30倍輕小型變焦光學系統設計

張 坤，曲 正，鐘 興，李京宸，張 茜

（1.中國科學院 光電技術研究所，四川 成都 610207；2.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；3.長光衛星技術有限公司，吉林 長春 130102）

1 引 言

變焦光學系統調節凸輪能夠使鏡頭的焦距連續地變化，從而使被觀測物體的成像倍率連續地變大［1］。因此，變焦光學系統不僅可以對感興趣的目標進行廣域的搜索，而且還能進行精密的跟蹤和詳細的觀察［2-3］。變焦光學系統在目標跟蹤、無人機光電吊艙、安防監測以及攝影等諸多領域都得到了廣泛的應用［4-6］。

變焦光學系統的變焦類型可分為4種：光學式變焦、機械補償式變焦、雙組聯動式變焦和全動型變焦。同其他變焦類型相比，機械補償式變焦光學系統通過改變變倍組和補償組的相對位置，可以連續地改變整個光學系統的焦距，具有結構簡單和研制成本低廉等優點。然而，機械補償式變焦光學系統已經發展了幾十年，卻仍然存在大變倍比和輕小型的設計矛盾［7-9］。2019年，張健等［10］利用正組補償結構設計了一款焦距為30～300 mm的機械補償式變焦光學系統，通過引入非球面和漸暈的方法把整個系統的質量從937 g減小到了584 g，但整個系統的長度仍然高達330 mm，其凸輪曲線也出現了拐點。2020年，劉圓等［11］設計了一款焦距為50～1 000 mm的機械補償式變焦光學系統，該光學系統由28片球面透鏡組成，最大口徑為100 mm，總長為399.9 mm。2020年，劉云鵬等［12］設計了一款50倍五組變焦光學系統，該系統的第二組元和第三組元是運動組元，第四個組元是一個可替換透鏡組元。整個系統結構緊湊，但論文中并沒有對該系統是否具有50倍連續變焦的功能進行分析。

為了解決機械補償式變焦光學系統大變倍比和輕小型設計之間的矛盾，本文對大變倍比變焦光學系統的光焦度分配方式進行了理論分析，并利用平滑換根取段和變F數的方法來實現輕小型設計，從而提出了一種大倍率輕小型機械補償式變焦光學系統設計方法，使用全球面透鏡設計了一款焦距為7～210 mm的機械補償式變焦光學系統，該變焦系統的最大口徑為67 mm，全長為190 mm。

2 原 理

2.1 大倍率變焦光學系統的光焦度分配

機械補償式變焦光學系統應用非常廣泛，其光學系統僅有兩條凸輪曲線，即一條直線和一條曲線。同雙組聯動型變焦光學系統和全動型變焦光學系統［12］相比，機械結構更加簡單、研發成本更低。然而，機械補償式變焦光學系統分為負組補償式變焦光學系統和正組補償式變焦光學系統兩種結構，負組補償式變焦光學系統的特點是整個光學系統的口徑大、長度短，正組補償式變焦光學系統的特點是整個光學系統的口徑小、長度長［13］。機械補償式變焦光學系統中，前固定組、變倍組、補償組和后固定組的光焦度分配有多種形式［14］。

當密接薄透鏡組位于空氣中時，透鏡組的位置色差和倍率色差分別為：

其中：N為薄透鏡組中薄透鏡的個數，φ為薄透鏡的光焦度，υ為透鏡的阿貝數，h為透鏡的半通光口徑，hz為主光線在透鏡表面上的入射高度。根據式（1）和式（2）可知，變焦光學系統前固定組的口徑越大，前固定組的色差越大。為了減小前固定組的色差，前固定組的光焦度越小越好，即焦距越大越好。

負組補償式變焦光學系統的口徑大、長度短。根據式（1）和式（2）可知，光學系統的口徑越大色差越大，色差校正越困難。根據球差方程：

其中：n為透鏡的折射率，i，i'分別表示光線的入射角和出射角，u為第一近軸光線的孔徑角。變焦光學系統的口徑越大，h越大，光學系統的球差越難校正。正組補償式變焦光學系統的口徑小、長度長。因此，與負組補償變焦光學系統相比，正組補償變焦光學系統對色差和球差的校正能力更強。綜上分析可知，在不使用特殊光學元件的時候，正組補償結構更適合大倍率變焦光學系統設計。

正組補償式變焦光學系統前固定組的光焦度通常為正值，后固定組的光焦度可為正值也可為負值。當后固定組的光焦度為正值時，為了滿足光焦度分配方程，前固定組的正光焦度將變小。由式（1）和式（2）可知，前固定組的光焦度越小，位置色差和倍率色差就越小。因此，后固定組的光焦度為正值的正組補償式變焦光學系統更有利于色差校正。

