剛性耦合三圓柱流致振動特性和機制

劉旭菲， 陳威霖， 及春寧

(1. 浙江水利水電學院 水利與環境工程學院，杭州 310018;2. 天津大學 水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300072)

多圓柱流致振動常見于海洋工程、橋梁以及核工程等，如海洋立管、橋梁纜索和熱交換管等，對該問題的研究具有重要的科學和工程意義。作為經典的流固耦合問題，圓柱流致振動問題在過去的幾十年中得到了廣泛的關注。Sarpkaya等[1-2]對單圓柱渦激振動的研究成果進行了詳細的綜述。由于復雜的相互作用，多圓柱流致振動的振動特性和誘發機制十分復雜，明顯不同于單圓柱的情況。Brika等[3-4]發現在串列布置中，在上游圓柱尾流的影響下，下游圓柱的振動受到顯著的促進作用，出現了弛振的現象。陳威霖等[5-6]詳細討論了小間距比下串列雙圓柱渦激振動中的振動響應、流體力及尾流模式等。Huera-Huarte等[7-8]發現當間距比不大時，并列雙圓柱之間存在強烈的相互作用。Chen等[9]發現在并列布置下，對稱布置的雙圓柱會出現不對稱振動現象。Behara等[10-11]發現在三角排列三圓柱中，下游兩圓柱在上游圓柱尾流的作用下出現了較大振幅的振動，且出現了顯著的多頻現象。Chen等[12-13]發現在三角形布置下，隨著間距比(P/D，P為圓柱中心之間的距離，D為圓柱的直徑)的變化，振動響應可以劃分為5個不同的區域，每個區域內圓柱的振動情況與P/D有密切關系。Ma等[14-15]通過拖曳水池試驗研究了三角排列細長柔性圓柱的振動模態隨折合流速變化的情況，對三圓柱之間的尾流/臨近干涉和順流向與橫流向振動之間的相互作用進行了細致地分析。

除了上述單圓柱和獨立支撐多圓柱流致振動問題，剛性耦合地多圓柱振動也常見于實際工程，如海洋工程中采用剛性管卡連接的立管束以及核工程中熱交換管等。與獨立支撐多圓體相比，在剛性耦合下多圓柱振動同步，其振動特性和振動機理與獨立支撐多圓柱明顯不同。由于各圓柱在耦合系統中的位置不同，它們對系統振動的貢獻是重要的研究方向。本文側重于揭示剛性耦合三圓柱的振動機制以及各圓柱對振動系統流體力的貢獻，有助于促進對剛性耦合系統的理解。在剛性耦合多柱體的研究上，Munir等[16]對剛性耦合并列雙圓柱的流致振動進行了數值模擬。雷諾數為Re=1 000，質量比為m*=2，間距比為P/D=1.5～4.0，折合流速為Ur=1～20。研究發現，當P/D=1.5～2.0時，系統振動分為兩個分支，鎖定分支內振動和升力同頻，而非鎖定分支內，振動頻率為升力頻率的一半。當P/D=4.0 時，尾流之間的相互作用變弱，振動鎖定區域與單圓柱渦激振動相當。Han等[17]研究了不同來流攻角下等邊三角形排列剛性耦合三圓柱的流致振動。其中，間距比固定為P/D=4.0，來流攻角α=0°～60°，折合流速Ur=1～30，雷諾數Re=1 000～3 000。研究發現，來流攻角和折合流速對渦激振動和脫渦模式都有顯著的影響。當α=45°時，振動系統鎖定范圍最廣，而當α=60°時，鎖定范圍最窄，在α=0°工況下出現弛振現象(Ur>12)。

盡管前人對剛性耦合多圓柱體的流致振動開展了一些研究，但由于此類問題的影響因素眾多，已有研究僅能窺見一斑。基于此，本文針對實際工程中出現的等邊三角形排列剛性耦合三圓柱系統的流致振動進行數值模擬研究，以期對其振動、受力特性和激勵機制進行分析和探討。

1 數值方法

1.1 控制方程

黏性不可壓縮流動的控制方程[18]如下

(1)

?·u=0

(2)

