近年線性代數考研試題分析與預測

陳昱竹 楊樹碩 張宇霄

摘要：21年考研數學試題通過大幅調整命題結構，首次嘗試加強學生對學習內容本質理解的考察，并取得初步成效。為了了解在新的考試大綱下，線性代數考研試題的出題思路，減少考生該部分題目的失分率，我們將在本文中解答：線性代數的考點、出題形式、常考的重要知識點等。并通過總結分析近幾年線性代數考題的出題方向，預測23年考研試題。

關鍵詞：線性代數;考研;數據分析;23年考研題目預測。

一、研究背景

線性代數在數學考研中，始終占據著重要地位。探究新考研大綱下，線性代數考研試題出題思路、出題方向、常考題型知識點以及解題思路和技巧，預測考研題目的出題方向，進而有重點的進行復習;讓解題變得更有針對性、方法性，從而減少考生的失分率。

（一）考研壓力持續增加，相關材料需求增加

歷年來，國家高度注重教育事業發展，高等教育逐漸普及化，根據教育部官方數據：2022年全國研究生報考人數高達457萬人，較去年相比暴增了80萬人。與此同時，我國研究生招生規模也在持續擴大。但盡管如此，研究生整體報錄比仍集中在百分之30到40%之間，競爭壓力日益增加。

（二）考研大綱有所改變，可幫助同學們把握復習重點

閱讀最新考研大綱可知，數學考研試卷更加注重對知識本質理解的考察，其中，對線性代數部分的考察有以下變化。

1、試卷內容結構變化：

在總分150分、考試時間三小時不變的情況下，21年考研大綱中，分值的偏向有了較大的變化。其中，線性代數從34分，22%的比例，變成了30分，20%的比例。但是考研數學一中，線性代數的考點沒有任何改動，這也就意味著，未來更傾向于考察有區別性的內容。

2、試卷題型結構變化：

選擇題由“8小題，每小題4分”改為“10小題，每小題5分”;填空題由“6小題，每小題4分”改為“6小題，每小題5分”;解答題由“9小題，共94分”改為“6小題，共70分。

根據21年考研試卷來看，其中線性代數有：3道選擇，1道填空，1道大題。

二、研究過程

（一）搜集資料

1、查閱往年考研卷宗，總結考題;

2、分析題目得分率，失分點;

3、搜索相關研究報告（市面上購買相關考研書籍，分析各個專家的觀點）;

4、調查問卷，總結同學們對線性代數相關題目的學習心得，以及對線性代數相關考題的反應，對知識點進行排序。

（二）數據分析

運用比較研究方法、文獻研究方法，對收集到的資料和相關文獻進行整理和分析，總結相關結論。

對問卷結果進行系統功能語法分析、語篇體裁交織性分析、話語歷史背景分析，借助大型內容分析研究性工具平臺ROST content mining得出具體結論。再將結論用統計學分析的相關方法進行整理總結。

對收集整合到的例題、考點、解題方法、考生反饋等數據運用統計描述、方差分析、多元變量分析等統計學研究方法，專業系統的計算整合結論。

三、研究結果

2021年考研數學試題通過大幅調整命題結構，首次嘗試加強學生對學習內容本質理解的考察，并取得初步成效。我們通過對往年知識點側重的總結，并結合新的考察方向作出如下預測：

