簡支梁的跨度，在簡支梁跨度已知的情況下，只需確定待定常數A即可擬合出完好的曲率模態曲線，在matlab中可通過負相關系數判斷擬合效果。

綜上，基于損傷曲率模態曲線的簡支梁損傷識別的具體步驟如下：

（1） 利用中心差分法計算損傷狀態的第一階振型曲率并繪制曲率模態圖形。

（2） 剔除曲率模態曲線上畸變處的點，利用剩下的曲率模態值進行正弦函數擬合，將擬合曲線視為簡支梁未損傷的曲率模態曲線。

（3） 利用曲率模態差損傷定位指標圖形判斷最終的損傷單元。

（4） 利用式（15）和式（20）計算損傷程度。

3 簡支梁算例

3.1 模型

以一混凝土簡支梁有限元模型為例，驗證所提指標的有效性。如圖3所示簡支梁有限元模型，簡支梁的跨度L=6m，截面尺寸b×h=0.2m×0.3m，混凝土強度等級取C35，彈性模量E=3.15×1010N/m2，泊松比v=0.2，質量密度ρ=2500kg/m3。將梁沿縱向劃分成30個單元，31個節點，每個單元長0.2m。

圖3 簡支梁有限元模型

實際工程的損傷一般表現為剛度的降低，質量一般不變。設置簡支梁發生多點損傷的工況，損傷通過降低單元的彈性模量模擬。具體損傷工況見表1。

表1 簡支梁多點損傷工況

3.2 簡支梁多點損傷識別結果

從圖4中可以看出曲線在單元12和24處發生了明顯的畸變，初步判斷單元12、24為損傷的單元。剔除損傷單元節點的曲率模態值，利用剩下的點進行正弦函數擬合，擬合結果如圖5所示，將圖5中擬合的曲線視為簡支梁損傷前的曲率模態曲線。

圖4 工況2曲率模態

圖5 工況2擬合曲線

曲率模態差指標識別結果見圖6，判定最終的損傷單元為1、12、24，與假定的損傷單元一致。對比圖4與圖6兩種指標的損傷定位識別效果，曲率模態指標不能識別到簡支梁1號單元的損傷，而曲率模態差指標對1號單元的損傷具備一定的標定效果。圖7為損傷程度識別結果，以單元1的損傷程度識別為例進行誤差分析，工況1、工況2、工況3損傷程度識別結果分別為 0.09479、0.3013、0.3976，誤差分別為 5.22%、0.45%和0.60%。

圖6 曲率模態差識別結果

圖7 損傷定量識別結果

4 結論

（1） 曲率模態差指標比曲率模態指標具備更高的損傷標識能力，雖然對振型節點單元的損傷存在標定不足的問題，但結合損傷定量指標進行綜合判斷后，可以有效識別出簡支梁多處單元的損傷。

（2） 提出利用函數擬合構造簡支梁未損傷曲率模態曲線，該方法無需結構的原始模態信息，彌補了工程中結構原始數據不易獲取的缺陷問題。

（3） 文中建立的損傷定量計算方法不僅方便快捷，而且在無噪聲水平下具備較高精度，無論是跨中單元還是振型節點附近的單元，該方法都能夠準確識別損傷程度。