非對稱結構索輪組位姿的精確求解方法

溫新婕 吳曉光 樊俊宏 李越秀 虞麗芳

北京起重運輸機械設計研究院有限公司 北京 100007

0 引言

高速大運量客運索道技術的發展對索道設計提出了更精確高效的要求。對于單線循環脫掛式索道、脈動索道以及單線固定索道等類型索道而言，索輪組是重要的線路設備。索道運行過程中索輪組位姿的確定是索道設計中關鍵一環。在不同線路不同的載荷工況下，線路上索輪組受力不同，鋼絲繩的出入繩角度也不同，快速高效計算出不同繩折角情況下的各索輪位姿，可給索道的安全性和舒適性設計以及給其他相關設備如線路支架走臺角度的設計提供依據。隨著高速大運量客運索道線路動態特性研究的深入，建立線路設備等的理輪模型并進行動態仿真是今后索道系統研究的方向之一。

齊次變換方法是在多體系統研究中分析結構的常用方法。在工程機械領域也有廣泛應用。文獻[1]已經介紹了索道線路支撐結構，并以8輪組為例，基于齊次變換方法，推導了8輪組索輪輪心位姿坐標的解算方法，得出了位姿坐標的矩陣表達方式。但是通常索道輪組除了由對稱結構輪組組成，如4，8，16輪組，還有許多非對稱結構輪組，如6，10，12，14輪結構。對于對稱結構輪組，其每對2輪組、4輪組、8輪組之間梁角度關系由于結構的對稱性直接可得，從而可以直接用齊次變換求解。非對稱輪組中結構的位姿由于索輪組和梁結構的非對稱性，梁角度關系非直接可得，從而也不能直接用齊次變換方法求出輪組位姿，因而需要在分析結構關系的基礎上，尋找求解方法。

1 非對稱輪組結構

以6輪為例，輪組的結構如圖1所示。6輪組索輪系統中，有3個2輪組，輪1、2鉸接于軸3，輪4、5鉸接于軸6，輪8、9鉸接于軸10，軸3、6通過夾板連接，組成一組4輪組，該4輪組中心通過軸7鉸接于索輪組大梁上，軸10另一端也鉸接于索輪組大梁上，索輪組大梁通過可繞軸11轉動，軸11通過固定支座固定在索道支架橫擔端部。本文中，兩點間的距離表達為Li-j，i，j為點的標號。

圖1 6輪組結構圖

根據結構布置可知

輪組設計時，6輪組結構和支座的鉸接點11在L3距4輪組1/3處，即

考慮折角關系的6輪組結構簡圖如圖2所示。

圖2 6輪組結構簡圖

索道支架上輪組的繩折角φ，每個輪上的繩折角為

中間兩輪組相對左側兩輪組轉過2θ，最右側兩輪組相對左側兩輪組轉過了4θ。

6輪組各輪的位姿問題即求解各輪心相對于鉸軸11的位姿。

如圖1，由于輪組結構的不對稱性，對于已知每個輪上的繩折角，無法如對稱結構輪組一樣，直接由齊次變換得出梁L3的空間位置關系。

因每個輪上折角相等，且輪組為剛體假設。易知輪組4-5-6與輪組8-9-10在空間上對稱，且L5-8與水平線的夾角為3θ。

則在（X3，Y3）坐標系下點10坐標可求。

2 點10坐標求解

由參考文獻[1]可知：4輪組1-7點在坐標系（X3，Y3）中坐標矩陣為

式中：Tn(i，j)為矩陣中第i行，j列對應的元素直線L6-10的方程為

整理上式并代入6點坐標值為

3 6輪組位姿齊次坐標求解

4輪組1-7點在坐標系(X3，Y3)中坐標矩陣已知，接下來需求解右側兩輪組中點8-9-10在坐標系(X4，Y4)中各點坐標。

3.1 右側2輪組在坐標系(X4，Y4)中各點位姿

由文獻[1]可知

4θ旋轉轉換矩陣為

T4即為所求。

3.2 組裝6輪組（X5，Y5）坐標系中各點位姿

計算4輪組在(X5，Y5)坐標系中坐標T5A：即將4輪組平移矩陣為

計算2輪組在(X5，Y5)坐標系中坐標T5B：即將2輪組平移矩陣為

點11在坐標系(X5，Y5)中坐標為

組裝1-11點在坐標系(X5，Y5)中坐標矩陣T5

對應各列即為各點坐標。

參考參考文獻[1]中同理可得入繩角φ1時水平坐標系(X，Y )坐標系中1-11點各輪心坐標矩陣為

式中：T6(i，1)為i點x坐標；T6(i，2)為i點y坐標。

4 結論

本文以6輪組為例給出了齊次坐標法求解非對稱結構輪組位資中關鍵點的方程解法。并推導了計算公式，得出關鍵點的解析解。此方法可以類推到所有非對稱結構輪組位姿分析。完善了等分折角條件下齊次坐標法求解對稱和非對稱索輪組結構的方法。在此基礎上，可編寫程序，提高索輪組位姿求解效率。進而索輪組與橫擔的相對位置關系，也可在用齊次坐標方法求解有傾角支架的橫擔位置之后計算得到，可用于更精確地確定線路支架的高度。在滿足GB 12352—2018《客運架空索道安全規范》的前提下提高索道總體和部件設計的精度和效率。另外本文討論的輪組位姿變化適用于吊具不經過索輪組時的情況。對于吊具經過索輪組時，索輪組的位姿變化及動力學特性，還需進一步研究。