（一）整體考點

1、將往年試卷對比分析，得到高頻考點：

（1）n階行列式（n≥4）的計算

（2）用初等變換求矩陣A的逆

（3）用伴隨矩陣求矩陣A的逆

（4）矩陣A、伴隨陣*、行列式|A|互求

（5）矩陣的逆的判別

（6）用初等變換求矩陣A（含未知參數）的秩

（7）已知矩陣A（含未知參數）的秩，反過來求未知參數

（8）矩陣秩的大小的判別

（9）向量組α1，α2，?，αm線性相關、線性無關的判別

（10）用初等行變換求齊次線性方程組Ax=0的基礎解系和通解

（11）判別齊次線性方程組（含參數）是否有非零解

（12）用初等行變換求非齊次線性方程組Ax=b的通解

（13）利用非齊次線性方程組解的結構來解題。比如：已知線性方程組Ax=b（含參數）的部分解（至少有兩個解），反過來求未知參數

（14）求矩陣的特征值和特征向量

（15）已知對稱矩陣A的部分特征值和特征向量、反過來求另一部分特征值和特征向量及A

（16）求正交矩陣?，將實對稱矩陣A對角化

（17）用正交變換化二次型為標準形

（18）已知二次型f（含參數）已知正交化后的標準形，反過來求未知參數

（19）正定矩陣的判別

2、通過各個考點的出現頻率，以及對應的分數，可計算其“性價比”，可進一步得到在考研學習過程中，最好的復習順序，以及時間分配。

3、通過試題答案，總結答題方法、思路。

（二）試題預測

1、選擇第五題：

用初等變換求矩陣A（含未知參數）的秩;已知矩陣A（含未知參數）的秩，反過來求未知參數。

主要考點：用初等變換化為階梯型，再討論。

2、選擇第六題：

向量組α1，α2，?，αm線性相關、線性無關的判別;用初等行變換將一個向量β用另一組向量α1，α2，?，αn線性表示;已知向量組（含未知參數）的秩，求未知參數。

主要考點：判別k1α1+k2α2+?+kmαm=0是否有非零解，歸結于判別齊次線性方程組是否有非零解;將矩陣A=（α1，α2，?，αnMβ）作初等行變換將A的第一部分的左上角化為單位矩陣，則可將β用α1，α2，?，αn線性表示。

3、選擇第七題：

用施密特（Schmidt）方法求線性無關向量組的正交向量組;求規范正交基。

主要考點：用內積，多次用公式;先用施密特（Schmidt）方法正交化，再單位化。

4、填空15題：

求齊次線性方程組的解。

主要考點：用初等變換將系數矩陣A化為階梯型，據此確定自由變量和基礎解系，進而可寫出齊次線性方程組的通解。注意討論是否有非零解。

5、解答題21題：

第一，求未知參數和解方程組。

主要考點：未知參數可能出現在行列式中，也可能出現在向量中，也可能出現在矩陣中。而解未知參數，必須要列方程（組）。然后來解方程組。因此，解方程組是重點。

第二，求矩陣的特征值和特征向量。

主要考點：寫二次型f的矩陣A（含有未知參數）;求矩陣A的特征值;已知二次型f的規范形和特征值，反過來求未知參數;利用P-1AP=diag（λ1，λ2，λ3），可求得A;矩陣B為實對稱矩陣，那么已知部分特征值和特征向量，求該矩陣的全部特征值和特征向量。

第三，矩陣的對角化。

主要考點：分為一般矩陣的對角化和對稱矩陣的對角化;求二次型f的矩陣A;求A的兩個特征根;已知二次型的矩陣（含參數）和一些條件，反過來求未知參數;已知二次型矩陣，求正交變換，將其化為標準型。

結束語：2021年的數學（一）命題既兼顧了全面考查，又做到了重點突出，既大幅創新了試題設計，擺脫了市面流行復習資料的套路誤導，又沒有偏題、怪題和技巧性很強的題目，在注重數學知識本質掌握考查的同時，也注重綜合能力的考查，我們應當主動把握該題目風格、方向，進而更準確的預測考研試題。

同時，線性代數考研復習要夯實基礎，善于運用線性方程組串聯各章節內容，并且重視計算，勤加練習。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.工程數學線性代數第六版[M].北京：高等教育出版社，2014：1-169.

[2]教育部考試中心.全國碩士研究生招生考試數學考試分析（2022版）[M].北京：高等教育出版社，2021：5-7，8-30.

[3]教育部考試中心.2022年全國碩士研究生招生考試數學考試大綱[M].北京：高等教育出版社，2021：6-22，46-76.

[4]李永樂.線性代數輔導講義[M].北京：中國農業出版社，2022：1-192.

資助項目：本論文由北京物資學院大學生創新創業項目資助。

作者簡介：

陳昱竹，2001年5月20日，女，漢族，遼寧省，本科，北京物資學院在讀本科生，計算機科學與技術，北京物資學院。

楊樹碩，2002年5月9日，男，漢族，河北省，本科，北京物資學院在讀本科生，信息管理與信息系統，北京物資學院。

張宇霄，2001年8月14日，男，漢族，新疆，本科，北京物資學院在讀本科生，信息管理與信息系統，北京物資學院。