式中：u為流速；t為時間；p為壓強；ρ為流體密度；ν為運動黏滯系數； ?為梯度算子；f為附加體積力矢量，代表流固耦合邊界條件。

時間離散后的控制方程守恒形式如下

(3)

?·un+1=0

(4)

式中：δt為時間步長； 組合項h=?·[-uu+ν(?u+?uT)]由對流項與擴散項組成， 上標T為矩陣轉置，附加體積力表示為

(5)

式中：Ih和Dh為引入的插值函數；Vn+1為物面邊界點速度； 上標n+1，n+1/2，n，n-1為時間步。

僅做橫流向運動的剛性耦合圓柱體，其運動可以用式(6)來描述

(6)

1.2 參數設置

剛性耦合三圓柱流致振動的模擬中，計算域流向X和橫向Y的寬度分別為Lx和H。Lx=Lu+Ld，三圓柱圓心間距為P，圓心的中點距上游邊界Lu=100D，距下游邊界Ld=100D，H=200D，D為圓柱的直徑，如圖1所示。此外，為保證模擬結果的準確性，在圓柱周圍設置一個大小為8D×8D的加密區域，區域內流向和橫向網格大小均為1/64D。加密區域外的網格等比增大。計算域邊界條件設置如下：入口為Dirichlet型邊界條件；流向速度u=U∞；橫向速度v=0；其中，U∞為無窮遠處的流速。出口為Neumann邊界條件，上下邊界為自由可滑移邊界。本文計算域和網格的設置與Chen等的研究相同，其參數敏感性已經在Chen等的研究中證明。

圖1 正三角形排列剛性耦合三圓柱流致振動的計算域和邊界條件示意圖Fig.1 Sketch of computational domain and boundary conditions for flow-induced vibration of three rigidly coupled cylinders in equilateral-triangular arrangements

剛性耦合三圓柱按等邊三角形布置，上游為兩個并排圓柱，下游為一個圓柱，三圓柱的間距比為P/D=1.0～4.0，質量比為m*=2，雷諾數為Re=100和折合流速為Ur=3～30。為了保證圓柱能以更大振幅振動，阻尼比設為零。耦合三圓柱僅在橫向自由振動。

需要說明的是，本文數值方法的模擬精度已經在獨立支撐的三圓柱渦激振動研究中得到了充分驗證，讀者可自行查閱，此處不再贅述。

2 結果與討論

2.1 振幅與響應頻率

不同間距比下剛性耦合三圓柱的無量綱振幅A/D和頻率比f*隨折合流速變化情況，如圖2所示。由圖2(a)可知：不同間距比下，剛性耦合三圓柱的振動呈現出明顯不同的變化趨勢。當P/D=1.0時，振動響應表現為典型的弛振響應[19-20]，振幅隨折合流速的增加而單調增加，而振動頻率比f*(f*=fv/fn，fv為振動頻率，fn為系統固有頻率)則一直小于1.0。當P/D=1.0時，位移歷時曲線的情況，如圖3(a)～圖3(e)所示。圖3中橫軸為無量綱時間t*=tU∞/D，縱軸為無量綱位移y/D。總體上看，圓柱的位移呈現正弦變化，比較規律，這與相似雷諾數下三角柱的馳振響應類似。當Ur=25時，圓柱的振動出現微弱的拍振特征。所謂拍振是指振動響應中包含兩個或以上振動分量，并且各個分量的頻率非倍數關系，造成了振幅的大小隨時間周期性變化。

圖2 不同間距比下正三角形排列剛性耦合三圓柱振幅和頻率隨折合流速的變化Fig.2 Variations of the vibration amplitude and frequency of three rigidly coupled cylinders in equilateral-triangular arrangements with the reduced velocity under different spacing ratios

當P/D=1.6時，振幅明顯小于P/D=1.0時的工況。由圖2(a)可知：當Ur≤7.5時，振幅幾乎為零。之后，隨著折合流速的增加，振幅持續增加，并在很寬的折合流速區間內維持穩定的振幅，最大振幅為A/D=0.86。當Ur>22以后，振幅開始緩慢下降。由圖2(b)可知：當Ur≤7.5時，振動頻率隨折合流速線性增加，對應靜止工況下的泄渦頻率斯特勞哈爾數St。當Ur>7.5時，振動頻率偏離St，而沿著一個更小的斜率近似線性增加。在鎖定區間7.5