綜上所述，當機械補償式變焦系統的前固定組、變倍組、補償組和后固定組的光焦度分配分別為“+，-，+，+”時，更有利于大倍率變焦光學系統的像差校正。

2.2 初始結構計算

當機械補償式變焦系統的前固定組、變倍組、補償組和后固定組的光焦度分配分別為“+，-，+，+”時，變焦光學系統的變焦原理如圖1所示。從圖1可知，機械補償式變焦光學系統有4個組元，分別為前固定組、變倍組、補償組和后固定組，各組元對應的光焦度分別為φ1，φ2，φ3和φ4。當變焦光學系統位于短焦位置時，變倍組距離前固定組最近，補償組距離后固定組最近。當變焦光學系統逐漸由短焦向長焦變化時，變倍組將逐漸向右遠離前固定組，補償組向左遠離后固定組，最后變倍組和補償組的距離達到最小值，此時光學系統的焦距最長。

在計算變焦光學系統的初始結構時，為了避免相鄰組元在運動過程中發生碰撞，相鄰組元之間必須留有足夠的間距。這里利用高斯光學來計算變焦光學系統的初始結構［15］。

圖1 正組補償變焦光學系統原理Fig.1 Principle diagram of positive group compensation zoom optical system

在變焦光學系統中，假設變倍組和補償組的歸一化焦距分別為f2'和f3'，根據長焦距時變倍組和補償組的歸一化倍率m2l和m3l，可得變倍組與補償組之間的距離為：

變倍組從長焦距變化到短焦的總移動距離為：

短焦時變倍組的倍率為：

根據變焦微分方程可得短焦距時補償組的倍率m3s：

補償組從長焦距變化到短焦的總移動距離為：

變焦光學系統的總變倍比可表示為：

當變焦光學系統在短焦時，前固定組和變倍組的距離為d12s，補償組與后固定組的距離為d34s，后固定組的倍率為m4s，則光學系統前固定組的焦距f1'為：

其中：l'3s表示光學系統在短焦時補償組的像距。

根據式（7）可知，變倍組的一個位置對應補償組的兩個位置。因此，利用補償組的這兩個位置可以進行換根，變焦光學系統的平滑換根原理如圖2所示。圖中，A1-A2-A3為變倍組的運動軌跡，B1-B2-B3和C1-C2-C3為補償組對應的兩條運動軌跡。

圖2 平滑換根原理Fig.2 Schematic diagram of smooth root exchange

若要保證補償組的運動曲線不出現拐點，必須使補償組的兩條運動曲線相切以實現平滑換根，即在B2和C2處相切。此時，相切處補償組的放大倍率m3m應滿足：

平滑換根的補償組仍然具有兩條運動曲線，即B1-B2-B3和C1-B2-B3。從A1運動到A3的過程中，變倍組放大率的絕對值一直在增大。從C1運動到B2再運動到B3的過程中，補償組放大率的絕對值也一直在增大。因此，當補償組的運動曲線為C1-B2-B3時，光學系統可實現快速變焦。

綜上所述，根據式（4）～式（13）并利用參數設定的方法，可計算出f1'，f2'，f3'，f4'和各組元之間的距離。

3 變焦光學系統設計

3.1 設計指標

光學系統的設計指標與用戶使用的要求和所選探測器的參數相關。本文所選探測器的像元尺寸為4.8μm×4.8μm，其對應的奈奎斯特頻率為104 lp/mm。為了滿足廣域搜索和高分辨率觀察的應用需求，變焦光學系統的詳細設計指標如表1所示。

表1 變焦光學系統的設計指標Tab.1 Design parameters of zoom optical system

3.2 光學系統設計

根據2.2節可知，式（4）～式（13）屬于欠定方程組，因此機械補償式變焦光學系統的初始結構具有多重解。為了快速有效地解算出較佳的初始結構，本文提出了利用參數設定和光學設計軟件聯合解算的方法。解算步驟如下：

（1）為了實現補償組平滑換根，以變倍組和補償組的放大倍率為-1作為計算的起始狀態，假設變倍組的焦距為-1，計算出補償組的焦距、補償組與變倍組的物像距離和它們之間的間距；

（2）設定長焦時變倍組的放大率，求取長焦時變倍組的物距、像距和沿光軸的移動量，再通過變倍比計算出短焦時變倍組和補償組的放大倍率等參數；

（3）以起始狀態為基準（變倍組和補償組的放大率為-1），計算短焦時光學系統的參數；

（4）選取短焦狀態，計算出前固定組的焦距；

（5）選取短焦狀態，設定后固定組的放大率，再計算出后固定組的焦距；

（6）通過系統參數縮放，獲得長焦、中焦和短焦時各組元之間的距離；

（7）把計算出的參數帶入光學設計軟件中，對系統的光闌位置和F數等參數進行優化，并保證光學系統結構緊湊和變焦曲線平滑無拐點。

利用上述計算方法，對30倍變焦光學系統的初始結構進行解算和優化，最后得到變焦光學系統中各組元的焦距，如表2所示。

表2 四組元的初始焦距Tab.2 Focal length of four groups in initial structure

變焦光學系統的焦距分別在7，60和210 mm處各組元之間的間距如表3所示。

表3 四組元之間的間距Tab.3 Spacing between four groups

變焦光學系統的理想結構模型如圖3所示。變焦光學系統的總長為180 mm，孔徑光闌位于補償組前方1 mm處。在連續變焦的過程中，孔徑光闌與補償組同步運動，孔徑光闌的口徑保持不變，光學系統的F數會隨著焦距的變化不斷改變。