當P/D=2.5時，以Ur=5.5為界，振動可以分為兩個鎖定區間。兩個區間內圓柱的振動均呈現為先增后減的趨勢，最大振幅相當，但是后一個區間的寬度明顯大于前一個。由圖2(a)可知：在第一個區間(Ur=3.5～4.5)內，圓柱振動響應隨折合流速變化較為劇烈，上升段和下降段均較陡，最大振幅(A/D=0.50)出現在Ur=4處。由圖2(b)可知：在第二個區間(Ur=6～15)內，振幅的上升段和下降段均較緩，最大振幅(A/D=0.55)在Ur=10處取得。與P/D=1.0，P/D=1.6工況相比，振幅明顯更小一些。振動頻率在兩個區間內也呈現不同的變化趨勢。在第一個區間內，振動頻率維持在f*=0.8附近，振動處于鎖定狀態。在第二個區間內，振動頻率維持在f*=0.8～1.2內，振幅也較大一些。在兩個鎖定區間之間(Ur=5.5)和之外(Ur=3和Ur>15)，振幅較小，振動頻率與靜止工況下的St接近，隨著折合流速線性增加，振動處于非鎖定狀態。當P/D=2.5時圓柱位移的歷時曲線，如圖3(k)～圖3(o)所示。在兩個鎖定區間內部，圓柱的振動均較為規律，而在區間交界處，振動響應呈現拍振特征。總的來看，當P/D=2.5時，剛性耦合三圓柱的振動響應呈現出雙鎖定區間的特征，這與單圓柱的單鎖定區間形成了鮮明的對比。此外，兩鎖定區間的尾渦與圓柱之間的相互作用有明顯差異，產生了截然不同的激勵作用。

當P/D=4.0時，振幅隨折合流速的變化情況與P/D=2.5工況的類似，可劃分為振幅較大的第一鎖定區間(Ur=4.0～8.5)和振幅較小的第二鎖定區間(Ur=10～12)。由圖2(a)可知：在第一區間內，隨著折合流速的增加，振幅迅速增加，并在Ur=5.5時達到最大值(A/D=0.63)。之后，隨著折合流速的增加，振幅緩慢下降，直到第一個區間結束；在第二區間內，振幅的變化明顯小于第一區間的情況，最大振幅僅為A/D=0.25。由圖2(b)可知：雖然第一區間的振幅明顯大于第二區間，兩個區間的振動頻率均在f*=0.8～1.2內。兩個區間之間，振動頻率出現了明顯的跳躍和不連續現象。當P/D=4.0時，圓柱位移的歷時曲線，如圖3(p)～圖3(t)所示。在第一個鎖定區間內，振動響應均為規律的正弦曲線；而在第二個鎖定區間內，振動響應表現為規律的非對稱振動，呈現出明顯的多頻特征，這與圓柱尾流之間復雜的相互作用有關。

圖3 不同折合流速下正三角形排列剛性耦合三圓柱的位移歷時曲線Fig.3 Displacement histories of three rigidly coupled cylinders in equilateral-triangular arrangements at different reduced velocities

綜合以上的結果可知，不同間距比下三角形排列剛性耦合三圓柱流致振動響應可大致分為兩類：一類是間距比較小情況下的馳振響應(不穩定性激勵)，圓柱振動幅值隨折合流速近似線性增大，振動頻率小于體系的固有頻率，這與直邊迎流的三角柱的振動響應類似，換句話說，由于圓柱之間的間隙流較弱，3個剛性耦合的圓柱可近似視為一個擴展了的三角柱；另一類為間距比適中和較大情況下的渦激振動響應(共振激勵)，但不同間距比下會產生單鎖定區間和雙鎖定區間的振動響應。由于圓柱之間距離較小，P/D=1.6工況下僅有一個鎖定區間，而且對比鎖定區間內的頻率特征可以發現，P/D=1.6工況的單鎖定區間是與P/D=2.5，P/D=4.0雙鎖定的第一鎖定區間相對應。

2.2 流體力系數

圖4 不同間距比下三角形排列剛性耦合三圓柱的流體力系數隨折合流速的變化Fig.4 Variations of the hydrodynamic force coefficients of three rigidly coupled cylinders in equilateral-triangular arrangements with the reduced velocity under different spacing ratios

不同間距比下脈動阻力C′D,t隨折合流速變化的情況，見圖4(b)。P/D=1.0工況的脈動阻力明顯大于其余間距比的情況。與阻力均值相似，脈動阻力在Ur>14以后幾乎不再變化，維持在C′D,t=2.2附近。當P/D=1.6時，脈動阻力隨折合流速的增加先增加后減小，呈現單峰特征。當P/D=2.5，P/D=4.0時，脈動阻力隨折合流速的變化趨勢與阻力均值相似，分別呈現雙峰和單峰特征。

不同間距比下脈動升力C′L,t隨折合流速變化的情況，見圖4(c)。從總體上看，除個別折合流速，P/D=1.0工況的脈動升力要比其余工況的更大一些，隨著折合流速的增加，脈動升力先增后減，最大值(C′L,t=3.21)出現在Ur=7處。而當P/D=1.6時，脈動升力在Ur=8.5時達到最大值(C′L,t=1.19)，之后開始緩慢下降。當P/D=2.5，P/D=4.0時，脈動升力均表現出雙峰特征，盡管P/D=4.0工況的第二個峰值(位于Ur=11處)很小且平緩。

2.3 尾流模式和激勵機制

為深入分析各間距比下圓柱振動與流場之間的耦合作用，本節結合尾流模式給出詳細的機理解釋。當P/D=1.0時，三圓柱緊密靠在一起，圓柱之間不存在間隙流，如圖5所示。圖5中，x/D和y/D分別為無量綱的流向和橫向坐標。剪切層在剛性耦合三圓柱的上、下兩側形成旋渦，并交替泄放。由圖5(a)可知： 當Ur=5時，旋渦從圓柱的兩側脫落，形成典型的2S泄渦模式。隨著圓柱振幅的增加，單個振動周期內脫落的旋渦個數明顯增多，形成了多渦模式，見圖5(c)～圖5(e)。需要說明的是，由于泄渦長度較長，圖5(c)～圖5(e)所示范圍未能顯示一個完整振動周期內的旋渦泄放。例如，圖5(e)所示僅為半個振動周期內的旋渦泄放過程。馳振頻率與泄渦頻率相差很大，因此馳振不是由交替泄渦激發的，而是由三圓柱運動時上、下表面的時均壓差引起和維持的。

當P/D=1.6時，圓柱間隙間形成剪切層。由于受到下游圓柱的束縛，上游圓柱的間隙剪切層僅發生小幅擺動，并不能脫落旋渦。上游圓柱的外側剪切層可脫落旋渦，并與下游圓柱的剪切層融合，形成擴展的2S泄渦模式。對比P/D=1.0的工況可以發現，間隙流的出現使得P/D=1.6工況下旋渦更弱，且距離圓柱更遠。此工況下，振動頻率和升力頻率相等，圓柱的振動由交替泄渦(擴展2S模式)驅動。

當P/D=2.5時，間隙流的作用更加顯著，上游圓柱柱間剪切層大幅擺動，與下游圓柱發生復雜相互作用，一些情況下能脫落旋渦。不同間隙比條件下，柱間剪切層和下游圓柱的相互作用存在兩種截然不同的模式。當Ur=4時(第一鎖定區間)，上游圓柱間隙剪切層交替脫落旋渦，并“抨擊”在下游圓柱上，隨后發生分裂，形成兩個較小的旋渦，如圖6(a)所示。此時，圓柱受到的脈動升力和阻力均較大(見圖4(b)～圖4(c))，振幅較大。上、下游圓柱的泄渦發生復雜的融合后，在下游形成較寬的平行渦街。但是，當折合流速更大時(Ur=6，Ur=10，Ur=12，Ur=20，第二鎖定區間，如圖6(b)～圖6(e)所示)，上游圓柱的剪切層不與下游圓柱發生直接作用，而是與下游圓柱的剪切層發生融合，形成擴展的交替渦街。可見，P/D=2.5工況下存在兩種振動激勵模式：一種是低折合流速條件下的剪切層重附著激勵模式；另一種是中、高折合流速條件下的交替泄渦(擴展2S模式)激勵模式。