從圖3可知，光學系統的焦距從7 mm連續變化到210 mm的過程中，變倍組逐漸遠離前固定組，補償組逐漸靠近前固定組。在連續變焦的過程中，兩條變焦曲線沒有出現拐點。

把表2和表3中的數據代入光學設計軟件中進行透鏡替換，經過優化設計得到的變焦光學系統的結構如圖4所示。變焦光學系統的全長為190 mm，最大口徑為67 mm。

圖3 變焦光學系統的理想模型Fig.3 Ideal model of zoom optical system

圖4 變焦光學系統結構Fig.4 Structure diagram of zoom optical system

4 系統評價與分析

4.1 像質評價

調制傳遞函數（Modulation Transfer Function，MTF）、點列圖和畸變是評價光學系統成像質量的重要指標。MTF表示光學系統成像的調制度變化情況，通過MTF曲線可以比較全面地評價系統的成像質量。圖5為變焦光學系統的MTF曲線，由圖5可知，當變焦光學系統的焦距分別為7，60和210 mm時，奈奎斯特頻率104 lp/mm處全視場的平均MTF均大于0.25。

圖5 變焦光學系統的MTF曲線Fig.5 MTF curves of zoom optical system

點列圖可以比較準確地反應出光學系統成像光線的彌散情況。點列圖中的均方根（Root Mean Square，RMS）彌散斑半徑越小，光學系統的成像質量就越好。圖6為變焦光學系統的焦距分別為7，60和210 mm時的點列圖。

圖7為變焦光學系統的焦距分別為7，60和210 mm時的場曲和畸變曲線。從圖7可知，光學系統全焦段的畸變都小于3%。

圖6 點列圖Fig.6 Spot diagram

4.2 公差分析

公差分析是變焦光學鏡頭加工裝配前的重要分析環節之一，利用光學設計軟件中的公差分析功能，可以快速有效地評估出變焦鏡頭的制造難度。綜合考慮變焦光學系統在短焦、中焦和長焦處時各光學透鏡的公差靈敏度，最終確定變焦光學系統的公差分配情況，如表4所示。

圖7 場曲和畸變曲線Fig.7 Field and distortion curves

根據蒙特卡洛分析可得，當采用表4的分配公差時，變焦光學系統在奈奎斯特頻率104 lp/mm處全視場的平均MTF分布規律如圖8所示。蒙特卡洛分析表明，80%的系統在全焦段內的MTF均大于0.14。

表4 變焦光學系統的公差分配Tab.4 Tolerance distribution of zoom optical system

圖8 蒙特卡洛分析概率Fig.8 Probability of Monte Carlo analysis

4.3 變焦曲線

在變焦光學系統中，若變焦曲線出現了拐點，極可能會出現變焦卡死的現象。因此，為了能夠保證變焦鏡頭平滑變焦，變焦曲線盡量不要出現拐點［16-17］。此外，機械補償式變焦光學系統在變焦曲線設計的過程中，為了降低凸輪的加工難度，一條變焦曲線設計為直線，另外一條變焦曲線設計為高次曲線。

本文的30倍變焦光學系統采用變倍組線性運動，補償組非線性運動的方式進行連續變焦。當變焦鏡頭的凸輪直徑為50 mm時，變倍組和補償組與凸輪旋轉角度的變化曲線如圖9所示。

圖9 凸輪擬合曲線Fig.9 Fitting cam curves

5 結 論

為了緩解機械補償式變焦光學系統大變倍比和輕小型設計之間的矛盾，本文提出采用平滑換根的“+，-，+，+”光焦度分配方式，結合變F數的方法來實現輕小型設計，并提出利用結構參數設定和光學設計軟件聯合解算的方法，來合理地分配各組元的光焦度，保證變焦曲線平滑無拐點，從而快速有效地解算出變焦光學系統的初始結構參數，提高光學系統設計的成功率。利用全球面透鏡設計了一款焦距為7～210 mm的30倍連續變焦光學系統，可匹配1/2英寸的探測器，該變焦系統的最大口徑為67 mm，全長為190 mm，在奈奎斯特頻率處全視場的MTF均大于0.25，該系統還具有全視場無漸暈、變焦曲線無拐點、制造成本低廉等優點，在目標跟蹤、安防監測等領域具有廣泛的應用前景。