圖5 不同折合流速下正三角形排列剛性耦合三圓柱的尾渦模式(P/D=1.0，P/D=1.6)Fig.5 Wake patterns of three rigidly coupled cylinders in equilateral-triangular arrangements at different reduced velocities (P/D=1.0, P/D=1.6)

當P/D=4.0時，旋渦可以自由地從3個圓柱上脫落。當Ur=5時(第一鎖定區間)，從上游圓柱內側脫落的旋渦交替地重附著于下游圓柱上，如圖6(f)所示。此時，圓柱的脈動升力較大，振動由剪切層重附著驅動。旋渦經過復雜的融合后，在下游形成較寬的平行渦街。當Ur=8時，泄渦不規律，如圖6(g)所示。當Ur=11時(第二鎖定區間)，上下游圓柱各自交替脫落旋渦，但上游圓柱的泄渦近似同相位，如圖6(h)所示。從上游圓柱脫落的旋渦不直接與下游圓柱作用，而是與下游圓柱的旋渦共存，形成雜亂無章的尾渦模式。此時，振動由單個圓柱的交替泄渦驅動。進一步增大折合流速(Ur=15，Ur=25)，兩個上游圓柱的泄渦近似反相位(如圖6(i)～圖6(j)所示)，上游圓柱的升力相互抵消，圓柱振幅很小。

圖6 不同折合流速下正三角形排列剛性耦合三圓柱的尾渦模式(P/D=2.5,P/D=4.0)Fig.6 Wake patterns of three rigidly coupled cylinders in equilateral-triangular arrangements at different reduced velocities (P/D=2.5, P/D=4.0)

3 結 論

本文對等邊三角形排列剛性耦合三圓柱的渦激振動問題進行了數值模擬研究，其中上游為兩個并排的圓柱，而下游為一個圓柱。對不同間距比下振幅、頻率和各圓柱的流體力貢獻進行了詳細討論，最后結合尾渦模式，對圓柱與流場之間的相互作用進行了分析。

研究發現三角形排列剛性耦合三圓柱的振動模式分可以為兩類，分別為P/D=1.0的馳振模式和P/D=1.6～4.0的渦振模式。當P/D=1.0時，無間隙流動，三圓柱形成一個擴展的整體，系統振動表現為直邊迎流的三角柱相似的弛振特征。當系統振動較小時，從三圓柱表面交替脫落的旋渦形成2S模式，隨著振幅的增加，單個振動周期內會脫落更多的旋渦。當P/D=1.6時，間隙流較弱，間隙內剪切層小幅擺動，但不會形成旋渦，三圓柱后方形成2S模式尾渦，并驅動三圓柱發生渦激振動。振動僅出現單個較寬的鎖定區間。當P/D=2.5，P/D=4.0時，圓柱的振動呈現為兩個鎖定區間，分別對應不同的振動激勵機制。第一個鎖定區間內，上游圓柱的間隙剪切層脫落旋渦，并撞擊到下游圓柱上，引起下游圓柱較大的脈動升力，從而激發圓柱振動，即剪切層重附著激勵模式；第二個鎖定區間內，上游圓柱的剪切層不與下游圓柱發生直接作用，而是與下游圓柱的剪切層發生融合，形成交替渦街，激發圓柱振動，即交替泄渦驅動模式。

需要說明的是由于本文僅研究了層流條件下剛性耦合三圓柱的振動特性和機理，然而在實際工程中流動為紊流，雷諾數多在105～107量級，因此，研究成果推廣到實際工程具有一定的局限性。然而，盡管高雷諾數條件下剛性耦合三圓柱系統具有更大振幅，各圓柱尾流之間的相互作用更加強烈，但是一些現象以及機理是相通的。例如，本文的研究發現在間距比不大時，剛性耦合三圓柱表現為弛振現象，而在Han等的高雷諾數類似工況下同樣也出現了弛振現象，其機理也與本文提到的剪切層的重附著有關。綜上，本文研究成果對于深入理解實際工程的高雷諾數剛性耦合三圓柱渦激振動的現象和機制有一定幫助。